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关注认知起点，提高教学有效性
——对《平行四边形性质》教学对比分析
内容提要：本文以《平行四边形的性质》的两种教学设计与课堂教学实践为例，对两节课教学中的“探索平行四边形性质”和“寻找证明思路”环节分别进行比较分析，从中发现教学设计与学生实际认知水平间的差异，进而把握学生真实的认知起点，丰富教师的教学知识，提高课堂教学的有效性．
关键词：平行四边形的性质、教学案例分析
文中设计的教学内容选自人教版新课标实验教科书八上第十九章的第一课时，其主要内容是平行四边形的概念及平行四边形的边、角的相关性质．文中描述的案例是基于这两节课的课堂教学录像和现场观摩，案例描述力争全面反应课堂教学的真实场景．
一、探索平行四边形性质的过程比较
教师甲的教学片段：
在明晰了平行四边形概念后，通过大屏幕，教师呈现了这样的问题和要求：
猜一猜：边之间……？ 角之间……？
画一画：在格点纸上画一个平行四边形.
量一量：度量一下，与你的猜想一致吗？
接着，教师说道：“看谁探究能力最棒．在格点纸上画一画，看谁的动作不迅速．”
在教师指令发出近半分钟后，一部分学生才动手画图，但仍有少许学生只是在看，若有所思，没有动手画图．
大约一分钟后，教师看到部分同学已经画完图，于是，让同学们互相讨论一下，但学生的讨论并不热烈．教师再一次督促到：“看看你们彼此间的发现是否一样．”学生们的反应仍不积极．
接下来，教师问道：“有结论的同学请举手．”教师的话音未落，同学都迅速的把手举了起来，无论是刚才动手画的，还是一直没有动手的．
学生甲回答：“平行四边形一组邻边的和等于另一组邻边的和，一组邻角的度数和等于另一组邻角的度数和．”通过录像观察，这位同学是一直没有动笔画图的学生之一．
听到学生甲的回答后，教师进一步提示说，（把）这个相等关系再进一步（回）到两个角之间的关系上来．
这时学生乙回答道：“平行四边形的对边和对角都是相等的．”
教师又问道：“大家还有没有其他的发现.”
学生丙回答：“且邻角互补．”
听到同学们的猜想后，教师板书：边，对边相等；角，对角相等，邻角互补．
至此，学生完成了猜想过程．
教师乙的教学片段：
同教师甲一样，首先教师乙明晰了平行四边形概念．然后，通过大屏幕，呈现了这样的问题：
平行四边形的边还存在什么关系？
平行四边形的角还存在什么关系？
在学生观看大屏幕上的问题后，教师发出了这样的指令：“请同学们拿出纸笔根据平行四边形的定义画一个平行四边形，且测量两条边的长度及四个内角的度数并填好表格．”
按照教师的要求，学生开始画图．这一过程用了近九分钟．看到大家基本完成教师指定的任务后，教师让学生之间进行交流，声音不大．在此基础上，教师又让学生说一说他们都得到了什么结论．看到没有人举手，教师点了三个同学的名字，这三位同学所给出的结论相同：平行四边形的两组对边相等；平行四边形的两组对角相等．
得出结论后，教师又问道：“刚才看到有的同学测量的两条边不等，什么原因？”
学生齐声回答：“测量误差．”教师进一步补充说，是因为我们画图工具不够精准，才导致测量结果的误差．
紧接着，教师又利用几何画板的动态功能再一次验证上述猜想．至此，教学完成了归纳猜想环节．
教学过程比较与分析
比较甲乙两位教师的教学过程，在获得猜想这一环节的程序设计上基本相同，即先让学生动手一个平行四边形，在此基础上，教师再以极具提示性的问题引导学生观察边与边之间、角与角之间的又怎样的关系．对于这样的设计学生又会作出怎样的反应呢？
如果仔细分析学生在这一环节的课堂行为表现，我们会发现，对教师提出的动手画图和测量的要求，学生动手迟缓，似乎有些不愿意“配合”的情绪，甚至有些同学动手活动不屑一顾，但从猜想的结果看，学生的态度并没有影响他们作出合理的猜想．
