数学部分（36 首）

“1”的自述

我的名字叫做“1”，
自然数中是小弟；
正弦、余弦我最大，
真分数永远比我低。
禀性忠厚又老实，
“乘以”、“除以”没关系。
两数之积若是我，
互为倒数无置疑。
同学莫把我藐视，
我的作用妙无比。
说明：在恒等变形时，巧用1（如将1 与tg45°，tgα·ctgα，sin2α＋cos2α，
lg10，a0（a≠0），x/x，x·1/x 互化）（x≠0）可使解法简便。

式子无意义三诀

分母不得为零，
偶次方根为负，
零负没有对数。
注：开偶次方时，根号中式子的值为负数时，没有意义。

多个有理数相乘符号法则歌

多个有理数相乘，
负号当家起作用；
奇负偶正规律定，
一数为0 必得0。
说明：几个不等于0 的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定（“负号当家起
作用”）。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。几个有理数
相乘，其中若有一个因数为0，则积为0。

常用速算口诀（三则）

（一）十几与十几相乘
十几乘十几，
方法最容易，
保留十位加个位，
添零再加个位积。
证明：设m、n 为1 至9 的任意整数，则
（10＋m）（10＋n）
＝100＋10m＋10n＋mn
＝10［10＋（m＋n）］＋mn。
例：17×l6
∵10＋ （7＋6）＝23（第三句），
∴230＋7×6＝230＋42＝272（第四句），
∴17×16＝272。

（二）十位数字相同、个位数字互
补（和为10）的两位数相乘
十位同，个位补，
两数相乘要记住：
十位加一乘十位，
个位之积紧相随。
证明：设m、n 为1 到9 的任意整数，则
（10m＋n）［10m＋（10－n）］
＝100m（m＋1）＋n（10－n）。
例：34×36
∵（3＋1）×3＝4×3＝12（第三句），
个位之积4×6＝24，
∴34×36＝1224。 （第四句）
注意：两个数之积小于10 时，十位数字应写零。

（三）用11 去乘其它任意两位数
两位数乘十一，
此数两边去，
中间留个空，
用和补进去。
证明：设m、n 为1 至9 的任意整数，则
（10m＋n）×（10＋1）＝100m＋10（m＋n）＋n。
例：36×ll
∵306＋90＝396，
∴36×11＝396。
注意：当两位数字之和大于10 时，要进到百位上，那么百位数数字就成为m＋1，
如：
84×11
∵804＋12×10＝804＋120＝924，
∴84×11＝924。

奇数连加法

从1 开始连续奇数加，
其中自有妙算法，
1 加末数除以2，平方得数即是它。
举例：1＋3＋5＋7??＋21
＝〔（1＋21）÷2〕2
＝112
＝121。

合并同类项法则

合并同类项，
法则不能忘；
只求系数代数和，
字母、指数不变样。

分解因式歌

首先提取公因式，
然后考虑用公式。
十字相乘试一试，
分组分得要合适。
四种方法反复试，
分解完成连乘式。

算术根运算法则歌

绝对值，算术根，
永不为负记在心。
两个好像亲姐妹，
形影相随不离分。
两人一旦分了手，
谬误可能就降临。
说明：绝对值和算术根都是非负数。对于算术根的运算，一般是先化成绝对值的
形式，再根据绝对值的概念，化去绝对值符号，这样可以减少差错。

二元二次方程组一般解法

未知项，成比例，
消元降次都可以。
方程一边等于零，
因式分解再降次。
方程缺了一次项，
常数消去再求解。

一元一次不等式的解法

如有分母，去分母；
如有括号，去括号。
常数都往右边挪，
未知都往左边靠。（注）如有同类须合并，
化为标准再求解。
注：未知指未知数。

一元一次不等式组的四种情况

大大取较大，
小小取较小，
小大，大小中间找，
小小，大大解不了。

不等式解集的几种情况

两大从大，
两小从小，
一大一小就相连，
不能相连是空集。
取对数口诀
已知真数求对数，
首数尾数分别求，
根据位数定首数，
再用数表查尾数。
取反对数口诀
已知对数求真数，
定数定位两步走，
先用数表查数字，
再用首数定位数。

