相互独立事件同时发生的概率

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

互斥事件有一个发生的概率；相互独立事件同时发生的概率

 

二. 本周教学重、难点：

1. 重点：

（1）了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率。

（2）相互独立事件，独立重复试验的概率，相互独立事件的概率乘法公式。

2. 难点：

（1）把复杂事件分拆成彼此互斥的简单事件，求简单事件的基本事件数。

（2）判断各事件之间是否独立。

 

【典型例题】

[例1] 在20件产品中，有15件一级品；5件二级品，从中任取3件，其中至少有1件为二级品的概率是多少？

解法一：基本事件总数为，从20件产品中任取3件，其中恰有1件二级品的事件为，恰有2件二级品的事件为，恰有3件二级品的事件为，则

   =

解法二：

 

[例2] 从10个数字0，1，2，……，9中取4个不重复的数字排四位数，能排成一个4位偶数的概率是多少？

解：试验结果的总数为种情况，设所求事件为A，因为要求的是偶数，所以个位数字只能取0，2，4，6，8中的任何一个，它需要分两种情况：（1）个位数是0时，其余三位数可从1，2，……，9中选出，共有种；（2）当个位数取2，4，6，8中任何一个时，还需从其余的9个数字中任取3个，共有种。由于0不能放在首位（而0在首位有种），故以2，4，6，8为个位的四位偶数共有，于是能排成一个4位偶数的概率为。

 

[例3] 在一只袋子中装有7个红玻璃球和3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个。试求：

（1）取得两个红球的概率；

（2）取得两个绿球的概率；

（3）取得两个同颜色的球的概率；

（4）至少取得一个红球的概率。

解：从10个球中先后取2个，共有种不同取法。

（1）由于取得两个红球的情况有种，所以取得两个红球的概率为

。

（2）取得两个绿球的概率为。

（3）由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两同色球的概率为。

（4）由于事件C“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，因而至少取得一个红球的概率为

 

[例4] 甲、乙两个独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：

（1）两个人都译出密码的概率；

（2）两个人都译不出密码的概率；

（3）恰有一个译出密码的概率；

（4）至多一个人译出密码的概率；

（5）至少一个人译出密码的概率。

解：记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A、B为相互独立事件，且。

（1）两个人都译出密码的概率为。

（2）两个人都译不出密码的概率为

（3）恰有一个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有一个人译出密码的概率为

           

（4）“至多1个人译出密码”的对立事件为“有两个人译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为。

（5）“至少有1个人译出密码”的对立事件为“两个未译出密码”，所以至少有1个人译出密码的概率为

 

[例5] 某战士射击中靶的概率为0.99，若连续射击两次，求：

（1）两次都中靶的概率；

（2）至少有一次中靶的概率。

解：记事件为“第一次射击中靶”，事件为“第二次射击中靶”。

（1）两次都中靶的概率为

（2）方法一：（直接法）

事件“至少有一次中靶”为，其概率为

     

     

    

方法二：（间接法）

事件“至少有一次中靶”的对立事件为“两次都未中靶”，，其概率为

∴ 至少有一次中靶的概率为

 

[例6] 加工某一零件共需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别是2%、3%、5%，假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是什么？

解法一：设、、分别是第一、二、三道工序得到次品的事件，由题设可知，这些事件是相互独立的，因为这些事件中任意一个、两个或三个事件发生时，加工出来的零件即为次品。

设加工出来的零件为次品的事件为A，则

∴

         

       

即加工出来的零件为次品的概率为0.09693。

解法二：、、分别为第一、二、三道工序得到次品的事件，A为加工出来的零件为次品的事件，则，

又，

∴

∴

即加工出来的零件为次品的概率为0.09693。

 

[例7] 在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙三人各自通过测试的概率分别为、、，求：

（1）3人都通过体能测试的概率；

（2）只有2人通过体能测试的概率；

（3）只有1人通过体能测试的概率。

解：设A表示事件“甲通过体能测试”，B表示事件“乙通过体能测试”，C表示事件“丙通过体能测试”。由题意有，，。

（1）设M₁表示“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即M₁=ABC。由事件A、B、C相互独立，可得。

（2）设M₂表示事件“甲、乙、丙3人只有2人通过体能测试”，则。

由于事件A、B、，A、、C，、B、C均相互独立，并且事件、、两两互斥，因此所求的概率为

。

（3）设表示事件“甲、乙、丙3人只有1人通过体能测试”，则

。

    由于A、、，、B、，、、C相互独立，并且事件，，两两互斥，所以所求的概率为

。

 

[例8] 如下图，设每个电子元件能正常工作的概率均为，问甲、乙哪一种正常工作的概率大？

解：记元件正常工作为事件

甲电路中：、串联，路中能工作的概率为，不能正常工作的概率为。

同理，路中不能工作的概率为。

而路与路为并联电路，不能工作的概率为路，路同时不能工作，故甲线路中不能工作的概率为，所以甲线路正常工作的概率为

对于乙电路：、为并联电路，路不能工作的概率为，能正常工作的概率为

同理，路能正常工作的概率为

又路与路为串联电路，能正常工作的概率为

∵

∴ 图乙正常工作的概率大。

[例9] 在一次考试中出了六道是非题，正确的记“√”，不正确的记“×”，若某考生完全记上六个符号，试求：

（1）全部正确的概率；

（2）正确解答不少于4道的概率；

（3）至少正确解答一半的概率。

解：

（1）

（2）

（3）

                                     