为什么学生反应冷淡，甚至不愿意“配合”？为什么这种态度并没有影响他们做出正确猜想？究其原因可能有如下两个方面：一是早在小学阶段学生就已经探究过有关平行四边形的性质，掌握了这些结论：对边相等，对角相等．下图是人教版全日制义务教育实验教科书小学四年级上册中的相关内容． 不难看出，在小学四年级已经对平行四边形的特征进行了探索，其过程和以上两位教师的设计基本相同．可见，这一环节的设计更多地重复了小学的探究活动，因此，探究活动认知需求低于学生现有的认知水平，从而导致学生不愿意参与探究活动的现象．
二是学生现有的观察能力和空间想象能力已经达到无需动手画图和测量就能够得出合理猜想的程度．如果再考虑到学生已有的知识经验，通过观察学生完全可以获得正确猜想．事实上，在教师甲的教学过程中，我们发现，虽然学生对动手画图表现得不够积极，但当教师甲问道有什么发现时，绝大多数学生都迅速的举手示意，表明他们对结论早已了然于胸在心．特别是第一个回答问题的学生甲，虽然他一直没有参与动手画图的过程，但却发现了“平行四边形一组邻边的和等于另一组邻边的和，一组邻角的度数和等于另一组邻角的度数和．”这是对原有相关知识—“对边相等”和“对角相等”的拓展．
此外，在教师乙的教学中，当教师问及测量中出现对边不等的原因时，学生群答道：测量误差．这说明学生已经完全认同观察得出的结论，进而才能反思测量结果的精确性问题．这再一次说明，观察在猜想过程中起决定性的作用，或者说猜想可以基于观察完成的．
二、探索“证明思路”的过程比较
教师甲教学片断：
在学生给出猜想后，教师继续引导学生将所画的平行四边形剪下来，并旋转180°，然后再填补到原来的空隙中，以此再一次验证猜想的正确性．此外，老师还用动画的形式演示了平行四边形旋转和填补的过程．
接着，教师问道：“大家还有没有其它的办法（验证你的猜想吗）？”这时学生乙回答说：“沿对角线剪开了，然后把其中的一部分旋转过来正好与另一部分重合，就有了两组对边相等，有一组对角相等，然后三角形另外两个角相等则相加的和也相等，说明另一组对角相等．”
听到学生甲的回答后，教师追问道：“两个三角形什么关系？”
该学生立即回应说：“全等．”
教师继续问道，对应边、对应角什么关系？学生说，相等．
至此，教师进行了总结，平行四边形沿对角线剪开，我们就得到了两个全等的三角形．对于平行四边形的问题，我们可以连接一条对角线，就可以将平行四边形的问题转化成三角形的问题来研究，这也是我们处理平行四边形的问题常用的手段和方法．
教师乙教学片段：
在发现了平行四边形的上述性质后，教师说道：“是不是所有的平行四边形都具有这样的性质呢？我们必须经过严格的验证．”接着，老师边说边通过大屏幕出示了下面的问题：
你能利用你所学的知识证明上述结论吗？
没等学生做出反应，教师指着黑板上的平行四边形继续说：“结合这个图形我们说一下已知和求证．”稍过片刻，教师点名让一位同学回答这个问题．学生准确指出已知条件是四边形ABCD是平行四边形；分别求证的是AB=CD,AD=BC；∠A=∠C，∠B=∠D．紧接着，老师把已知和求证呈现在大屏幕上．
接下来，教师指着图形问道：“大家现在思考一下，这道题是让我们证明什么相等？”学生们大声回答：“对边相等．”教师解释道：“对边相等就是线段相等”．然后继续说道：“大家回忆一下，前边我们学过证明线段相等、角相等的方法，我们通常用什么（方法）？”学生马上回答：“全等三角形”．
老师继续问：“还有什么方法呢？”没等学生回答，教师紧接着提示道：“当这两条线段在两个三角形里的时候，我们用全等三角形来证明．当这两条线段在同一个三角形里，我们用什么方法来证明？”教师一边用手在空中描绘一个等腰三角形，一边拖长音提示道：“等……”．学生马上回应道：“等角对等边．”
