中考数学专题训练8 分类讨论(含答案)

第三节 分类讨论

【回顾与思考】

    数字间→确定分类的原则或标准→分类

【例题经典】

会根据字母的大小或取值范围分类

    例1  （2006年天津市）已知│x│=4，│y│=，且xy<0，则=_______．

    【点评】由xy<0知x，y异与应分x>0，y<0，及x<0，y>0两类．

会根据条件指待不明分类

    例2  （2006年黑龙江省）为了美化环境，计划在某小区内用30m2的草皮铺设一块边长为10m的等腰三角形绿地，请你求出等腰三角形绿地的另两边．

    【点评】因已知边为10指待不明，故应将已知边为10分底边或腰，当为腰时还要按三角形形状分类共三种．

会根据图形的相对位置不同分类

    例3 ①（2006年乌鲁木齐市）若半径为1cm和2cm的两圆相外切，那么与这两个圆相切、且半径为3cm的圆的个数为（  ）

    A．5个     B．4个     C．3个     D．2个

    【点评】两圆相切，有内切，外切，故应分都外切，都内切，一内一外，一外一内共有五种．

    ②⊙O1与⊙O2相交于AB，且AB=24，两圆的半径分别为r1=15，r2=13，求两圆的圆心距．

    【点评】根据两圆圆心与公共弦的相对位置分O1、O2在AB的同一侧和在AB两侧进行分类．

【考点精练】

1．（2006年山西省）现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数是（  ）

    A．1       B．2        C．3          D．4

2．（2006年哈尔滨市）直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有（  ）

    A．4个     B．5个     C．7个     D．8个

3．（2005年山西省）已知⊙O的半径为5，AB是弦，P是直线AB上的一点，PB=3，AB=8，则tan∠OPA的值为（  ）

    A．3      B．      C．或      D．3或

4．（2006年河南省）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（  ）

    A．24      B．24或8     C．48      D．8

5．（2005年山西省）如图，AB，AC与⊙O相切于B，C，∠A=50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（  ）

A．65°            B．115°     

C．65°和115°    D．130°和50°

6．（2006年陕西省）要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已有三角形框架甲，它的三边长分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架乙共有（  ）

    A．1种     B．2种     C．3种     D．4种

7．（2005年甘肃省）若半径为3，5的两个圆相切，则它们的圆心距为（  ）

    A．2      B．8       C．2或8     D．1或4

8．已知直角三角形的两边长分别为和，则斜边上的高为________．

9．已知⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，∠BOD=42°，则∠BAC=______度．

10．在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与直线AC相交所得的锐角为50°，则底角∠B的大小为__________．

11．⊙O1和⊙O2交于A，B，且⊙O1经过点O2，∠AO1B=90°，则∠AO2B的度数为____．

12．若一次函数当自变量x的取值范围是-1≤x≤3时，函数y的范围为-2≤y≤6，则此函数的解析式为________．

13．（2006年天津市）已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点，P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿A→B→C→E运动，到达点E．若点P 经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y，则当y=时，x的值等于_______．

14．（2005年日照市）在“五·一”黄金周期间，某超市推出如下购物优惠方案：（1）一次性购物在100元（不含100元）以内时，不享受优惠；（2）一次性购物在100元（含100元）以上，300元（不含300元）以内时，一律享受九折优惠；（3）一次性购物在300元（含300元）以上时，一律享受八折的优惠．王茜在本超市两次购物分别付款80元，252元．如果王茜改成在本超市一次性购买与上两次完全相同的商品，则应付款（  ）

    A．332元     B．316元或332元      C．288元     D．288元或316元

15．（2005年杭州市）在图所示的平面直角坐标系内，已知点A（2，1），O为坐标原点．请你在坐标轴上确定点P，使得△AOP成为等腰三角形，在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来，画上实心点，并在旁边标上P1，P2，……，Pk（有k个就标到Pk为止，不必写出画法）．

16．（2005年河北省）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．

    （1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

    （2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

    （3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值；

（4）是否存在时刻t，使得PO⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

17．（2006年荆州市）已知：如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以点O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C的坐标分别为A（10，0），B（4，8），C（0，8），D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒．

    （1）动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，指出自变量的取值范围，并求出S的最大值；

（2）动点P从A出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此时P点的坐标．

18．（2005年泉州市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm，正方形DEFC的边长为2cm，其一边EF在BC所在的直线L上，开始时点F与点C重合，让正方形DEFG沿直线L向右以每秒1cm的速度作匀速运动，最后点E与点B重合．

    （1）请直接写出该正方形运动6秒时与△ABC重叠部分面积的大小；

    （2）设运动时间为x（秒），运动过程中正方形DEFG与△ABC重叠部分的面积为y（cm2）．

    ①在该正方形运动6秒后至运动停止前这段时间内，求y与x之间的函数关系式；

    ②在该正方形整个运动过程中，求当x为何值时，y=．

答案:

例题经典  

例1：-8  

例2：①当AB为底边时，AD=DB=5，AB=BC=  

②当AB为腰且三角形为锐角三角形时，

AB=AC=10，AD==8，BD=2，BC=2  

③当AB为腰且三角形为钝角三角形时，

AB=BC=10，BD=8，AC=6  

例3：①A  ②14或4

考点精练  

1．C  2．C  3．D  4．B  5．C  6．C  7．C  8．或  9．42°或138°  

10．20°或70°  11．45°或135°  12．y=2x或y=-2x+4  13．或  14．D  

15．P1（4，0），P2（0，2），P3（，0），P4（-，0），

P5（0，-），P6（0，-），P7（，0），P8（0，）  

16．（1）S=96-6t  

（2）①若PQ=BQ，t=  

②若BP=BQ得3t2-32t+144=0，△<0，无解，∴PB≠BQ  

③若PB=PQ得t2+122=（16-2t）2+122，解得t1=，t2=16（舍去），

∴当t=秒或秒时以B、P、Q为顶点的△是等腰三角形 

（3）由△OAP∽△OBQ得  

（4）当t=9秒时，PQ⊥BD．  

17．（1）S=2t（0<t≤10）当t=10时，S最大值=20  

（2）可得经过7秒或秒后，线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分，

此时符合题意的点坐标为（  

18．（1）重叠部分面积为×22=2（cm2） 

（2）①当正方形停止运动时，点E与点B重合，此时x=8，如图：

当6<x<8时，设正方形DEFG与AB交于点M在Rt△MEB中，

∠MEB=90°，ME=EB=CB-CE=6-（x-2）=8-x，

∴y=S△MEB=（8-x）2  

②在正方形运动过程中分四种情况：

Ⅰ．当0<x<2时，y=2x且0<y<4令y=得x=．  

Ⅱ．当2≤x≤4时，重叠部分面积为4，此时y≠．

Ⅲ．当4<x≤6时，y随x增大而减小，2≤y<4，此时y≠．  

Ⅳ．当6<x<8时，由（2）①得y=（8-x）2，

∵y随x增大而减小，当x=6时，y=2，当x=8时，y=0，

∴0<y<2，令（x-8）2=，且x1=7，x2=9（舍去），

∴x=7，综上所述：x=或x=7时y=．