2022年河南省洛阳市涧西区中考数学一模试卷

   

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一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。

1．2022的相反数是（　　）

A．2022               B．    

C．﹣2022             D．﹣

2．2021年9月30日《长津湖》上映，影片表现了志愿军战士不惧强敌敢于战斗、敢于胜利的英雄气概．截至2022.1.10票房已经突破了58亿元大关，数据58亿元用科学记数法表示为（　　）

A．5.8×10⁷       B．0.58×10⁸       

C．5.8×10⁸       D．5.8×10⁹

3．如图，AB∥CD，AD⊥BD，∠1＝54°，则∠2的大小是（　　）

A．36°       B．50°       C．26°       D．54

4．如图所示的几何体由5个完全相同的小正方体组成，它的俯视图是（　　）

A．             B．      

C．       D．

5．下列运算正确的是（　　）

A．（m+2）²＝m²+4                

B．m⁵﹣m³＝m²      

C．（﹣m²n）³＝﹣m⁶n³       

D．﹣2m（2m³﹣m）＝﹣4m⁴﹣2m²

6．若方程x²+bx+3＝0有两个不相等的实数根，则b的值不可能是（　　）

A．3       B．4       C．﹣5       D．﹣6

7．下列命题中，为真命题的是（　　）

（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形

（2）对角线互相垂直的四边形是菱形

（3）对角线相等的平行四边形是菱形

（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形

A．（1）（2）       B．（1）（4）       

C．（2）（4）       D．（3）（4）

8．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班50名同学的视力检查数据如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（　　）

视力	4.3	4.4	4.5	4.6	4.7	4.8	4.9	5.0
人数	3	3	6	9	12	10	■	■

A．中位数，众数       B．中位数，方差      

C．平均数，方差       D．平均数，众数

9．如图，D是平行四边形ABOC内一点，CD与x轴平行，AD与y轴平行，AD＝2，CD＝7，∠ADB＝135°，S_△ABD＝8．则点D的坐标为（　　）

A．       B．

C．       D．

10．如图①，点A、B是⊙O上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（　　）

A．     B．   C．5s   D．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．若关于x方程的解是x＝1，则a的值为 　   　．

12．写出一个解集为x＞1的一元一次不等式组：　   　．

13．2022年北京冬奥会的主题口号是“一起向未来”，一个不透明的口袋里装着分别标有汉字“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五个小球，除汉字不同之外，小球没有其它区别．从中任取两个球，则取出的两个球上的汉字恰能组成“一起”或“未来”的概率为 　   　．

14．如图，两块完全一样的含30°角的三角板完全重叠在一起，若绕长直角边中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好经过下面一块三角板的直角顶点，已知∠A＝30°，BC＝2，则此时两直角顶点C，C'间的距离是 　   　．

15．如图，菱形ABCD中，∠A＝30°，AB＝3，点M为射线CD上一个动点，连接BM，点C关于BM的对称点为N．连接BN，MN，当MN⊥CD时，则以点B为圆心的劣弧NC的弧长为 　   　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16．（10分）（1）计算：|﹣2|﹣；

（2）化简：．

17．（9分）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，其中要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔，戴头盔对保护骑电动车人的安全尤为重要，某日一志愿者在某市区随机抽取部分骑电动车的人，对此人群进行佩戴头盔情况调查（调查内容为：“很少戴头盔”、“有时戴头盔”、“常常戴头盔”、“总是戴头盔”）．将调查数据整理后，绘制成部分统计图如图所示．请根据图中信息，解答下列问题：

（1）该调查的样本容量为 　   　；

（2）“总是戴头盔”的人数占被调查人数的百分比为 　   　；

（3）请对此次佩戴头盔情况调查作出评价，并对该市公安部门提出一条合理化建议．

18．（9分）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，3）和B两点，与x轴交于点C．

（1）b＝　   　，k＝　   　；

（2）当﹣x+b＜时，请结合图象直接写出x的取值范围；

（3）连结OA、OB，求△OAB的面积．

19．（9分）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，洛阳市某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节（如图2）．已知探测最大角（∠OBC）为60°，探测最小角（∠OAC）为26.6°．若该设备的安装高度OC为1.80米．请你帮助学校确定该校测温区域的宽度AB．

（结果精确到0.1米，参考数据：sin26.6°≈0.45．cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，≈1.73）

20．（9分）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，点P是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．

