解直角三角形基础练习

解直角三角形

2007年北京市高级中等学校招生统一考试考试说明————《解直角三角形》

知识 内容	考试水平
	基本要求	略高要求	较高要求
锐角三角函数	通过实例认识锐角的正弦、余弦、正切； 知道特殊角的三角函数值； 会用计算器由已知锐角求它的三角函数值或由已知三角形函数值求它对应的锐角.	由某个角的一个三角函数值，会求其余两个三角函数值； 会计算含有特殊角的三角函数数式的值.	能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题
解直角三角形	知道解直角三角形的含义	会解直角三角形； 能根据问题的需要合理作出垂线，构造直角三角形； 会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题.	会解有特殊条件的四边形中的计算问题； 会设计简单的测量方案； 能综合运用直角三角形的性质解决简单的实际问题.

第1课时

锐角三角函数

锐角三角形函数

☆正弦    ☆余弦    ☆正切 

☆对于锐角A的每一个确定的值，有唯一确定的值与它对应，所以是A的函数，同样地，，也是A的函数.

1、如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，AB＝15，tanB＝___,cosB＝___,sinB＝____

               

（第1题 图）           （第3题 图）                 （第4题 图）

2、［2007黑龙江］在△ABC中，BC＝4，AC＝3，AB＝5，则的值为      

3、［2007沈阳］如图，在Rt△ABC中，，AB＝5，AC＝2，则的值是（  ）

A.     B.     C.     D. 

4、［2007 哈尔滨］如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O 于点B，PA＝8，OB＝6，则 的值是        

5、［2007扬州］正方形网格中，按如图放置，则的值为（   ）

A.     B.     C.     D. 2

                 

（第5题 图）                （第6题 图）                   （第9题 图）

6、［2007长春］如图，的正切值等于        

7、［2007齐齐哈尔］在Rt△ABC中，，，则＝       

8、（1）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，则AC等于（  ）

    A．6     B．      C．10      D．12

（2）已知：在Rt△ABC中，，,求的值.

9、在中，，根据下列条件求三角函数值.

已知,求   （2）已知,求，，

10、［2007南昌］在Rt△ABC中，，、、分别是、、的对边，若，则＝         

11、［2007年兰州中考］把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△，那么锐角A、的余弦值的关系为（    ）A.   B.    C.  D.不能确定

12、［2007河南］请你画出一个以BC为底边的等腰△ABC，使底边上的高AD＝BC.

（1）求和的值；（2）在你所画的等腰△ABC中，设底边BC＝5米，求腰上的高BE.

13、［2006长春］如图所示，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图.请你参考图中的数据，计算车位所占街道的宽度EF.（参考数据：，，，结果精确到0.1m）

              

（第13题 图）                         （第14题 图）                   （第15题 图）  

14、［2007 长沙］如图所示，某超市在一楼到二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.29米,他乘电梯会有碰头危险吗？（可能用到的参考数据：，，）

15、［2006陕西］如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连结CD，若⊙O的半径，AC＝2，则的值是（   ）A.   B.   C.    D.

、、特殊角的三角函数值

1、填表.

2、［2007天津］的值等于（    ）A.   B.   C.    D. 1

3、［2007黄冈］计算：2sin60°=             .

4、［2007南京］如果是等腰直角三角形的一个锐角，则的值是（   ）

A.     B.     C. 1    D. 

5、已知∠A是锐角，且sinA＝，那么∠A等于（  ） A．30° B．45° C．60° D．75°

6、在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AB＝，BC＝，AC＝.根据下列条件解题：

    （1）已知＝4，＝8，求．    （2）已知＝10，∠B＝60°，求，．

（3）已知＝20，∠A＝60°，求，．

7、（1）若sin＝,则锐角＝________.若2cos＝1,则锐角＝_________.

（2）若sin＝,则锐角＝_________.若sin＝,则锐角＝________.

（3）若∠A是锐角，且tanA＝,则cosA＝________.

8、求满足下列条件的锐角.

(1)cos-＝0    (2)-tan +＝0    (3)cos－2＝0

(4)tan（+10°）＝         （5）

9、［2007连云港］如图，坡角为的斜坡上两树间的水平距离AC为2 m，则两树间的坡面距离AB为（  ）A. 4 m    B.  m    C.  m    D.  m

        

（第9题 图）              （第10题 图）              （第11题 图）

10、［2007沈阳］如图，小鸣将测倾器安放在五旗杆AB底部相距6 m的C处，量出测倾器的高度CD＝1 m，测得旗杆顶端B的仰角，则旗杆AB的高度为       .（计算结果保留根号）

11、［2006内江］如图所示，某学校的教学大楼和行政办公大楼相对而立，两楼间的距离AC＝10 m，某学生在教学大楼底A处测得行政办公大楼顶B处的仰角为，随后他又到行政办公大楼C处测得教学大楼顶D处的仰角为,那么教学大楼比行政大楼高      m.

