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第一讲（下）
三、培养学生解决问题的能力
应用题教学与学生解决问题能力的培养，前边我们重点的讨论了老师们在解决问题的教学中碰到的困惑，下面我们从学生这个角度去体会一下孩子们在解决应用题的过程当中可能会碰到哪些问题？学生可能会遇到困难，原因很多：一是过去学生在学习应用题的时候。它的结构是非常清晰的，特别是有的老师抓住了一些题型的特征进行训练；二是解题思路、解题过程都是非常清晰的；条件总是围绕着问题来说的，条件不多不少；呈现形式单一；可是现在解决问题的表现形式不同了，不单纯局限在文字叙述题了；不再去抓题型教育，不再完全按照应用题的结构来进行分析，条件和问题都开放了。面对众多的变化，学生感到了压力和挑战，在学习过程中也遇到很多困惑：
作为教师，我感觉在解决问题的过程中，有个别学生由于教法的改变，经常出错，经常受挫，造成学生的自信心不足，一见到应用题犯怵，他找不到可以套的模式了；
作为教师，我感觉学生在读懂题意和捕捉有用信息上存在问题：题目的呈现方式大多是都是图文并茂，用这样的方式来呈现众多的信息，学生不能够有效地提取出来，不能够准确地把图画信息转化成文字信息，有的孩子就把图画的信息遗漏了。这就是孩子在读懂题意这方面存在着问题。
请听孩子的心声：
生1：我不是特别喜欢应用题，因为做应用题太麻烦了，程序太多，而且答题的时候少几个字都不行，尤其解方程的应用题格式更麻烦。我不太喜欢；
生2：我希望老师讲一些比较有意思的题，我喜欢做有意思的有挑战性的应用题；应用题我觉得挺有用的，因为学好应用题可以解决一些问题，比如春游买票的时候，我就可以自己算价钱。
生3：一遇到应用题我就晕，不知道该从哪去想，原来我做应用题看“多“字，就做加法，看“少“字就做减法。可是遇到有些题再看“多“字做加法就不行了。
面对学生的困惑，我们是不是可以从以下三个问题入手：
1．孩子感觉解决问题的题目本身可能远离他们的生活实际，尽管是生活中的，也是孩子们不太熟悉的，或者或者远离孩子们身边的；这样的题目，学生不感兴趣，因此就不能够引发学生学习的兴趣和探究的需要。那么到底怎样出一些好的题目，提供一些好的素材这可能是我们要好好研究的问题。
2．学生在学习应用题过程当中，碰到了“应用题”不知从哪下手来解答？找不到解决问题的策略？我们应该帮助孩子提炼解题策略。
3．学生在探究过程或解决问题过程中，很可能会出现这样或那样的错误。那面对学生的错误或失败该怎么办呢？
㈠怎样出好题目。
我们先把同样的类型的题目做了一个比较，就是原来题怎么出，课程改革以后，我们在解决问题过程中又是怎样呈现的这个题目。
 A组题我们从内容上进行一下比较：一种是过去应用题中肯定要做的，我们叫做工程问题；都是按照这种文字形式来出现的，而且有些内容离学生的实际很远。你看打稿件甲打时间乙打的时间，最后问合打要完成二分之一；对学生来讲，可能是距离比较远；另外呈现的形式也是比较单一，纯文字的形式。现在，数学题图文并茂，教材将数学信息蕴含于情境图中，给出了这个数学信息。学生要从情境图中，提取出有用的数学信息，来帮助理解题意进行解答。第二个题目在图中和叙述当中共同出现了，这样的情境，符合孩子学习的需要，学生也有这样的经验，这个内容选的就比较好；再有，形式也改变了那种单一的文字形式， 它通过画面展限的是孩子们喜闻乐见很生动的一种情境，同时要从中捕捉数学信息，来解决这些问题。