巧背圆周率

解放前，江南某处山下有一所学校，山巅有一座寺庙。一天，教师上山
同和尚对饮，临走时布置学生背圆周率，要求背到小数点以后22 位。学生背
诵终日，还是记不住。眼看就要日落西山，有个学生灵机一动，把老师上山
喝酒的事编成一段顺口溜：
山巅一寺一壶酒，（3，14159）
尔乐苦煞吾。 （26535）
把酒吃，酒杀尔， （897932）
杀不死，乐尔乐。（384626）

求积顺口溜

周长除以π得直径，
直径除以2 得半径。
半径平方乘π等于圆面积，
外圆内圆面积相减求环形。
扇形面积是乘以圆心角，
pr 2
360
圆柱侧面积是底面周长乘以高。
圆柱表面积两底加一侧，
圆柱体积底面积乘高。
套管体积外圆柱减内圆柱，
圆锥体积底面积乘高再三等分。

面积公式歌

正方长方最简单，
要知面积长乘宽；
平行四边底乘高，
三角乘后再折半；
梯形上底加下底，
乘高除二便算完；
知道直径就知周，
圆形面积也好求，
直径折半自相乘，
再乘3.1416。
遇到奇形与怪状，
先截后算莫慌张，
能截三角截三角，
能截方来就截方，
大块小块加一起，
整个面积就知详。
几种体积的计算
长方形体积如何求？
长乘宽来再乘高。
正方形体积如何求？
就是棱长三次方。
圆柱体体积如何求？
圆底面积乘以高。
圆锥体体积如何求？
先把底面积乘以高，
然后再乘三分之一，
这步千万别忘了。

角的集合

数学里面角很多，
组成一个大集合。
射线绕着端点转，
生成一个平面角。
转一圈，叫周角，
转半圈，叫平角。
顺时针转，叫负角，
逆时针转，叫正角。
绕着端点不断转，
生成终边相同的角。
90°角是直角，
还有锐角和钝角。
两角之和为直角，
它们互相称余角；
两角之和为平角，
它们彼此称补角。
许多角和圆有关：
圆心角，圆周角，
圆内角，圆外角，
还有一个弦切角。
搞测量，也要角，
望物体，称视角，
测目标，方位角，
向上看，叫仰角，
向下瞧，是俯角。
就是划分经纬度，
处处也要用到角。
一条直线有倾斜角，
两条交成对顶角。
三条直线若相交，
还会构成许多角：
同位角，内错角，
同旁内角和外角。
多边形，有顶角，
相似就有对应角。
有内角，有外角，
外角角和为周角。
内外两角若相邻，
彼此互为邻补角。
若是等腰三角形，
顶角之外叫底角。
圆的内接四边形，
外角等于内对角。
扇形有个中心角，
还可定义新的角。
就是平日解题目，
也常设个辅助角。
记住上面种种角，
科学研究唱主角。

几何证明题歌诀

几何证明并不难，
首先过好审题关。
字斟句酌细琢磨，
命题反复看几遍。
画图正确利思考，
已知求证要写全。
知识联想更重要，
紧扣题意再“优选”。
分析途径是逆转，
根据结论寻条件。
字迹工整层次清，
论证步骤写周全。

证明两线垂直或平行

欲证垂直、平行线，
多依定理来判断。
平行、垂直常互变，
其中直角是关键。
四点共圆很有用，
找角相等极方便。
如有公用一斜边，
证出直角不为难。
若用中点证平行，
常常利用中位线。
如能找到弦中点，
连接中心即垂线。
若知两圆相外切，
必有一外公切线。
连接切点必垂直，
再做一个公切线。
内外公切线相交，
连线也能成垂直。
平行、垂直挺有用，
证明常添辅助线。
只要规律掌握好，
平行、垂直题得证。

证明成比例（成等积）线段

证明比例是重点，
掌握规律并不难。
比例等积可互换，
先把定理牢记全。
射影定理分角线，
圆幂定理平行线。
若无定理可引用，
相似定理排里边。
相似不行也好办，
只寻等比或等线。
再用定理或相似，
找到等比好代换。
条件一定要认准，
常常需添辅助线。