（1）请按要求尺规作图：

①作线段AP的垂直平分线CD，交于点C，交AP于点D，连接AC，CP；

②以点C为圆心，CA长为半径作弧，交于点E（E，A两点不重合），连接CE，BE，BC．

（2）猜想线段BP，BE的数量关系，并证明．

21．（9分）2022年，冬奥会和冬残奥会在北京举办，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．2021年11月初，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，当月售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为33000元．十二月售出了“冰墩墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为54000元．

（1）求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；

（2）已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为90元/个和60元/个，进入2022年1月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是旗舰店准备用60000元全部购进这两款毛绒玩具．设购进“冰墩墩”x个，“雪容融”y个．

①求y关于x的函数关系式；

②该旗舰店进货时，厂家要求“雪容融”的购进数量不超过“冰墩墩”的购进数量，若1月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则如何设计进货方案才能使该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于点A，B（A在B的左侧）

（1）若抛物线的对称轴为直线x＝1，点A的坐标为（﹣1，0），求b和c的值；

（2）将（1）中的抛物线向左平移两个单位后再向下平移，得到的抛物线经过点O．且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，求点P的坐标；

（3）当b＝6时，在抛物线上有两点M（m，y₁）和N（m+3，y₂），且y₁＜y₂，请直接写出m的取值范围．

23．（10分）问题情境：

数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AB＝8，长．

动手实践：

（1）如图1，腾飞小组将矩形纸片ABCD折叠，点A落在BC边上的点A'处，折痕为BE，连接A'E，然后将纸片展平，得到四边形AEA'B，则折痕BE的长为 　   　．

（2）如图2，永攀小组将矩形纸片ABCD沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕AC，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），第二条折痕与AD交于点E．请写出OC与OA的数量关系，并说明理由．

深度探究：

（3）如图3，探究小组将图1中的四边形AEA'B剪下，在AE上取中点F，将△ABF沿BF叠得到△MBF，点P，Q分别是边A'E，A'B上的动点（均不与顶点重合），将△A'PQ沿PQ折叠的对应点N恰好落在BM上，当△A'PQ的一个内角与∠A'BM相等时，请直接写出A'Q的长度．

 

2022年河南省洛阳市涧西区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。

1．C．2．D．3．A．4．B．5．C．6．A．7．B．8．A．9．A．10．D．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．﹣1． 12．（答案不唯一）．13．．14．．15．π或π．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16．解：（1）|﹣2|﹣

＝2﹣2﹣4

＝﹣4；

（2）

＝

＝．

17．解：（1）200；

（2）15%；

（3）由于“总是戴头盔”的人数占被调查人数的百分比为15%，可推断出该市骑电动车佩戴头盔的人数较少，戴头盔对保护骑电动车人的安全非常重要，所以公安部门应全面强制骑电动车的市民佩戴头盔．

18．解：（1）4，3．

（2）联立，解得x＝1或x＝3，

∴B（3，1），

根据图象可知，当﹣x+b＜时，0＜x＜1或x＞3．

（3）连接OA，OB，如图所示：

当y＝﹣x+4＝0时，x＝4，

∴C（4，0），

∴OC＝4，

∵A（1，3），B（3，1），

∴S_△AOB＝S_△AOC﹣S_△BOC＝＝4，

∴△OAB的面积为4．

19．解：在Rt△BCO中，

∵tan∠OBC＝，

∴BC＝

＝

＝

≈

≈1.04（米）．

在Rt△ACO中，

∵tan∠OAC＝，

∴AC＝

≈

＝3.60（米）．

∴AB＝AC﹣BC

≈3.60﹣1.04

＝2.56

≈2.6（米）．

答：该校测温区域的宽度AB为2.6米．

20．解：（1）①如图，直线CD即为所求作的垂直平分线，

②如图，点E即为所求作的点，线段CE，BE即为所连的线段，

（2）结论：BP＝BE．

理由：∵DC垂直平分线段AB，

∴CA＝CP，

∴∠DAC＝∠DPC，

∵AC＝CE，

∴CE＝CP，＝，

∴∠CBP＝∠CBE，

∵四边形ABEC为⊙O的内接四边形，

∴∠CAB+∠CEB＝180°．

∵∠DPC+∠CPB＝180°，

∴∠CPB＝∠CEB，

在△DFB和△DCB中，

，

∴△CBP≌△CBE（AAS），

∴BP＝BE．

21．解：（1）设“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为m元和n元，

根据题意，得，解得，

∴“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为120元和90元．

（2）①根据题意，得90x+60y＝60000，

∴y＝﹣1.5x+1000，

②根据题意，得﹣1.5x+1000≤x，

解不等式，得x≥400，

设该旗舰店当月销售利润w＝（120﹣90）x+（90﹣60）（﹣1.5x+1000）＝﹣15x+30000，

∵﹣15＜0，

∴w随着x的增大而减小，

∴当x＝400时，w最大＝﹣6000+30000＝24000．

此时y＝﹣600+1000＝400，

∴“冰墩墩”和“雪容融”各购进400个时，该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为24000元．

