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知识：①相似；②三角形的两边之和大于第三边；③点到直线之间的距离垂线段最短；④点到圆上点共线有最值。 方法：第一步：找主动点的轨迹 ；第二步：找从动点与主动点的关系；第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹，第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值。 类型1.求轨迹解析式 例1．如图，△ABO为等腰直角三角形，A（﹣4，0），直角顶点B在第二象限．点C在y轴上移动，以BC为斜边作等腰直角△BCD，我们发现直角顶点D点随着C点的移动也在一条直线上移动，这条直线的函数表达式是_______ ． 【分析】抓住两个特殊位置：当BC与x轴平行时，求出D的坐标；C与原点重合时，D在y轴上，求出此时D的坐标，设所求直线解析式为y＝kx+b，将两位置D坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出所求直线解析式． 【解答】当BC与x轴平行时，过B作BE⊥x轴，过D作DF⊥x轴，交BC于点G，如图1所示， ∵等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），∴AO＝4， ∴BC＝BE＝AE＝EO＝GF＝1/2OA＝2，OF＝DG＝BG＝CG＝1/2BC＝1，DF＝DG+GF＝3，∴D坐标为（﹣1，3）； 当C与原点O重合时，D在y轴上， 此时OD＝BE＝2，即D（0，2）， 设所求直线解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将两点坐标代入得：-k+b=3, b=2， 解得：k=-1,b=2．则这条直线解析式为y＝﹣x+2， 当D（﹣1，1）和D（﹣2，0） 于是得到y＝x+2， 综上所述：这条直线的函数表达式是y＝x+2或y＝﹣x+2． 故答案为：y＝x+2或y＝﹣x+2． 【点评】本题考查了轨迹问题，待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，熟练运用待定系数法是解本题的关键． 而本题若用一般方法求解，也不难，构造一线三直角全等可破． 解答： 类型2.求经过的路径长 例2.已知：如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿着A﹣B﹣C的方向以每秒钟1个单位长度的速度匀速运动，当点E到达点C时运动停止．联结DE，以DE为边作正方形DEFG．设运动的时间为x秒． （1）如图①，当点E在边AB上时，联结CG，求证：AE＝CG； （2）如图②，当点E在边BC上时，设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）直接写出，在点E的运动过程中，对应的点F的运动路径的长． 【分析】（1）由正方形的性质得出AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，证出∠ADE＝∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG； （2）利用三角形的面积公式即可得出结论； （3）由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图：点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；由勾股定理求出BD，即可得出结果． 【解答】（1）∵正方形ABCD，正方形DEFG， ∴∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG． ∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDG﹣∠EDC．即：∠ADE＝∠CDG． 在△ADE和△CDG中，AD=CD, ∠ADE＝∠CDG,DE=DG, ∴△ADE≌△CDG．∴AE＝CG． （2）∵正方形ABCD的边长为2， ∴AB＝BC＝CD＝2，∠BCD＝90°． ∵动点E从点A出发，沿着A﹣B﹣C的方向以每秒钟1个单位长度的速度匀速运动，且运动的时间为x秒． ∴EC＝4﹣x，∴y＝S△CDE＝1/2EC·CD＝1/2（4﹣x）×2＝4﹣x ∴所求函数解析式为y＝4﹣x． 自变量x的取值范围是2≤x≤4． （3）如图， 当点E在AB上时，点G在直线BC上， 当点E与B点重合时，点F运动的路径为BF； 同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG； ∵由勾股定理可求得BD＝2√2， ∴BF+FG＝2BD＝4√2，∴点F运动的路径长为4√2． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、平行线的判定与性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 例3．在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E、F运动时间为t秒．回答下列问题： （1）如图1，当t为多少时，EF的长等于4√5cm？ （2）如图2，在点E、F运动过程中， ①求证：点A、B、F、P在同一个圆（⊙O）上； ②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为 ______． 