有理数计算以及知识点

第一部分有理数知识点梳理

一、有理数的意义

1、 正数和负数

知识点1 负数的引入

正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入200元和支出100元、零上6和零下等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了正数和负数。

用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。

知识点2 正数和负数的概念

（1） 像3、1.5、、584等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大。

（2） 像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”(读作负)号的数，叫做负数。负数比0小。

（3） 零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。

注意：（1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号，例如：3、1.5、也可以写作＋3、＋1.5、＋。

（2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。例如：－a一定是负数吗？答案是不一定。因为字母a可以表示任意的数，若a表示的是正数，则－a是负数；若a表示的是0，则－a仍是0；当a表示负数时，－a就不是负数了（此时－a是正数）。

知识点3 有理数的有关概念

（1） 有理数：整数和分数统称为有理数。

注：（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。但是本讲中的分数不包括分母是1的分数。

   （2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。

   （3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。

（2） 整数包括正整数、零、负整数。例如：1、2、3、0、－1、－2、－3等等。

（3） 分数包括正分数和负分数，例如：、、0.6、－、－、－0.6等等。

知识点4 有理数的分类

（1） 按整数、分数的关系分类：

（2） 按正数、负数与0的关系分类：

注 通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。如果用字母表示数，则a>0表明a是正数；a<0表明a是负数；a0表明a是非负数；a0表明a是非正数。

2、 数轴

数与形的第一次联姻——数轴，使数与直线上的点之间建立了对应关系，揭示了数与形的内在联系，并由此成为数形结合的基础。

知识点1 数轴的概念

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴

数轴的定义包含三层含义：一，数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二，数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；三，原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）。

知识点2 数轴的画法

（1）画一条直线（一般画成水平的直线）。

（2）在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。

（3）确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。

（4）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3……；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为－1，－2，－3……

注 （1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；

   （2）确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点，从原点向右，依次表示为2，4，6，……；从原点向左，依次表示为－2，－4，－6，……；

 

知识点3 数轴上的点与有理数的关系

所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。

知识点4 利用数轴比较有理数的大小

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。

3、相反数

知识点1 相反数的概念

（1）相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。如下图，4与－4互为相反数，与－互为相反数。

（2）相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除了符号不同以外完全相同），我们说其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

知识点2 相反数的表示方法

一般地，数a的相反数是－a。这里a表示任意的一个数，可以是正数、负数、或者0。

知识点3 多重符号的化简

（1）在一个数的前面添上一个“＋”号，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5。

（2）在一个数的前面添上一个“－”号，就成为原数的相反数。如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3。

4、绝对值

知识点1 绝对值的概念

（1）绝对值的几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝对值记作“”

（2）绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即

知识点2 两个负数大小的比较

因为两个负数在数轴上的位置关系是：绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的左边，所以，两个负数，绝对值大的反而小。

比较两个负数大小的方法是：一、先分别求出这两个负数的绝对值；二、比较这两个绝对值的大小；三、根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。

知识点3 有理数大小的比较法则

正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

二、有理数的运算

1、有理数的加法

知识点1 有理数的加法

把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。

相加的两个有理数有以下几种情况：（1）两数都是正数；（2）两数都是负数；（3）两数异号，即一个是正数，一个是负数；（4）一个是正数，一个是0；（5）一个是负数，一个是0；（6）两个都是0。

知识点2 有理数加法法则

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。

（3）一个数同0相加，仍得这个数。

知识点3 有理数加法的运算定律

（1）加法交换律：。

（2）加法结合律：。

2、有理数的减法

知识点1 有理数减法的意义

有理数减法的意义与小学学过的减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。减法是加法的逆运算。

知识点2 有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数，即

3、有理数的加减混合运算

知识点1 有理数加减法统一成加法的意义

对于有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。这样一来，就将原来的混合运算统一为加法运算。统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式，有时，我们把这样的式子叫做代数和。

知识点2 有理数加减混合运算的方法

一、运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。

二、运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。

4、有理数的乘法

知识点1 有理数乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。

知识点2 有理数乘法法则的推广

（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。

（2）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0。

知识点3 有理数乘法的运算定律

（1）乘法交换律：。

（2）乘法结合律：。

（3）分配律：。

5、有理数的除法

知识点1 倒数的概念

乘积是1的两个数互为倒数。

由于  ，所以当a是不为0的有理数时，a的倒数是。若a、b互为倒数，则ab＝1。

知识点2 有理数除法法则

一、除以一个数等于乘以这个数的倒数。即。

二、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

6、有理数的乘方

知识点1 有理数乘方的意义

求n个相同因数的积的运算，叫乘方。记作“”。乘方的结果叫做幂。在中，叫做底数，n叫做指数， 读作的n次方，。

知识点2 乘方运算的符号法则

正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

知识点3 科学计数法

把一个大于10的数记成“”的形式，其中a是整数数位中只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法。如42 000 000＝4.2×。

7、有理数的混合运算

知识点1 有理数混合运算的运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

第二部分  有理数计算练习题

计算的关键：审题，判断运算顺序，然后再根据法则进行计算。一定要注意符号问题。

（－12）＋13    －3－（－2）        （－3.5）－2        8－（9－10）

3－［(－2)－10］         （+3.41）－（－0.59）              

        (－0.6)+1.7+(+0.6 )+(－1.7 )+(－9 )          －3－4＋19－11＋2 

                     

8＋（－）－5－（－0.25）      

     

      0-29.8-17.5+16.5-2.2+7.5

                                      

          

（－7）＋（－2）＋（＋4）－（－4）

（－2）－（－4.7）＋(－0.5)＋－（＋3.2）

－＋（＋）　　　　　　90－（－3）

－0.5－（－3）＋2.75－（＋7）   

      

        

       (-16)+(+20)-(+10)-(-11);

       －24＋3.2-16-3.5+0.3;

     0-1+2-3+4-5;

 –4.2+5.7-8.4+10.2;    –30-11-(-10)+(-12)+18;

     (-7)-(-10)+(-8)-(+2);

;      ;

(-1.2)+[1-(-0.3)]      (-12)-(+8)+(-6)-(-5)   (+3.7)-(-2.1)-1.8+(-2.6).