对于A组题，它的特点就是在内容上，它的内容更具有现实性，更贴近孩子生活实际，从形式方面新颖活泼，从单一的文字形式到了图文图文并茂的形式。
  出B组题的目的，我觉着从思维价值上看更具有挑战性。第一题就是用750减去300得450就是直接一步就完了。现在，有情境图让题目的思维更具有价值。谁爬得高？其中有一句话我们来看，小明说：我还差300多米就到山顶了。这个“多”字出得好！当学生面对这样的信息，学生就在想到底是300多少米呢？是301？是350？还是399？等等。学生在思考的过程中他就尝试着计算：如果是300米有750减300减下来也比460米要少；如果是400米用750减400那就爬得更低了。在这个过程中，学习边思考边估计，不用很多的计算学生就知道小明比小丽爬得低。我觉得这个题目出的好就好在它不是单一的让学生去用减法计算，而是富有挑战性让学生面对信息，面对信息当中呈现出的关键的地方引发学生的思维。这样学生在解决这个问题的过程当中就获得了思维的发展，换一句话说就是要用数学本身的魅力来吸引学生。
 第一个题过去经常见到的,加工一批零件、修一条水渠，这样的题材在过去还是很多的。我们看这道题,学生很容易能做出来，就是9乘3加6;同样是9乘3加6，就是过去说的乘加两步命题。第二题还是乘加，数字还没有变，式子也没有变，只不过内容形式变了。非常有趣,我想是从形式上更具有趣味性,更适合孩子.
过去我们说的应用题教学从内容上来讲是远离孩子们的身边、孩子们的实际的。新课程改革以来，由于呈现形式的变化，出现了生动活泼的画面，而且要在画面中要提取数学信息。对于小孩子来讲他们当然应该一定是更喜欢第二种题的。
要出好题应该从趣味性层面去吸引孩子的兴趣，激发学生学习欲望。对比较枯燥的问题学生学起来没有兴趣，放在情境图中让学生非常好玩、非常有意思，这也是考虑到孩子们心理特征和心理需求。
刚才通过这个三个ABC这个三组题，我们把过去的应用题教学出现的题目和今天新课程教学中解决问题从内容、思维价值和趣味性进行了对比。下面我们看一下国外解决问题的题目是怎么样呈现的。
这是加拿大的一道题：
• 有四个同学到不同的商店买围巾和手套，他们花的钱如下：
Emma 围巾 5.59元，手套18.75元
Jeff 围巾 6.75元，手套24.98元
Michael 围巾 3.89元，手套19.82元
Alicia 围巾 2.05元，手套 16.18元
谁买的手套的钱数大约是围巾的8倍？
思考：这个题目和我们平时出的题目有哪些不同呢？
这是的美国一道题下面几道题都要算150除以60，但是答案不一样
⑴“150支铅笔，均分给60个学生，每人分得几支？”（答：2支）
⑵“150个同学，每只船可以乘60个同学，需要几只船？”（答：3只）
⑶“一部电影放映150分钟，要放映多少小时？（答：2.5小时）
同样是150除以60，用除法来解答的这个问题，但是在做结果回答的时候却出现了三种不同的答案。
学生需要的是好题目，到底什么是好题目？什么是好素材？老师们你们怎么样来看好题目的标准是什么？这个问题还是先抛给老师们，你们先思考着好不好？
㈡如何体现好的策略
现在的解决问题和过去发生了变化，学生在解决问题中碰到的一个很大的困惑就是不知从哪下手来分析问题？不知道有什么好的解决问题的策略？我们如何让在学生自主的讨论中去发现问题和解决问题在解决问题策略这方面我们怎样对学生进行指导呢？
接下来请看案例，同一内容《鸡兔同笼》，不同年级采用什么策略？