接下来，教师指着屏幕上的图形问道：“我们现在要证明的线段相等是在同一个三角形里吗？”学生回答说不在．教师又问道：“那我们想什么办法呀？”学生回答：“放在两个三角形里．”教师指着图形追问道：“平行四边形里怎么出现三角形啊？”“作辅助线，连接AC（对角线）”学生们大声群答．
教师进一步补充说道：“也就是说我们把四边形的问题转化成三角形的问题来解决了．”
教学过程比较与分析：
证明平行四边形的性质是这一节课的主要教学内容，寻求证明思路是证明活动的第一步，也是发展学生分析问题和逻辑推理能力的绝好机会．怎样引导学生对其证明，从哪里开始寻求证明的思路，是通过动手活动发现证明思路，还是借助于数学认知策略，通过逻辑推理发现证明思路？
在教师甲的教学片断中，我们可以看到，通过引导学生寻找其他验证猜想的方法，教师让学生不仅再一次验证猜想，同时又可以发现证明的思路，即连接平行四边形的一条对角线，把平行四边形分成两个全等的三角形．这种引出证明思路的方法酷似“三角形内角和定理“证明思路的引出过程，但此一时非彼一时，对于时处八年级下学期的学生来说，需要通过动手剪拼的过程发现证明的思路吗？
从知识发生和教材编排的顺序看，在学习四边形这一章之前，已经学习了三角形和三角形全等的知识，这说明，学生不仅已经掌握了与三角形和三角形全等的相关知识，而其还掌握了证明线段相等、角相等的数学认知策略，即通过三角形全等，或利用等腰三角形的性质，证明线段相等和角相等．这就是说，涉及到线段相等和角相等的问题，学生能够想到借助于“等角对等边”或“三角形全等”的策略加以解决．
事实上，在教师乙的教学片断中我们不难发现，当教师让大家回顾证明线段相等、角相等有哪些方法时，学生马上回答说：“全等三角形”．当教师问道，图中没有两个三角形怎么办时，学生群答道，作辅助线，即连接对角线．
由此可见，学生对解决线段相等、角相等的数学策略掌握的已经十分娴熟，因此，在寻找证明的思路时，完全不必通过动手活动发现问题解决的方法，而应该直接应用现有的数学认知策略，在数学推理的层面上探求证明思路．
三、启示
1.学习任务的设计要处在邻近发展区内
从课上学生的反应看，之所以学生对动手操作不感兴趣，是教学设计对学生的要求远远低于学生现有的认知发展水平，强行把学生的思维活动降低到动手的水平．
2.数学思想方法不能贴标签
数学思想方法，既诞生于问题解决的过程中，又应用于解决问题的过程中，是指导问题解决的重要策略，因此，作为数学问题解决的策略，数学思想方法常常出现在问题解决的始点或初始阶段．
转化的思想是从局部转化到总体，比如由线段相等的证明──三角形全等──平行四边形；还是由总体转化为部分，比如多边形内角和──三角形内角和，要具体问题具体分析，要从学生解决问题过程中的思维起点加以分析，从中了解指导思维活动的具体思想方法，以此确定思想方法究竟在什么时候发生了，并对问题解决产生影响．
3.“同课异构”有助于提升我们对掌握学生的认知规律
所谓同课异构是指针对同一课题有意识地设计不同教学方案，以期发现学生的认知规律．事实上，在日常教学中，当教师按照预定的教学设计施教后，总会有所反思，并对教学设计进行某些改进，这在一定程度上也是一种同课异构的做法，不同的是，同课异构是在课前有意识地进行不同设计，以便对比研究．由此可见，同课异构是一种积极主动探索和解决教学困惑，发现学生知识规律的有效方法和途径．正如本文的研究方法，通过对两节同课异构的课进行对比分析，我们看到学生原有认知水平，找到学生不愿意参与教学过程的原因，从而丰富了教师的数学教学知识． |
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