 

【模拟试题】

一. 选择：

1. 设有10个零件，其中6个是一等品，4个是二等品，从中任取3个，至少有一个是一等品的概率为（    ）

A.                   B.

C.                                                    D.

2. 奔腾市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛，甲、乙两队夺取冠军的概率分别是和，则该市足球队夺得全省足球冠军的概率为（    ）

    A.     B.     C.      D.

3. 从1，2，……9中任取两数，其中① 恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；② 至少有一个是奇数和两个都是奇数；③ 至少有一个是奇数和两个是偶数；④ 至少有一个是奇数和至少有一个偶数。

在上述事件中，是对立事件的是（    ）

A. ①    B. ②④   C. ③    D. ①③

4. 若事件A与B相互独立，则下列不相互独立的事件为（    ）

    A. A与    B. 与    C. 与    D. B与A

5. 甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（    ）

A.                                 B.

C.                               D.

6. 设A、B互斥，且，有下面四个命题，其中正确命题的个数为（    ）

① A与B相互独立                    ② A与B对立

③ A与B不一定相互独立         ④

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

7. 某机械零件加工由2道工序组成，第1道工序的废品率为，第2道工序的废品率为，假定这2道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率是（    ）

A.                              B.

C.                                          D.

8. 在一次考试中，某班语文、数学、外语平均分在80分以上的概率分别为、、，则该班的三科平均分在80分以上的概率是（    ）

A.     B.     C.     D.

 

二. 解答：

1. 在放有5个红球，4个黑球，3个白球的袋中，任意取出3个球，分别求出3个全是同色球的概率及三球颜色互不相同的概率。

2. 一个工人看管三台车床，在1小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7，求在1小时内至少有一台车床需要工人照管着的概率。

3. 一电路由电池A与两个并联的电池B及C串联而成，如图，设电池A、B、C损坏的概率分别为0.3、0.2、0.2，求电路发生间断的概率。

4. 甲厂生产的脱粒机，每台连续使用不少于10年的概率是，乙厂生产的柴油机，每台连续使用不少于10年的概率是。将一台脱粒机与一台柴油机配套使用，求下列各事件的概率。

（1）A（脱粒机与柴油机的连续使用期都不少于10年）；

（2）B（只有脱粒机的连续使用期不少于10年）；

（3）C（至少有一台机器的连续使用期不少于10年）。

 

 

 

 

 

 

【试题答案】

一.

1. D   2. D   3. C   4. C   5. B   6. B   7. A   8. D

 

二.

1. 解：从12个球中任取3个，共有种不同取法，故全是同色球的概率为

三球的颜色互不相同的概率为

∴ ，

2. 解：设第一、二、三台车床在1小时内不需要工人照管的事件分别为A、B、C；在1小时内至少有一台车床需要工人照管的事件为D，则

又由于三台车床在1小时内不需要工人照管的事件是相互独立的，所以

3. 解：设电池A、B、C损坏的事件分别为，电路发生间断的事件为D，则

又 ∵    

∴     

∴

         

         

          

∴

即电池发生间断的概率为0.328。

4. 解：记事件“脱粒机连续使用期不少于10年”为，事件“柴油机连续使用期不少于10年”为。

（1）脱粒机与柴油机的连续使用期都不少于10年的概率为

（2）只有脱粒机的使用期不少于10年的概率为

（3）至少有一台机器的连续使用期不少于10年的概率为

 

【励志故事】

半杯理论

亨利福特被美国人称为“汽车之父”。1913年他率先采用流水线组装汽车，第一次实现了10秒钟组装一部汽车的神话。几年后民用汽车的价格降低了一半，小轿车不再是富豪的专属。福特的思想对全世界的制造业也产生了极大的影响。今天，大到一架飞机，小到一包糖果，都可以在流水线上生产。福特汽车公司初具规模后，有一次，福特在高层会议中建议改进现有的装配线，从而提高生产效率。这个提议遭到很多人反对：有人觉得改进装配线，既要投资购买机器，又得重新培训工人，风险太大了；另一部分人则认为公司的生产能力已经够强，效益也很好，没必要花力气去提高效率。

听完大家的意见，福特举起桌上的玻璃杯问：“你们看到了什么？”有人担忧地说：“半杯水被喝了，杯子空了一半。”“别担心，”有人乐观地说，“杯子里还有一半水，渴了还有半杯水可喝。”“和你们不同，我看到杯子容积是水的2倍。”福特说，“这里的水用个一半大小的杯子就能盛下。用一只大杯子做一只小杯子能做到的事，是对资源的浪费，是低效率。现在生产线上的员工们就像这个大杯子，有一半的潜力没发挥出来。我要做的是换个小杯子，然后我们就可以用大杯子来盛更多、更好的东西了！”