《鸡兔同笼》问题，是过去奥校中学习的内容，我就记得当时让学生一定要记住假设成鸡的，得兔的；假设成兔的，得鸡的。然后列一大串的算式，学生就记住这个框架模式结构，但是并不知道其中的道理，孩子们学习感到非常的困难。
在新的课程标准中，规定把《鸡兔同笼》问题放进了新课标的教材。我们怎样来认识它的教育价值？怎样在鸡兔同笼的这样的具体的教学当中来培养学生解决问题的策略？
【案例1】徐斌老师（二年级）
题目：鸡兔放在一个笼子里，头一共有5个，有14条腿，鸡有几只？兔有几只？
提示：我们用圆圈代表头，画5个。用
 表示鸡的腿，用表示兔的腿。用这样的方法去画腿，腿一共有14条。可以边画边数，多画了擦掉，少画了补上。 学生画完后汇报，老师给演示。
 生1：我先画一只鸡，在最后画一只四条的兔，在前边画一只鸡，再画一只兔，
师：兔画哪儿？
生1：兔画倒数第二个。
生1：中间再画一只鸡。
师：中间为什么不画兔了？
生齐：再画就比14条多了。
师：也就是你边画边数的，画到这儿的时候你数腿是多少条了？
生齐：12条腿，
师：那么只能画一只鸡了。这样画下来得到的结果是几只鸡？几只兔？
生齐：是3只鸡，2只兔。
师：还有哪位小朋友画的结果和他画的一样，向徐老师挥挥手。
师：有没有小朋友跟它画的结果一样，顺序不一样？
 生2：我先画一只鸡，第二只也是鸡，第三只是兔，第四只也是兔，最后只能画鸡了。
师；你画了2只鸡，又画了2只兔，最后画1只鸡。
师：这样的结果对吗？
生齐：对。
师：只要你画的结果是对的，顺序不一样有没有关系呀？
生齐：没有关系。
 生3：我先画上三只鸡，
师：一下子就画三只鸡了？是吗？
生3：我先画两只鸡，总共是4条腿，再画1只兔，再画1只鸡，再画1只兔。
师：数到这儿，腿还差几条了？
生齐：4条。
师：最后只能画兔了。
师：大家都画对了。可以想刚才小朋友一样边画边数，可以先画鸡，也可以先画兔；可以先画2只鸡，再画2只兔；一定要边画边数。
鸡兔同笼问题，可谓是我们国家的古典难题。以前在教材当中一般不出现，现在在教材当中编了。我曾经做了一个大胆的尝试，否让二年级的小朋友也来解决鸡兔同笼问题呢？教学之后我的体会很深。刚才老师们看了一段教学片段，我在教学的时候整个一堂课我没有让学生列算式也没有先假设成鸡，再怎么怎么……也没有先假设成兔再怎么怎么……记那些套路。在这堂课当中我主要让学生采用的一种方法和策略，那就是画图，画数学画。我跟小朋友讲怎样画数学画呢？小朋友们创造出了表示鸡和兔的有趣的数学画，小朋友用圆圈表示鸡和兔的头，用短竖表示它们的腿。在这里鸡和兔头的具体形状已经不重要了，腿的形状也不重要了。重要的是鸡和兔的头和腿的数量特征。刚才在学生在画图的时候，学生一边画一边数，腿多了再擦掉腿少了再填上。可以说是边画图边调整，最后学生都解决了这个问题，而且解决这个问题之后，我们发现学生都很兴奋。因为我跟学生讲：这个题目原来是大哥哥大姐姐们的学习发现。现在你自己用自己创造出来的数学画，用画图的方法也能够解决问题。
这个案例也给了我们大家很多的思考，我觉得只要我们相信学生、只要我们引导学生创造出合适的方法和策略，就能解决我们平时可能觉得不能解决的问题。
【案例2】施银燕老师（五年级）
师：鸡兔同笼听说过吗？
生：听说过。
师：鸡兔同笼问题已经有了1500多年的历史了，它最早出自我国古代的一本数学名著《孙子算经》，我们要学的新方法是尝试。谁知道尝试？
师：那这个问题你会尝试吗？
生：会。
师：请同学们打开施老师课前发的表，把你尝试的过程写在表里。
……
