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>>卷积： 冲击响应就是线性系统对冲击信号产生的响应。 信号可以分解为冲击信号的平移和幅度上的缩放。 根据线性系统的性质，任何一点（输入信号只有一点）对线性系统的响应都可以表示为冲击响应的缩放和平移。 所以任何一个信号对线性系统的响应可以表示为每一点的所产生的经平移和缩放的冲击响应的累加，这个可以从卷积的表达式看出。 所以知道了冲击响应，就知道线性系统对任何输入信号的响应，描述这种输入输出关系的就是卷积。 以上是从输入信号的角度看卷积，每个输入信号上的点都产生一个缩放和平移之后的冲击信号，然后对这些冲击信号进行累加。也可以从输出信号的角度去看，即每一个输出信号上的点都是由一系列输入信号和冲击信号相互作用产生的。 一个N点的信号和一个M点的信号相卷积，其输出有N+M-1个点。 相关是利用卷积来运算的，它能在一个信号中找到目标信号的位置（根据相关值来判断）。 ------------------------------------------- >>DFT，以下都是实数DFT： DFT原理 一个域离散则另一个域周期。 DFT时域即离散又周期，所以其频域即周期又离散。 实数DFT，时域有N点（其实是周期延拓，一个周期N点），可以由N/2+1个正弦信号和N/2+1个余弦信号表示，每个正余弦信号也是N点（也是周期延拓，一个周期N点）。 上面就是DFT的物理意义，N点的实数经DFT之后是N/2+1个点的复数，复数的实部是正弦信号的幅度，虚部是余弦信号的幅度。复数只是一种数学上的表示方法。将正余弦幅度画出来表示频谱，称作直角坐标表示法。 每个正余弦信号的幅度可以通过相关的方法求出。 也可以将上述N/2+1个复数表示成模（幅度）和相位，这样画出来的频谱称作极坐标表示法。 频谱的横坐标有用点数来表示的，范围是0到N/2（N/2+1个数）；分数表示法，范围是0到0.5；还有自然频率表示法，范围是0到π。 对DFT时域离散频域周期的解释：因为离散信号是不连续的点，即采样点，这些采样点可能是一个频率的连续信号上的某些点，但也可能是比这个频率高的连续信号上的某些点，还可能是比这个频率低的信号上的某些点，这个就呈现出了周期性。 DFT性质 如果时域信号是左右对称的，则其DFT变换的相位是线性的，称作线性相位。特别的，如果时域信号关于原点左右对称，则其频域相位为0，称作0相位。 DFT时域取的点越多（采样频率不变），其频谱分辨率越高。这是因为N增加，则N/2+1越大，而频谱的最高频率不超过1/2的采样频率，所以频谱上的间隔减小，即分辨率提高。 DFT的时域是周期性的，N个点为周期；频域上通常是看0到N/2-1个点，但它是关于原点对称的，实部和幅度偶对称，虚部和相位寄对称，它的周期也是N个点。 时域上的平移会造成相位的斜率发生改变。 时域卷积等于频域相乘。 一个N点的信号和一个M点的信号（N>M）卷积得到N+M-1个点。 从频域上看N点信号的频谱N/2+1个点，M点信号的频谱做N点DFT之后也是N/2+1个点，两者相乘在IDFT之后得到输出信号时N个点，这样就比普通卷积少了M-1个点，不要忘记DFT是周期性信号，少了M-1点可能会造成前后输出信号的叠加，但也可能不会只要N比有效的信号范围来的大就行了，这种用DFT求的卷积叫圆周卷积。 ------------------------------------------- >>FIR/IIR： FIR：有限脉冲响应，通过卷积来求输出，随着脉冲点数的增多，其频谱特性可以做的很好，并且可以做到使线性相位的，但是速度慢，借助FFT卷积可以提高速度。 常用的有平滑滤波器、sinc窗函数。平滑滤波器主要用于时域平滑，可以用递归来实现；sinc窗函数主要用于频域滤波。 IIR：无限脉冲响应，通过递归方程来求输出，不同的递归系数就决定了滤波器的特性，滤波特性没有FIR好，但是速度快。由于是根据递归系数来确定，而不像FIR那样是根据频域来确定，所以设计时很难确定频域形状，所以很难确保是线性相位。 常用的有单极点滤波器、切比雪夫滤波器。前者用于时域平滑，后者用于频域滤波，切比雪夫的滚降较快，但是有ripple。 