帮你学好因式分解(七)——十字相乘法

十字相乘法是运用完全平方公式不能因式分解时需要优先考虑的又一种基本方法，其依据是根据由乘法恒等式——

(x a)(x b)=x^² (a b)x ab

演变过来的公式——

x^² (a b)x ab=(x a)(x b)．

从某种意义上来说，十字相乘法也是运用公式法，它是针对二次项系数为1的二次三项式x^² px q进行分解的第三种基本方法．运用这种方法的思路是寻找两个数a，b，使得它们的积ab等于常数项q，和等于一次项系数p．一旦找到了这样的两个数，那么就可以把多项式x^² px q分解为(x a)(x b)．

例如，分解x^² 10x 16因式时，由于它是二次三项式，所以我们首先想到的是能否运用完全平方公式？经过验证可知这种方法是不能的，因此考虑十字相乘法，寻找两个数，使得它们的积等于16，且和等于10．要寻找这样的两个数，我们一般只需要先考虑正整数就可以．

由于乘积等于16的两个正整数只有1和16，2和8，4和4这三组，所以接下来只需要验证哪一组的和等于10即可．显然，在这三组数中，只有2 8=10，所以2和8就是我们寻找的两个数．

因此，x^² 10x 16可分解为(x 2)(x 8)．

为什么把这种因式分解的方法叫做十字相乘法呢？这是因为在寻找这样两个数时，为了方便与直观，我们一般通过画如下简易的交叉“十字”图，把二次项x^²分解为x乘以x，把常数项16分解为所有可能两个整数的相乘，然后再寻找和等于一次项系数10的一组．由于这个“十字图”的缘故才把这种因式分解的方法叫做十字相乘法．

例如，用十字相乘法分解x^² 7x-18因式时，通过画“十字图”可以较快地找到我们想找的两个数．

由于常数项是负数，所以分解为乘积的两个整数是一正、一负，验证一次项系数时要注意符号．经过几次尝试与验证，我们寻找的两个数是9和-2.

所以x^² 7x-18=(x 9)(x-2)．

再如，因式分解：x^²-18x 56．

见到常数项56，我们马上想到的是“七八五十六”，由于一次项系数是负数，于是自然会想到乘积等于56的两数是-7和-8,．但是，-7与-8的和是-15，不等于一次项系数-18，告这一方案失败．

再对乘积等于56的两个数继续尝试，一定会找到-4和-14，满足乘积等于56，和等于-18，

所以x^²-18x 56=(x-4)(x-14).

显然，运用十字相乘法进行多项式x^² px q因式分解的关键是找到两个数a与b，使得a b=p，ab=q．而能否快速找到这两个数，虽然是“三分靠运气”，但大多还是靠实力，经过不断尝试总能成功的．

运用十字相乘法因式分解时需要注意以下几点：

（1）上述方法针对的是二次项系数为1的二次三项式，如果二次项系数不是1，其分解思路也是一样的．

比如，因式分解：3x^²-7x-6．

把3x^²分解为x与3x的积，-6分解为1与-6，-1与6，2与-3，-2与3，然后验证交叉乘积的和是否等于一次项-7x?

易知，在这些方案中，只有x·2 3x·(-3)=-7x，

然后把同行的x与-3相加，得(x-3)，3x与2相加，得(3x 2)，再把(x-3)与(3x 2)相乘即可．即：

3x^²-7x-6=(x-3)(3x 2)．

（2）二次项带负号“-”时，先提取负号“-”再分解．

例如，因式分解：-x^² 3x-2．

解：原式=-(x^²-3x 2)

=-(x-1)(x-2)．

（3）如果多项式有公因式仍然需要先提取．

例如，分解因式：3ax^³-39ax^²x-42ax．

解：原式=3ax(x^²-13x-14)

=3ax(x-14)(x 1).

（4）别忘了完全平方公式．

对于二次三项式的分解因式，不要因为有了十字相乘法而忘了完全平方公式．

例如，分解因式：x^²-6x 9．

解析：该多项式满足完全平方公式条件，可用公式法直接得到：

原式=(x-3)^²．

如果用十字相乘法，则容易写成(x-3)(x-3)，此时应再化为(x-3)^²，否则就不够完美了．

（5）要有整体思想的意识．

例如，因式分解：(a-b)^² 5(a-b)-50.

解析：把(a-b)作为整体，则易得：

原式=(a-b 10)(a-b-5)．

（6）双字母的二次三项式仍可运用十字相乘法．

例如，分解因式：x^²-3xy-4y^²．

解析：视y为1，分解x^²-3x-4=(x-4)(x 1)，然后将因式中的-4，1作为原式分解因式中y的系数，得：

原式=(x-4y)(x y).

（7）分解后因式要计算、化简与整理，之后能继续分解的要继续分解．

例如，分解因式：(2x 3)^²-12(2x 3) 35.

解析：把2x 3作为整体，用十字相乘法分解后会出现2x 3与35分解出来的数相加减，此时需要计算化简，整理后还要看看能否继续分解？

原式=[(2x 3)-5][(2x 3)-7]

=(2x-2)(2x-4)

=4(x-1)(x-2).

（8）运用十字相乘法分解后仍然需要再考虑每个因式是否能继续分解？

例如，分解因式：x^⁴ 5x^²-6.

解析：把x^²作为整体，原式可视为关于x^²的二次三项式，运用十字相乘法分解后，每个因式都是二次式，应再考虑能否继续分解？

原式=(x^²)^² 5x^²-6

=(x^²-1)(x^² 6)

=(x 1)(x-1)(x^² 6)．

（9）有时需要先计算再分解．

例如，分解因式：(x-1)^²-3(x 1)-4.

解析：如果不先计算、化简，显然是无法分解的．因此，只能是先计算，再看看能用什么方法分解？

原式= x^²-2x 1-3x-3-4

= x^²-5x-6

=(x-6)(x 1)．

练习：把下列多项式因式分解：

（1）x^²-12x 32．

（2）4m³ 12mn 8mn^².

（3）x^⁴ 2x^²-3．

（4）(x-1) ^² 4(1-x) 3.

（5）a^⁴-5a^² 4.

（6）(a 1)^²-4(a-1)-8.

（未完待续）