师：哪个小组愿意把你们都大家欣赏的方法推进给大家呢？
师：呦，这么多组。
师：这样吧你们先来好吗？注意简单的说明你们推荐的理由。好不好？
生：我们组先尝试如果鸡是一只的话，然后兔子是十一只的话，那么它们两个加起来就有四十六只腿就远远超过了三十条腿……
师：稍等一下，那个你们这么说可能同学们听的不是很清楚到前面来。
生：如果呢鸡有一只兔子有十一只，鸡的腿就有两只，而兔子的腿是有四十四只，两个腿加起来一共是四十六只。这样呢就是超过了三十条腿，然后我们又接着假设，我们假设鸡有两只。兔子呢有十只，那么鸡的腿就有四只，兔子的腿就有四十只，它一共呢就有四十四条腿。最后呢我们还接着假设，假设鸡有三只兔子有九只，那鸡就有六只腿，兔子呢就有三十八条腿……
师：孩子我觉得你们试的过程，其实把这个表放在这，我们都看的很清楚了是吗？你们这种尝试的方法有什么特点？或者有什么好处跟我们大家说说。
生：就是按照规律找接着我们发现：鸡的只数每加一只兔子少一只，中间呢就会少两条腿，按这个规律最后找到了。最后我们发现三十条腿。我们推荐这种方法的主要理由是：这种方法很适于广大的同学，而且这种方法应该说是比较简单吧，把这道本来很难的题。我们把这道本来很难的题，画成了一个很简单的图表。这样大家不但能很清楚的看到这些数据，而且能很清楚的找到答案。这就是我们推荐这种方法的理由。谢谢大家！
师：说的真好等等等等先放这，底下同学还有话问你们呢？有什么问题？
生：为什么你后来是那个？鸡的只数增多，而不是鸡的只数减少呢？
生：因为我们是这么想的：鸡的腿数大家肯定很清楚，它就是两只而兔的腿数呢它是四只，那么兔的腿数肯定要比鸡的腿数要多。那么我们第一个是这么想的。它的就是说真正的腿数其实是四十六只，就是说这是远远的超过了三十只。就是说本来为什么会超过呢？
这是因为鸡太少了，所以它鸡的腿数的和太少。但是兔的腿数那个它每条的四也就太了。所以我们一点一点的把这个往下缩小，而把这个增加。把兔的缩小我觉得是这么样的。
师：谢谢！还有问题？毛雨桐。
生：我想问你，那为什么你先看出鸡有一只，兔子有十一只？既然得到了四十六条腿，这已经远远了超出了三十，那为什么你们不把鸡再多扩大一些把兔子再缩小一些？那样不是更简便吗？
师：毛雨桐，施老师发现你水平真高。已经开始说另外的更好的方法了是吗？你觉得更好的方法是不是这样，一会儿再说。咱们就这个问题一块来说。你们先回，好吗？同学们来看，他们这种尝试最后成功的找到了答案，对吗？看看他们的尝试有什么特点？这种尝试谁看出来了？
生：康则齐。他们都是按鸡是一二三四五六七八九这样排列的。
师：特别的怎么样？
生：有规律，特别的有顺序。是把鸡和兔合起来是十二个头的所有的情况一一的列举出来。
师：这么有序的列举有什么好处？
生：我觉得会不会漏掉一些数据。
师：是这样吧？你说。
生：而且这样会把这个你所做这个题的思路看的很清楚。
师：非常好！这样地毯式的大搜索咱们就会觉得特保险，不会漏掉哪一个，对吗？所以刚才他说这个是适合我们所有同学的方法，是吗？那么有序的列举除了有这么一个好处他们刚才还发现了还有另外一个特好的地方，其实从这个尝试里我们就已经看出来了你说能找出数之间的规律你们找到了吗？
生：找到了。
师：什么规律？
生：不行，不能叫，你们组都讨论过了。
师：换一个，其他同学谁发现了。好，你说。
生：我发现每增加一只鸡，减少一只兔子它的腿数就会减二。
师：是吗？
生：发现了这个规律有什么用啊？李瑞。