【分析】（1）由题意可知：DE＝t，CF＝t，则EC＝12﹣t，然后，在Rt△EFC中，依据勾股定理列方程求解即可； （2）①首先证明△ADE≌△DCF，从而可得到∠CDF＝∠DAE，然后再证明∠DAP+∠ADP＝90°，于是可证明∠APF+∠B＝180°，故此可证明点A、B、F、P共圆； ②如图1所示：当⊙O与CD相切时（切点为M）．连接OM，并延长MO交AB与点N．则AN＝6，ON＝12﹣r，OA＝r，然后由勾股定理列方程求解即可；当AB为⊙O的直径时，⊙O与AD、BC都相切，从而可得到此时t的值；由于点A和点B均在⊙O上，故此不存在AB与⊙O相切的情况； ③点O运动的轨迹为△ACB的中位线，从而可求得点O运动的路径． 【解答】（1）由题意可知：DE＝t，CF＝t，∴EC＝12﹣t． 由勾股定理可知：CE²+CF²＝EF²， ∴（12﹣t）²+t²＝（4-√5）²，解得：t＝4或t＝8． ∴当t为4或8时，EF的长等于4√5． （2）①由题意可知：DE＝CF． ∵ABCD为正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠FCD． 在△ADE和△DCF中，DE=CF, ∠ADC＝∠FCD,AD=DC， ∴△ADE≌△DCF．∴∠CDF＝∠DAE． ∵∠CDF+∠ADP＝90°， ∴∠DAP+∠ADP＝90°，∴∠APF＝90°，∴∠APF+∠B＝180°， ∴点A、B、F、P在同一个圆（⊙O）上． ②如图1所示：当⊙O与CD相切时（切点为M）．连接OM，并延长MO交AB与点N． ∵DC与⊙O相切，∴OM⊥DC， ∴ON⊥AB，∴AN＝1/2AB＝6． 设⊙O的半径为r，则ON＝12﹣r，在Rt△AON中，由勾股定理得：6²+（12﹣r）²＝r²，解得r＝7.5．∴AF＝15． 在Rt△ABF中，由勾股定理可知：BF＝9．∴CF＝3，即t＝3秒． 当点F与点B重合时，AB为⊙O的直径，⊙O与BC、AD均相切，此时t＝12． ∵点A和点B均在⊙O上， ∴不存在AB与⊙O相切的情况． 综上所述，当t＝3或t＝12时，⊙O与正方形的一边相切． ③∵点O为AF的中点，点F在CB上移动， ∴点O运动的路径为△ACB中AC和AB两边中点连线． ∴点O运动的路径＝1/2BC＝6cm．故答案为：6cm． 【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了全等三角形的性质和判定、勾股定理、切线的性质，三角形中位线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 类型3.求最值问题 例4.如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)，点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值_________. 分析：点B为主动点，点C为从动点，根据瓜豆原理，BA绕点A逆时针旋转60°到CA，主动点B的轨迹是y轴的正半轴，则从动点C的运动轨迹为y轴正半轴绕点A逆时针旋转60°后的射线，我们可以用特殊位置来考虑．当OC⊥点C轨迹所在射线时，OC最短．当然，我们也可以构造手拉手模型，将OC边转化，详细过程请见方法2． 解答：方法一: 方法二:
例5．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E、F分别从点D和点C出发，沿着射线DA、射线CD运动，且DE＝CF，直线AF、直线BE交于H点． （1）当点E从点D向点A运动的过程中： ①求证：AF⊥BE； ②在图中画出点H运动路径并求出点H运动的路径长； （2）在整个运动过程中： ①线段DH长度的最小值为_______ ． ②线段DH长度的最大值为________- ．
【分析】（1）①根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△ABE≌△DAF，得到∠ABE＝∠DAF，根据垂直的定义证明即可； ②根据90°的圆周角所对的弦是直径画出点H运动路径，根据弧长公式求出点H运动的路径长； （2）①根据勾股定理求出PD，根据点与圆的最小距离求出DH长度的最小值； ②与①类似，求出DH长度的最大值． 【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，又DE＝CF，∴AE＝DF， 在△ABE和△DAF中，AB=AD, ∠BAE＝∠ADF，AE=DF， ∴△ABE≌△DAF， ∴∠ABE＝∠DAF，又∠BAH+∠DAF＝90°， ∴∠BAH+∠ABE＝90°，即∠AHB＝90°，∴AF⊥BE； ②∵∠AHB＝90°， ∴点H运动路径是以AB为直径的圆的一部分，如图1所示： ∴点H运动的路径长为：90π×2／180=π；
（2）①设AB的中点为P，连接PD，当点H在PD设时，DH最小， 由题意得，AP＝2，AD＝4，由勾股定理得，PD＝2√5， 则DH长度的最小值为：2√5﹣2，故答案为：2√5﹣2cm； ②由①可知，DH长度的最大值为2√5+2， 故答案为：2√5+2cm．
【点评】本题考查的是正方形的性质、轨迹问题、最大值和最小值的确定，掌握正方形的性质、圆的概念是解题的关键． 综述所示，我们可以归纳提炼上述解题思想方法：第一步：找主动点的轨迹 ；第二步：找从动点与主动点的关系；第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹，第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值。以上方法，我们在解题时，如果遇见同类问题时，可以考虑应用这些思想方法。
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