22．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，点A的坐标为（﹣1，0），

∴B（3，0），

∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x²+2x+3，

∴b＝2，c＝3；

（2）y＝﹣x²+2x+3＝﹣（x﹣1）²+4，

设抛物线向下平移m个单位，

∴y＝﹣（x﹣1+2）²+4﹣m，

∴y＝﹣（x+1）²+4﹣m，

∵抛物线经过原点，

∴﹣1+4﹣m＝0，

∴m＝3，

∴平移后抛物线为y＝﹣（x+1）²+1，

∴P（﹣1，1）；

（3）当b＝6时，y＝﹣x²+6x+c，

∴抛物线的对称轴为x＝3，

∵M（m，y₁）和N（m+3，y₂），且y₁＜y₂，

分两种情况：

①点M和N都在对称轴x＝3的左侧时，m+3≤3，

∴m≤0，

②点M，N在对称轴的两侧时，

∵y₁＜y₂，

∴，

解得：0＜m＜，

综上，m的取值范围是m＜．

23．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°＝∠A，

∵将矩形纸片ABCD折叠，点A落在BC边上的点A'处，

∴∠ABE＝∠A'BE＝45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴BE＝AB＝8，

故答案为：8；

（2）OC＝2OB；理由如下：

∵矩形纸片宽AB＝8＝CD，长＝AD，

∴AC＝＝＝8，

由翻折点A落在OC上可得BE⊥AC，

∴∠BOA＝90°，

∴2S_△ABC＝AB·BC＝AC·OB，

∴OB＝＝，

在Rt△AOB中，OA＝＝＝，

在Rt△BOC中，OC＝＝＝，

∴OC＝2OA；

（3）过M作RT∥AB交AE于R，交A'B于T，如图：

由已知可得：四边形ABA'E是正方形，边长为8cm，

∵F是AE中点，

∴AF＝4cm，

∵△ABF沿BF叠得到△MBF，

∴BM＝AB＝8cm，FM＝AF＝4cm，∠BMF＝∠A＝90°，

∴∠FMR＝90°﹣∠BMT＝∠MBT，

又∠MRF＝∠MTB＝90°，

∴△FRM∽△MTB，

∴＝＝＝＝，

∴MT＝2FR，BT＝2MR，

设FR＝x，MR＝y，则MT＝2x，BT＝2y，

∵AR＝BT，

∴4+x＝2y①，

∵AB＝RT，

∴8＝y+2x②，

由①②可得：x＝，y＝，

∴FR＝cm，MR＝cm，MT＝cm，BT＝cm，

（Ⅰ）当∠A'QP＝∠A'BM时，PQ∥BM，

∴∠PQN＝∠BNQ，

∵△A'PQ沿PQ折叠的对应点N恰好落在BM上，

∴∠PQN＝∠A'QP，NQ＝A'Q，

∴∠BNQ＝∠A'BM，

∴BQ＝NQ，

∴BQ＝A'Q，即Q是A'B的中点，

∴A'Q＝A'B＝4（cm）；

（Ⅱ）当∠A'PQ＝∠A'BM时，过N作KS∥AE交A'B于S，过P作PK∥A'B交KS于K，如图：

在Rt△BMT中，tan∠A'BM＝＝＝，

∴tan∠A'PQ＝，

∴＝＝，

∵∠PNQ＝∠A'＝90°，

∴∠PNK＝90°﹣∠QNS＝∠NQS，

∵∠K＝∠NSQ＝90°，

∴△PKN∽△NSQ，

∴＝＝＝，

设SQ＝m，SN＝n，则NK＝m，KP＝n，

∴NQ＝＝＝A'Q，

∵KP＝A'S＝A'Q+SQ，

∴n＝+m，可得n＝m，

∴A'Q＝＝m，SN＝m，

在Rt△BNS中，

tan∠NBS＝＝，

∴BS＝SN＝m，

∵BS+SQ+A'Q＝A'B＝8，

∴m+m+m＝8，

解得m＝，

∴A'Q＝m＝（cm），

综上所述，A'Q的长为4cm或cm．

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