生：因为我觉得发现了这个规律，那腿数就不用一个一个的去死算了，就可以寻着这个规律去找。发现了这个规律之后，我们可以直接由一开始的四十六条腿直奔三十条腿。
师：对吗？
生：看出来这里边相差了多少个，我就一下子能够找出，正确的答案了。我们发现他们那个小组后面也不是一一算出来，就直接找到那个答案了。
师：对吗？看一看其实这个方法跟咱们课前有同学说的假设法是不是有什么相似？很大的相似之处，对吗？好的，刚才这个小组呢推荐了一种特别有价值的方法，那么其它小组有不同的吗？谁来？好，你们吧。请到前面来，要教鞭吗？
生：我们组的方法呢是由李良质发明出来的，我们方法呢其实跟他们的差不多也是先想出他们两个鸡和兔的只数，然后呢往下依次的去找这样找到答案的，但是我们的是先假设鸡的只数和兔的只数一样多，这样它们一共是有三十六只腿，就比题目中说的三十只腿要多，所以呢我们就可以推测出来那个兔子呢是比鸡少的，所以呢我们每一次是把一只鸡加一兔子减一这样就算到了三十。我们认为这个好处呢就是非常的简便，还有一种好处就是你看它兔子的腿是四只，然后假如说他不是写的上面有十二个头吗，要是你把兔子都给当成了的话那就是四十八只了，就远远超过它了，然后就是这种办法太麻烦了。然后就这样我们算出了。
师：等一下，同学们也都看出来了你们这种尝试的方法特别简单，我看到你就是一二三，第四步找到结果了对吗？但是你只说简单，我不知道为什么就能这么简单，简单的背后如果是碰运气那我们也学不了，你简单的背后原因是什么？
生：我们这样子呢就是如果说鸡和兔子呢看成是一样多的话，那就是说如果。一样多的话更好看出来它到底是鸡多还是兔多，这样呢就按照那个思路去找，就能快一些。
师：好多同学跟你有共同的想法可以请底下的同学说。
生：我觉得如果要是说那就从找出它的那个十二中间的这个数之后，假如说算出来的腿数呢是远远超过三十条腿的话，就是减去那个腿数多的动物，就是那个四条腿的兔子，一点一点往下减的话这样不用很多算式就能算出来。而且我觉得用他们的中间那个数的话跟他们的答案很接近。你看它那个腿数是三十六，而刚才刚才朱子元他们那组的办法呢腿数是一开始就是四十六了，因为中间的那个办法呢中间的从中间往旁边算的话这样子离答案我觉得很接近。
师：我从刚才几个同学的发言中都听到了这样的两个词。他们不是没根据的而是都是通过对问题的分析然后调整了以后才使他们的尝试特别简便的，对吗？好。
我觉得施老师这节课用足时间带领学生去深入地研究尝试的方法。
尝试的方法分为三个层次：
⑴逐一尝试：优点是能够引导学生发现规律，而且答案不会有遗漏；
⑵中间尝试：优点是尝试的范围缩小了一半；
⑶跳跃尝试：需要不断调整，思维价值大。
三种尝试方法，其尝试的价值是什么？对学生的思维和探究会带来什么价值？都需要我们很好地研究。特别是刚才徐斌老师的课和施银燕老师的课，因为年级不同，他们采取的方法、策略也就不同。请老师们去思考在这样的课堂教学当中，他们运用了怎样的教学策略？如果您来设计，您还有其它一些想法吗？
㈢怎样对待学生的错误
学生经常在探究的过程当中在解决问题的过程中出现问题和错误出现错误。面对着学生的问题、错误，老师又该怎么办呢？你有什么更好的方法经验或者教训吗？让我们走进潘晓明老师的课堂。
【案例3】潘晓明老师
某班有男生20人，比女生多，女生多少人？
生：我是这样列式的：20-20X=13（人），因为我想男生比女生多，也就是女生比男生少。所以，只要用男生人数减去男生人数的就等于女生人数。
教师板书；男生比女生多——女生比男生少。
生2：人数不可能有人。
师：什么原因造成的呢？