(－5．3)＋(＋0．2)＋(－0．7)＋(＋9．8)     (－)＋(－5．8)＋(＋)＋(－2)

 

(－0．32)＋(＋9)－(－10．32)－(＋0．4)      －3＋－6；

30           

         

         

     

             

            

     

    

     

      

(－3)2－(－3)3－22＋(－2)2     (-2)2-(-52)×(-1)5+87÷(-3)×(-1)4．   

 -9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)；          2×(-3)3-4×(-3)+15．

3＋50÷22×()－1           

 (-6)-(+5)+(-9)+(-4)-(-9)     (-22(1))÷14(1)×(-4)

22+(2-5)×3(1)×[1-(-5)2]

3.28-4.76+1-；    2.75-2-3+1；    42÷（-1）-1÷（-0.125）;

(-48) ÷82-(-25) ÷(-6)2;         -+()×(-2.4).

-23÷1×（-1）2÷（1）2       -14-（2-0.5）××[()2-()3];

-1×[1-3×(-)2]-( )2×(-2)3÷(-)3     (0.12+0.32) ÷[-22+(-3)2-3×];

-6.24×32+31.2×(-2)3+(-0.51) ×624.

-32-    {1+[]×(-2)4}÷(-);

（-6）-（+6）-（-7）        0-（+8）+（-27）-（+5）

(-)+(+0.25)+(-)-(+)         (+3)+(+4)-(+1)+(-3)

10-[（-8）+（-3）-（-5）]        -1-（6-9）-（1-13）

 [1.8-(-1.2+2.1)-0.2]-(-1.5)         -︱--（-）︱-︱（-）+（-）︱

 

-30-(+8)-(+6)-(-17)            ︱-15︱-(-2)-(-5)

 

-0.6+1.8-5.4+4.2               - -+-

-0.8-(-0.08)-(-0.8)-(-0.92)-(-9)  - ︱-0.25︱+-(-0.125)+ ︱-0.75︱

 (3-6-7)-(-12-6+5-7)             (-2.5)+(+)+(-)+(+1)

6-9-9-[4-8-(7-8)-5]             ︱(-)+(-)︱(-)+︱

3+22×(－)           -72十2×(－3)2＋(－6)÷(－)2    

 

(－3)2×[ ]          8十(－3)2×(－2)    100÷(－2)2－(－2)÷(－)

－34÷2×(－)2            9-10+21；         （+）-（-）-（+）；

-（-）- ；    ×

17- 8÷（-2）+ 4×（-5）        -2÷(-5)×(-) 

 (-)-；     -×(-3)+(+18)÷(+3)-(-2)；

-1  -()×(+78)；     ÷.

                

                 

-6÷(-3×2)    17-8÷(-2)+4×(-3)

32-50÷(-2)2×(+0.1)-1                

–13-[1-(1-0.5×43)]            (-8÷23)-(-8÷2)3

–55+7+99-87                

(-5) ×(-2)2                  -32×(-3)2            

-32÷2÷2                   20-5÷(-15)

         (-12) ×5+(-1) ×52 - 12×5+(-1×5)2

(-2)2-(-52) ×(-1)5-87÷(-3) ×(-1)4       –14-(1-0.5) ××[2-(-3)2]

(-1)8- (1+2-3)×(-24)       

12＋7－5－30＋2          

         

4－5×（－）3     －3－[－5＋（1－0.2×）÷（－2）]

－14－×[ 2－（－3）2 ]    －8－3×（－1）3－（－1）4

（－0.1）3－      {0.85－[12＋4×（3－10）]}÷5

（+3.41）－（－0.59）               

  (－0.6)+1.7+(+0.6 )+(－1.7 )+(－9 )     －3－4＋19－11＋2

                    

－0.5－（－3）＋2.75－（＋7）       

            

（1－１－＋）×（－24）    3＋50÷2×()－1

8＋(―)―5―(―0.25)                 ―82+72÷36

7×1÷(－9＋19)             25×+(―25)×＋25×(－)

 (－79)÷2＋×(－29)           (－1)3－(1－)÷3×[3―(―3)2]

               

 

 

(– 1) － (＋6)－2.25＋                

－3÷（－1）×（－4）              

 (+12)+(-14)-（-56）+(-27)            

 (-12)÷4×(-6)÷2             

                  2   

 

 

（+12）-（-18）+（-7）-（+15）   （-3）×（-9）－8×（-5）

－63 ÷7＋45÷（－9）          

 

             

100

4×(-3)2+6;                            (-)×(-8+-);

 (-3)3 ×0.5-(-1.6)2  ÷(-2);           -32×(-3)2-(-3)3÷3;

(- 1+)×(-42);                 -×[-32×(-)2-2];

-22÷(-2)×(-)2;                  16÷(-2)3-(-)×(-4);

–3-4+19-11+2;                        -3×(-2)3-(-1)1001÷0.5.

 (-12.8)-(+13.2)+(-7.3)-2.5                

                        

                  

100