中考数学专题训练9 动态几何(含答案)

第四节 动态几何

【回顾与思考】

    类别

【例题经典】

会“静”中求动

    例1  （2004年吉林省）如图，已知抛物线y=x2-ax+a+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D（0，8），直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C．运点P以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿C→D运动．同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动．连结PQ，CB设点P的运动时间为t秒．

    （1）求a的值；

    （2）当t为何值时，PQ平行于y轴；

（3）当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值．

    【分析】由PQ∥y轴和DC∥x轴这一静态，得OQ=PD，求t的值．

会由“特殊”推出“一般”

    例2  （2005年南京市）如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D，E始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm．

    （1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？

（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．

【会用“类比的思想”探究图形的变化】

    例3  （2006年临沂市）如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，设P、Q分别为BD、BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度都为1cm/s，设P、Q移动的时间为t（0<t≤4）．

    （1）写出△PBQ的面积S（cm2）与时间t（s）之间的函数表达式，当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？

    （2）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？

    （3）△PBQ能否成为等边三角形？若能，求t的值；若不能，说明理由．

【考点精练】

1．（2005年西宁市）如图1，将正方形ABCD中的△ABP绕点B顺时针旋转能与△CBP重合，若BP=4，则点P所走过的路径长为_________．

            

           (1)                       (2)                     (3)

2．（2005年福州市）如图2，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（  ）

    A．       B．        C．        D．

3．（2005年北京市）如图3，在ABCD中，∠DAB=60°，BC=3，点P从起点O出发，沿DC、CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化．在下列图像中，能正确反映y与x的函数关系的是（  ）

4．（2006年临沂市）如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正方形的边长是大正六边形边长的一半，当小正六边形由图①位置滚动到图②位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度为_______度．

5．如图直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发，沿BO向终点O运动，动点Q从A点出发向点B运动，两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了xs．

    （1）点Q坐标为______（用含x的式子表示）

    （2）当x为何值时，△APQ为一个以AP为腰的等腰三角形？

（3）设PQ的中点为G，请你探求点G随点P、Q运动所形成的图形并说明理由．

6．（2006年杭州市）在三角形ABC中，∠B=60°，BA=24cm，BC=16cm．现有动点P从点A出发，沿射线AB向点B方向运动；动点Q从点C出发，沿射线CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，求：

    （1）几秒钟以后，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半？

（2）在第（1）问的前提下，P、Q两点之间的距离是多少？

7．（2006年济南市）已知半径为R的⊙O′经过半径为r的⊙O的圆心，⊙O与⊙O′交于E、F两点．

    （1）如图甲，连结⊙O′交于⊙O于点C，并延长交⊙O′于点D，过点C作⊙O的切线交⊙O′于A、B两点，求OA．OB的值；

    （2）若点C为⊙O上一动点，

      ①当点C运动到⊙O′内时，如图乙，过点C作⊙O′的切线交⊙O于A、B两点，则OA·OB的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由．

②当点C运动到⊙O′外时，过点C作⊙O的切线，若能交⊙O′于A、B两点，如图丙，则OA·OB的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由．

8．（2005年黄冈市）如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC，CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．

      （1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式．

      （2）试在（1）中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标．

      （3）设从出发起，运动了t秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围．

（4）设从出发起，运动了t秒，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由．

9．（2005年呼和浩特市）如图（1），AB是⊙O直径，直线L交⊙O于C1，C2，AD⊥L，垂足为D．

    （1）求证：AC1·AC2=AB·AD；

    （2）若将直线L向上平移（如图（2）），交⊙O于C1，C2，使弦C1C2与直径AB相交（交点不与A，B重合），其他条件不变，请你猜想，AC1，AC2，AB，AD之间的关系，并说明理由．

    （3）若将直线L平移到与⊙O相切时，切点为C，其他条件不变，请你在图（3）上画出变化后的图形，标好相应字母并猜想AC，AB，AD的关系是什么？（只写出关系，不加以说明）．

答案:

例题经典  

例1：①a=6 ②当t=时，PQ∥x轴  ③当t=时，SABCD=14 

例2：①1秒  4秒 7秒  16秒时相切  

②当半圆与AB相切时，S=9cm2；当与AC相切时，S=（9+6）cm  

例3：①S=-（t-）2+，∵0<t≤4，∴当t=时，S最大为  

②△BPQ是等腰三角形，当PB=PQ时，t=；当BP=BQ时，t=2.5  

③不能，若△PBQ为等边三角形，则BQ=BP=PQ，当BQ=BP时t=，当BP=PQ时t=，

∴BQ=BP与BP=PQ不能同时成立，∴△BPQ不可能为等边三角形．

考点精练  

1．2  2．B  3．A  4．240°  

5．（1）（2+x，4-x）  

（2）P（5-x，0），0≤x≤5，

由勾股定理得PQ2=（x-3）2+（4-x）2，AP2=（3-x）2+42．

若AQ=AP，∴x2=（3-x）2+42，∴x=．

若PQ=AP，则（x-3）2+（4-x）2=（3-x）2+42，∴x=，

∴当x=或时，△APQ是一个以AP为等腰的等腰三角形． 

（3）设PB、BO的中点分别为M、N，∴G随点P、Q运动的形成的图形就是线段MN．

证明：由M（，0），N（，0）可得yMN=2x-5（≤x≤），

由P（5-x，0），Q（2+x，4-x），

∴G（，2-x）满足y=2x-5，

∴G在线段MN上．  

6．（1）2秒或12秒  （2）8  

7．（1）2Rt  （2）无变化  （3）无变化  

8．（1）直线OC的解析式为y=x，经过O、A、C三点的抛物线解析式为y=x  

（2）D（10，6）  

（3）当Q在OC上运动时可设Q（m，m），∴m2+（m）2=（2t）2，

∴m=t，∴Q（t，t）（0≤t≤5），

当Q在CB上时Q点走过的路程为2t，

∵OC=10，∴CQ=2t-10，∴Q点横坐标为2t-2，

∴Q（2t-2，6）（5<t≤10）  

（4）∵梯形OABC的周长为44，当Q点在OC上时，P运动的路程为t，

则Q运动的路程为（22-t），

∴S△OPQ=t（22-t）×，

∴S梯形OABC=（18+10）×6=84，

∴t（22-t）×=84×，

∴t2-22t+140=0，∵△<0，

∴t不存在，当Q在BC上运动时走过的路程为22-t，

∴CQ的长=22-t-10=12-t，

∴S梯形=×6（12-t+t）=36≠84×，

∴t值不存在，∴不存在使及P、Q两点平分梯形的周长和面积  

9．（1）证△AC2D∽△ABC1 

（2）AC1·AC2=AD·AB  

（3）AC2=AB-AD．