十字相乘法

例1

把2x²-7x+3分解因式。

十字相乘法例题解析

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分

别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

分解二次项系数(只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同。

2=1×2=2×1；

分解常数项：

3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3)

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 1

╳

2 3

1×3+2×1=5 ≠-7

1 3

╳

2 1

1×1+2×3=7 ≠-7

1 -1

╳

2 -3

1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-7

1 -3

╳

2 -1

1×(-1)+2×(-3)=-7

十字相乘法例题解析

经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。

解 2x²-7x+3=(x-3)(2x-1)

通常地，对于二次三项式ax²+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：

a1 c1

╳

a2 c2

a1c2 + a2c1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax²+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即

ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)

像这种借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。

例2

把5x²+6xy-8y²分解因式。

分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y²看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即

1 2

╳

5 -4

1×(-4)+5×2=6

解 5x+6xy-8y=(x+2y)(5x-4y).

指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。

例3

把(x-y)(2x-2y-3）-2分解因式。

分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解

十字相乘法例题解析

问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?

答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y）的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了。

解 (x-y)(2x-2y-3)-2

=(x-y)[2(x-y)-3]-2

=2(x-y)²-3(x-y)-2

1 -2

╳

2 1

1×1+2×(-2）=－3

=[(x-y)-2][2(x-y)+1]

=(x-y-2)(2x-2y+1)。

指出：将元x、y换成（x+y），以（x+y）为元，这就是“换元法”。