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情景再现 因式分解：x²+10x+9 分析：没有公因式，无法使用平方差公式，无法使用完全平方公式。此时有学生提出，可以用十字相乘法（自己在外面已经学过）  一一二十 什么是十字相乘法？ 就是把9分成1和9,然后画十字，如图  于是x²+10x+9 =(x+9)(x+1)   王小 一一二十 这就是我们上个专题所讲的拼凑的方法，为何要画十字？ 不知道，反正这样就可以。 王小 一一二十 为何要十字交叉，横着想乘再相加也行啊？ 溯本探源 十字相乘法的确存在，对于形如x²+px+q的二次三项式的分解，本质也是：拆常数，凑中间。为何要通过十字交叉的形式来凑中间的一次项呢？ 我们先来回顾一下我们学过的多项式的竖式乘法。（详见第67期） 对于多项式 (x+a)(x+b) 的乘法，根据竖式乘法   所以，一个二次三项式x²+px+q如果可以分解成(x+a)(x+b)，本质上是将常数项拆分，凑成中间的一次项，观察一次项的构成，是第一个多项式的一次项和第二个多项式的常数项的乘积与第一个多项式的常数项和第二个多项式的一次项乘积的和，说起来比较拗口，直接上图，如图，  一旦凑常数项成功，根据多项式乘法与因式分解是相反的过程，只要横着写因式即可。 例 分解因式 x²-3x-10 所以x²-3x-10=（x-5）（x+2） 方法总结 刚才的分解过程可以简单总结为三个步骤： ①竖分常数项； ②交叉相乘，和相加； ③检验确定，横写因式； 简称：竖分常数交叉验，横写因式不能乱 思维提升 分解因式：2x²-7x+3 分析：如果它可以分解成两个一次多项式的乘积，则2x²-7x+3=(a1x+c1)(a2x+c2)，根据竖式乘法 则a1a2=2,c1c2=3,发现a1，a2是二次项的系数的因数,c1，c2是常数项的因数，a1c2+a2c1 是二次三项式的一次项系数，是由两个一次多项式系数交叉相乘之和得到。 于是可按以下办法进行拆分 解： 所以将最后一个分解方式横写因式，得 2x²-7x+3=(x-3)(2x-1) 和之前步骤一样： ①竖分常数项和二次项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式 简称：竖分常数交叉验，横写因式不能乱 后记： 2可以分解为2,1，固定2和1的位置不变，改变常数项两个位置的位置（这里我们只选择一种都为正，因为因式分解结果首项如果是负的，可以提一个负号出来） 3是个整数，有两种分解方式，但是都同号. 这种方法也称为：分两头，凑中间。 牛刀小试 分解因式：6x²-7x-5 解： ∴6x²-7x-5=（2x+3）（3x-5） 后记 对于二次项系数不为1的二次三项式分解，十字相乘法非常简便，有以下方法技巧： ⑴二次项系数为正时，只考虑分解成两个正因数之积； ⑵在二次项系数为正时，常数项的分解，符号规律同上个专题的、的符号规律； ⑶分解二项项系数、常数项有多种可能，即使对于同一种分解，十字图也有不同的写法，为了避免重或漏，故二次项系数的因数一经排定就不变，而用常数项的因数作调整； ⑷用十字相乘法分解因式时，一般要经过多次尝试才能确定能否分解或怎样分解． 一一二十 你知道为什么叫十字相乘法了吗？ |
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