12、［2007辽宁十二市］如图，小颖利用有一个锐角是的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5 m，AB为 m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高（   ） A.     B.     C.      D. 4 m

（第12题 图）              （第13题 图）                （第14题 图）

13、［2007成都］如图，甲、乙两栋高楼的水平距离BD为90米，从甲楼顶部C点测得乙楼顶部A点的仰角为，测得乙楼底部B点的俯角为，求甲、乙两栋高楼各有多高？（计算过程和结果都不取近似值）

14、［2007南京］如图所示，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A—C—B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶，已知AC＝10 km，，，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1 km）（参考数据：，）

第2课时

解直角三角形

☆在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形.

☆在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些的关系： 

（1）勾股定理：

（2）两锐角之间的互余关系：

（3）边角之间的比值（锐角三角函数）

正弦    余弦    正切 

☆与实际问题有关的概念 ：

（1）仰角：从一点向前上方向仰望，视线与水平方向所夹的锐角.

（2）俯角：从一点向前下方向仰望，视线与水平方向所夹的锐角. 

（3）方位角：根据上北下南的方向标注，所成的角.

☆利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：

（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；

（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形，这其中可能会用到勾股定理.

（3）得到数学问题的答案；

（4）得到实际问题的答案.（验证数学问题的答案是否符合实际意义）

1、［2007晋江］如图所示，一辆吊车的吊臂以63°的倾角倾斜于水平面，如果这辆吊车支点A距地面的高度AB为2 m，且点A到铅垂线ED的距离为AC＝15 m，求吊臂的最高点E到地面的高度ED的长（，精确到0.1 m）.

2、［2007陕西］如图，小明在楼顶点A处测得对面大楼楼顶点C处的仰角为，楼底点D处的俯角为.若两座楼AB与CD相距60米，则楼CD的高度约为         米（结果保留三个有效数字）.

（，，，，）

3、［2007安徽］如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距9米的A、B两处测得D点和C点的仰角分别为和，且A、B、E三点在一条直线上.若BE＝15米，求这块广告牌的高度.

（第1题 图）               （第2题 图）               （第3题 图）

4、［2007德阳］已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（    ）

A.南偏东    B.南偏东    C.北偏东    D.北偏东

5、［2007淄博］王英同学从A地沿北偏西60º方向走100 m到B地，再从B地向正南方向走200 m到C地，此时王英同学离A地 （　）A.  m  B. 100 m  C. 150 m　D. m   

       

（第5题 图）       （第6题 图）    （第7题 图）          （第8题 图）

6、［2006绵阳］小明骑自行车以15的速度在公路上向正北方向匀速行进，如图所示，出发时，在B点他观察到仓库A在他的北偏东处，骑行20分钟后到达C点，发现此时这座仓库正好在他的东南方向，则这座仓库到公路的距离为        .（参考数据：，结果保留两位有效数字）

7、［2007南充］一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（　）
 A. 30海里    B. 40海里     C. 50海里     D. 60海里

8、［2006淮安］如图所示，在离水面高度为5 m的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为，此人以每秒0.5 m的速度收绳.问：8秒后船向岸边移动了多少米？（，，结果精确到0.1 m）

9、[2007杭州]如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进60米到点，又测得仰角为，则该高楼的高度大约为（ ）A. 82米   B. 163米     C. 52米  D. 70米

           

（第9题 图）                          （第10题 图）

10、［2007河北］某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60（即）.交通管理部门在离该公路100 m处设置了一速度监测点A，在如图所示的坐标系中，点A位于轴上，测速度段BC在轴上，点B在点A的北偏西方向上，点C在点A的北偏东方向上.

（1）请在图中画出表示北偏东方向的射线AC，并标出点C的位置；

（2）点B坐标为       ，点C坐标为         ；

（3）一辆汽车从点B行驶到点C所用的时间为15秒，请通过计算，判断该汽车在限速公路上是否超速行驶？（本小问中取1.7）

11、［2007青岛］一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？

（参考数据：sin21.3°≈，tan21.3°≈， sin63.5°≈，tan63.5°≈2）

     

（第11题 图）                       （第12题 图）

12、［2007威海］如图，一条小船从港口出发，沿北偏东方向航行海里后到达处，然后又沿北偏西方向航行海里后到达处．问此时小船距港口多少海里？（结果精确到1海里）

友情提示：以下数据可以选用：，，，．

13、[2007潜江]经过江汉平原的沪蓉(上海—成都)高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得.  

  （1）求所测之处江的宽度（）；

  （2）除(1)的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形.

14、［2007天门］如图，小强在江南岸选定建筑物A，并在江北岸的B处观察，此时，视线与江岸BE所成的夹角是，小强沿江岸BE向东走了500 m，到C处，再观察A，此时视线AC与江岸所成的夹角，根据小强提供的信息，你能测出江宽吗？若能，写出求解过程（结果保留根号）；若不能，请说明理由.

                

（第14题 图）                           （第15题 图）

15、［2007烟台］如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救.1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员没岸边（岸边看成是直线）向前跑到C点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中的游泳的速度都是2米／秒.若，，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B（参考数据：，）.