平面几何辅助线一般添加法

角之关系要细辨，
构造等、差、倍、半是关键。
比例线段平行线，
构造相似三角形也常见。
比例线段中有和差，
延截相等线段好办法。
诸圆相交公共弦，
有时得用连心线。
诸圆相切公切线，
切点圆心还需连。
直角相对想共圆，
互补二角共弦想共圆，
四边形外角等于不相邻内对角想共圆。
若遇中点找中点，
两点相连平行线。
角之平分线遇垂线，
延长垂线得等边。

圆的辅助线之歌

三圆和两圆，
圆心紧相连；
两圆紧为伴，
必连公切线；
两圆扣成环，
必连公共弦。
说明：几何题目涉及两圆、三圆的问题，常常把它们的圆心连起来。两圆若外切
和内切要作出它们的公切线；两圆若相交要作出其公共弦。

三角函数值在象限内的符号

郑玄吃鱼
说明：郑玄是我国三国时的一位数学家。“郑玄吃鱼”可以帮助记忆六个三角函
数在四个不同象限内的符号。“郑”，（Ⅰ）中皆为正（音同郑）；“玄”，（Ⅱ）只
有正弦（音近弦）和它的倒函数余割为正；“吃”，（Ⅲ）中只有正切（音近切）和它
的倒函数余切为正；“鱼”，（Ⅳ）只有余（音同鱼）弦和它的倒函数正割为正。
三角函数符号、互倒及奇偶性记忆法
如果将三角函数按顺序编号，正弦函数为一，余弦函数为二，正切函数
为三，余切函数为四，正割函数为五，余割函数为六，那么可以熟记下面的
口诀：
全正；一、六；
三、四；二、五；
二、五不变。
说明：在第一象限六个函数都为正，第二象限一、六为正（即正弦，余割函数为
正，其余四个函数都为负）；第三象限三、四为正（即正切，余切为正，其它为负）；
第四象限二、五为正（即余弦、正割为正，其余为负）。二、五不变，是说余弦，正割
为偶函数〔cos（－x） ＝cosx，sec（－x）＝secx〕，其余四个函数均为奇函数。并
且一、六，三、四，二、五互为倒数关系（即sinα· cscα＝1，tgα·ctgα＝1，
cosα·secα＝1）。

记忆诱导公式

关于180°±α， 360°±α，－α的诱导公式口诀为：
函数名不变，
符号看象限。
关于90°±α，270°±α的诱导公式口诀为：
函数名改变，
符号看象限。
说明，①不管α是什么样的角，都把它看作锐角来确定诱导公式中角所在的象限，
从而确定它的符号。
②符号的确定，是由原来函数的角所在象限决定的。
③函数名改变，指正弦、余弦互变，正切、余切互变，正割、余割互变。
三角函数诱导公式的共同特点
奇变偶不变
符号看象限

通过正六边形记三角公式

记忆三角公式，有一张图形会对我们有所帮助：
在这个六边形中，位于对角线两端的两项乘积均为1，即：tgα·ctgα
＝1，sinα·cscα＝1，cosα·secα＝1，共三个公式。画有格线的三角形
中，肩上两角两项的平方和等于下面一项的平方，即sin2α＋cos2α＝1，ctg2
α＋1＝csc2α，tg2α＋1＝sec2α，共三个公式。相邻三个顶点的外项乘积
等于中间一项，即：sinα＝cosα·tgα，cosα＝sinα·ctgα，tgα＝sin
α·secα??共六个公式。该图形中，正弦、正切、正割依次位于六边形右
侧，而余弦、余切、余割位于左侧，易于记住。记住一个图形即可记起十几
个公式，确是一种经济省力的记忆方法。

积化和差公式

正弦·余弦（＝ ）正加正。
余弦·正弦（＝ ）正减正。
余弦·余弦（＝ ）余加余。
系数二分之一要牢记。
角角关系变和差。
公式符号记忆法
一减余弦想正弦，
一加余弦想余弦，
异名减，同名加，
幂高一次角减半。

三倍角正弦与余弦函数公式

三倍角正弦：3 减43。
三倍角余弦：43 减3。
系数后面很好记，
都是单角的同名函数。
公式：
sin3θ＝3sinθ－4sin3θ。
cos3θ＝4cos3θ－3cosθ。

和差化积公式

和差化积需同名，
变量置换要记清；
假若函数不同名，
互余角度换名称。
简记为：
S＋S＝2S·C
S－S＝2C·S
C＋C＝2C·C
C－C＝－2S·S