初中因式分解浅谈

初中因式分解浅谈

合道中学 曹德文   发布时间：2010-10-27 来源：互联网

内容摘要

       因式分解是初中数学学习中很重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学学习之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．

关键词  初中因式分解的方法、技巧

首先，我们必须把握因式分解的定义，把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫着把这个多项式因式分解。明确因式分解实质只是一个多项式的变形而已，不是计算。强调考查对象是一个多项式，目的是要把它化成几个整式积的形式。即等式的左边是一个多项式，右边是几个整式相乘的形式。可见，因式分解与整式乘法是相反方向的变形。最起码的特征是等式的右边的式子是相乘的。

其次，我们必须掌握几种简单的分解方法。初中主要体现以几种方法：

一·提公因式法

多项式中每一项都有的因式叫做这个多项式的公因式。通过观察探讨，我们发现，一个多项式的公因式实质上是取各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的积的形式。具体做法是：（1）找出各项的公因式。（2）把公因式写在等式的右边，然后用多项式除以公因式，再把所得的商写在括号里与公因式相乘。注意：（1）若多项式的首项为负数，为使提公因式后括号里首项不含负号，可提一个带负号的公因式。(2)结果中出现相同因式时写成乘方的形式.公因式中字母也可以是整式。（3）多项式中某一项全提公因式后不要漏掉“1”这一项。（4）提公因式要一次提“全”提“尽”，直到不能再分解为止。

例如，把下列多项式分解因式：

（1）8a³b²－12ab³c               （2）－2m³＋4m²＋2m    

（3）6（x－2）＋x（2－x）       （4）18b（a－b）²－12（a－b）³

解：（略）

二·运用公式法

初中阶段主要涉及两类三个公式：

平方差公式a²－b²=（a＋b）（a－b）；

完全平方公式a²＋2ab＋b²=（a＋b）²     a²－2ab＋b²=（a－b）²

（一）平方差公式a²－b²=（a＋b）（a－b）；

1·公式特点：

（1）这个多项式有两部分组成。（2）这两部分可以表示成平方差的形式，即这两部分异号。（3）等式的右边是左边两平方项的底数的和与差的积。

2·方法步骤：（1）把左边多项式化成两部分平方差的形式，认准两平方项的底数。（2）右边写成两底数和与差的积的形式。（3）最后把括号里和与差化简彻底，使等式中不再有中括号、同类项，直到不能再分解为止。

3·例题展示，把下列各式分解因式

（1）1－25b²                           （2）（x＋p）²－（x＋q）²

（3）16（a－b）²－9（a＋b）²     （4）x⁴－y⁴

 

（二）完全平方公式  a²＋2ab＋b²=（a＋b）²        a²－2ab＋b²=（a－b）²

 1·公式特点：（1）多项式是由三部分组成的。（2）其中有两部分（或通过提负号）可化成平方和的形式。（3）第三部分是两平方项的底数积的二倍。（4）右边是两平方项的底数的和或差的平方。左边第三项为正则右边是两底数和的平方；左边第三项为负则右边是两平方项底数的差的平方。

2·方法步骤：（1）多项式中有公因式先提公因式。（2）表示出两平方项并验证第三项是否是两平方项底数积的二倍。（3）右边表示成公因式与两平方项底数的和或差的平方的积的形式。

3·例题展示，把下列各式分解因式

（1）1＋4x²y²－4xy                    （2） －x²－4y²＋4xy

（3） －16m⁴n⁶＋24m³n⁵－9m²n⁴ （4） 9（x＋a）²＋30（x＋a）（x＋b）＋25（x＋b）²

 三· 分组分解法

采用分组分解法，关键在于分组，分组不仅要将有公因式或能用公式的项划归一组，同时还要预见到下一步还有公因式可提或能套用公式。用不同的方法分解因式但正确的结果是唯一的。

（一）分组—提公因式法分解因式

例如，把下列各式分解因式

（1）a²－ab＋ac－bc       （2）2ax＋5by－10ay－bx

（二）分组—运用公式分解因式

           例如，把下列各式分解因式

            （1）x²－y²＋ ax＋ay  （2）a²－2ab＋b²－c²   （3）x³＋x²y －xy²－y ³        

 解：（1）x²－y²＋ ax＋ay                                    

             =（x²－y²）＋（ax＋ay）                             

             =（x＋y）（x－y）＋a（x＋y）                 

             =（x＋y）（x－y＋a）             

      （2）a²－2ab＋b²－c²

                ^{=（a2－2ab＋b2）－c2}

             =（a－b）²—c²

             =（a－b＋c）（a－b－c）

       （3）x³＋x²y －xy²－y ³

             =（x³＋x²y）－（xy²＋y³）

             = x²（x＋y）－y²（x＋y）

             =（x＋y）（x²－y²）

             =（x＋y）²（x－y）

四·十字相乘法

—x²＋（a＋b）x＋ab=（x＋a）（x＋b）型

对于二次三项式x²＋（a＋b）x＋ab型的因式分解，可以分解成两个一次二项式的积的形式。其中这两个一次二项式的常数项之和正是二次三项式的系数，常数项之积正是二次三项式的常数项。

通过题型训练总结如下：

（1）    例如分解因式x²＋5x＋6或x²－5x＋6

常数项6可分解为2×3或（－2）×（－3）而2＋3=5、（－2）＋（－3）=－5正是一次项的系数。

 可见对于二次项系数为1、常数项为正数的二次三项式，当一次项系数为正数时，二次三项式的常数项分解成两个正数且使两正数的和恰是一次项的系数；当一次项的系数为负数时，二次三项式的常数项分解成两个负数且使两负数的和恰是一次项的系数。即常数项分解的两个数的和等于一次项的系数的绝对值。

（2）    例如分解因式x²＋x－6或x²－x－6

常数项都为－6可分解为3×（－2）或（－3）×2而3＋（－2）=3－2=1 （－3）＋2=2－3=－1正是一次项的系数。

可见对于二次项系数是1、常数项是负数的二次三项式，当一次项系数为正数时，二次三项式的常数项的绝对值分解成两个正数的差等于一次项的系数，用较大因数减较小因数，即写成字母加大因数与字母减小因数的积的形式（加大减小）；当一次项系数为负数时，二次三项式的常数项的绝对值分解成两个正数的差等于一次项的系数，用较小因数减较大因数，即写成字母加小因数与字母减大因数的积的形式（加小减大）。

例如（1）m²＋5m－14

常数项-14的绝对值14=2×7一次项系数是5=7－2故m²＋5m－14=（m＋7）（m－2）  （2）y²－6y－40

常数项-40的绝对值40=4×10一次项系数是－6=4－10故y²－6y－40=（y＋4）（y－10）

当然，因式分解不限于这几种方法，限于初中生的认知水平和初中课标要求，这里在就不做过多的探讨了。方法步骤上可以参考以下口诀：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项全提莫漏１，括号里面分到“底”。也可遵从一“提”二“套” 三“分”四“查”的步骤，即先提公因式，再套用公式，其次分组解决，最后用多项式的乘法检查验证。

         参考资料  初中八年级数学课本

 

                                                          2010年4月