生3：有可能是题目中的数据不科学，也有可能是算式列错了。
生4：画线段图。（图略）20÷4X3=15（人）
生5：男生比女生多，说明男生是女生的倍，所以用20 ÷=15（人）
生6：列方程。
生7：从图中可以看出，男生人数和女生人数分别是4份和3份，男生20人，所以女生15人；
师：15人和13人，哪个答案正确呢？（几乎所有学生都选择15人）。可是我觉得这样列式也有道理呀，问题出在哪里呢？
（四人小组讨论）
小组代表发言：男生与女生人数不相同，不能倒过来理解；举例说明；从图中看出：女生应该比男生少……
其实，这个类似于这样的一个教学的情况在我们的教学当中是经常出现的。因为在整数的解决问题就是你比我多五只，就是我比你少五只，那么在解决分数的应用题的时候，我们就会遇到一个问题：到底这个分数它表示的是谁的？所以这个问题很普遍。潘老师可贵的就是，在学生遇到问题时，老师敏锐地抓住了，把问题抛给学生。学生通过画图和讨论，由结果去猜测、推断，最后获得了对问题地解决。潘老师这段案例处理得非常有智慧。
在我们当课堂当中出现了这个问题，潘晓明老师是这样处理的。你认为他处理的方法怎么样？你还有什么更好的方法吗？如果你的课堂里出现了这样的问题你又会怎么样做呢？这个问题留给老师们去继续地思考，下一场我们接着来回应这个问题。
曾经我也听了施银燕的这节老鸡兔同笼的课堂教学，在课堂上学生也出现了探究事物的情况本来一共是多少条腿呢？对结果他拦腰进行探究的时候，就是从中间探究的时候，这个腿数第一次探究就是发现三十六条了。然后学生调整又失误，反而腿多了，应当把兔子的数量减少，他反而把兔子的数量增加了。学生探究中就失败了三次，探究就发现这个腿数越来越多，那么在这种情况下施老师她是怎样面对学生探究失败的呢？
让我们一起走近施老师的课堂看看施老师是怎样来处理这个问题的？
《鸡兔同笼》片断
师：那个小组没推荐他？为什么没推荐？还没试完是吗？是不是？你说。
生：因为他们把腿……因为他们把兔子增加很多，增加的腿数越多，所以那个也是错的啊。
师：所以最后也没找到结果是吗？可以说这几次尝试都失败了。那同学们，像这样尝试了几次都失败了是不是这个尝试没有任何意义？也就跟没事一样，对吗？
生：对。（有同学认可）
生：不对！因为我认为他这三种尝试都失败了，这可以让人们知道已经有三种想法，是已经被排除了。而不是说这三次失败，三次都失败了是没有意义的。
师：说的真好。蔡世奇的话让我想到了一位著名的科学家爱迪生，他在尝试做灯丝的材料的时候试了一千多种材料都失败了，他的助手很灰心对他说：你看你已经失败了一千多次了，成功非常渺茫，我看你还是放弃吧。爱迪生却不这么说，他说：我觉得我还是成功了！我成功的发现了这一千多种材料是不能做灯丝的。最后爱迪生经过了六千多次的尝试终于找到了灯丝的材料。所以才有我们现在的光明。同学们如果这个同学继续试下去你觉得他会成功吗？
生：会！
师：那么这份作品代表的可能是他刚开始的想法，如果我们现在再采访他，估计他会又有调整了。你觉得他会怎么调？
刚才看了施银燕老师两分多钟的小教学片段。我们各位老师一定很有感慨她面对着学生的探究失败，有这样一段有备而来的即兴讲话，实际上是老师教育思想一个表现的过程。我想面对学生的失败施老师是这样处理了。特别是她分析了既然失败了有没有价值呢？提出这么一个很好的问题。我们在座的老师们看了这一段教学录像以后，你们有些什么想法？
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