高等数学上册考题

 

一、填空题（每小题3分，共15分）

   1）设，则；

   2）；

   3）已知的三个顶点的坐标为，则

；

   4）曲线的弧长等于；

   5）。

二、选择题（每小题3分，共15分）

   1）设，则（     D    ）

     A、           B、      C、       D、

   2）设，则当时，（    B    ）

     A、与是等价无穷小量；        B、与是同价但非等价无穷小量；

     C、是比高阶的无穷小量；      D、是比低阶的无穷小量；

  3）设在上严格单调减少，在处有极大值，则（   A   ）

A、在处有极小值；     B、在处有极大值；

C、在处有最小值；     D、在处无极值也无最值；

   4）在下列函数中，在定义域上连续的函数是（   B   ）

A、             B、

C、         D、

  5）若连续曲线与在上关于轴对称，则积分的值为（   D    ）

   A、                 B、

   C、        D、0

三、解答下列各题（每小题7分，共14分）

  1）设参数方程，求。

  解：

    

    

  2）求曲线在拐点处的切线方程。

   解：

     当时，，容易得出点是曲线的拐点。

    

所求切线方程为：

四、解答下列各题（每小题7分，共14分）

  1）计算积分

   解：原式

  2）计算积分

  解：令

原式

   

五、（本题8分）确定常数的值，使函数在处连续可导。

解：，

    由连续性可得

   

   

   由可导性可得

六、（本题8分）已知可导函数的一个原函数为，求。

解：

  

七、（本题8分）在上可导，且，试证明：，使。

证明：由积分中值定理，至少存在一点，使得

设，则

 对函数在区间上运用罗尔中值定理，至少存在一点

有

八、（本题8分）证明：方程，在内有且仅有一个实根。

解：设，因为

 

 在上严格单调递增，所以在上最多只有一个零点；

又因为

由零点定理，在内至少有一个零点。

九、（本题10分）已知曲线与曲线在点处有公共切线，求

     （1）常数的值及切点

     （2）两曲线与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。

解：（1）解方程组

     所以，切点坐标为

  （2）