关于IIR极点一般的理解是：极点越多滤波器的性能越好。 通过IIR的递归方程进行Z变换，可以求出其频域特性。  当M>0时，M就是IIR滤波器的阶数，表示系统中反馈环的个数。由于反馈的存在，IIR滤波器的脉冲响应为无限长，因此得名。若M=0，则系统的脉冲响应的长度为N+1，故而被称作FIR滤波器。 可以直接利用模拟滤波器设计IIR滤波器，因为模拟滤波器本身就是无限长冲激响应的。通常IIR滤波器设计的过程如下：首先根据滤波器参数要求设计对应的模拟滤波器（如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器等等），然后通过映射（如脉冲响应不变法、双线性映射等等）将模拟滤波器变换为数字滤波器，从而决定IIR滤波器的参数。IIR滤波器的重大缺点在于，由于存在反馈其稳定性不能得到保证，而FIR滤波器由于不存在系统极点，FIR 滤波器是绝对稳定的系统。 ------------------------------------------->>图像傅立叶变换： 图像的DFT变化也是把图像看成是周期延拓的信号，就像砖瓦一样一块块铺起来，其DFT变换之后的信号也是周期信号，也想砖瓦一样一块块铺起来。假设图像为N*N点阵，其DFT变换也是N*N点阵，取行编号为0、列编号为0的点为中心，这就是说图像的DFT变换的编号有负有正。 在1维信号中，DFT变换把信号分解成多个正弦信号，表示信号包含有多个频率。对图像来说，其像素的灰度变化也是一种频率的反映，一般来说边沿的时候灰度的变化较为明显，或者说灰度变化频率较快；而一幅图像的灰度如果比较平均，则表示灰度无明显变换，其变化频率较慢。 或者说图像频谱的低频部分决定了大体上的灰度变化（比较模糊），而图像频谱的高频部分决定了细节变化（边沿）。 将图像DFT之后，变化频率较慢的成分就越靠近中心，而频率变化较快的成分就越远离中心。 图像的频谱也具有对称性，实部和幅度以中心镜像对称；虚部和相位以中心反镜像对称。 图像频谱的相位决定了图像的样子，如果将另一幅图像的幅度和本幅图像的相位结合，还是能看出本幅的图像，只不过灰度变化不正常。这是因为相位决定了幅度变化的方向。那1维信号来说，如果有一个上升沿，那么在这个上升沿发生的时候，很多正弦信号的相位都是一样的，这样就能堆起一个上升沿，应用在图像里面，也是同样的道理。所以相位是决定信号的样子的。 如果图像中有一根很细的长条横卧，则其频谱的垂直方向上有更多的分量，而频谱的水平方向上的分量较少。这是因为频谱上的点具有方向性，图像上水平的直线需要更多垂直的分量来组成，而图像垂直方向上相对不变，所以也不需要很多水平的分量。 图像的卷积一般用的PSF较小，比方3*3点阵的算子，常用的算子有平滑滤波和边沿增强算子。图像的卷积和1维信号一样也可以从输入信号看和输出信号看。如果卷积比较复杂，可以用FFT卷积来做。 ------------------------------------------- >>FFT： FFT是基于复数DFT变换的，当然也有专门针对实数DFT的FFT，属于改进算法。 复数DFT：那1维信号来说N点的时域信号产生N个点的频域信号，都含有实部和虚部。 实数DFT：那1维信号来说N点的时域信号产生N/2+1个点的频域信号，每个频域信号含有实部和虚部。 FFT只所以快是因为：第一步，它将1个N点的信号先分解成N个1点的信号；第二步，计算这N个1点信号的频谱，这很好计算，因为复数就是它自己，但现在这N个信号是频谱信号了；第三步，再将这N个频谱信号按一定的规律加起来就得到了所需要的频谱。第三步是最复杂的，是按第一步分解的反过程，那些很复杂的蝶形运算就是用于这个反过程的，它们改变信号的位置，再通过相加将2个N/2点的信号变成1个N点的信号。 ------------------------------------------- 我发觉一个道理：书不在于看多少，而在于能想明白多少，或者说自己有什么想法。以后多想想少看看，看多了容易忘记，而且在需要时候还想不起来，在需要时候想不起来那看了还有什么用~ |
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