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图形的认识是一个抽象的过程，涉及人们对空间的直觉，也涉及人们对自然的理解。小学阶段“图形的认识”教学内容循序渐进，教学要求逐步提升。第一学段的教学内容主要是“辨认”立体图形或平面图形，“初步认识”长方形和正方形的特征，“了解”直角、锐角和钝角。第二学段的教学内容主要是“认识”三角形、平行四边形、梯形和圆，“认识”长方体、正方体、圆柱和圆锥，“知道”平角与周角，“了解”平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系。按照《课程标准（2011年版）》的设计，作为结果目标的行为动词，“了解”和“知道”、“初步认识”是同类词，是指“从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象”。“认识”和“理解”是同义词，是指“描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别与联系”。第一学段学生对图形的认识主要定位于结合具体实例，能够辨认或举例说明，即对图形形成整体的、直观的认识。第二学段学生对图形的认识不仅能够描述图形的特征，还要能够阐述图形之间的区别与联系，形成相应的认知结构，即对图形形成分析的、抽象的甚至关联的认识。 本文以江苏省中小学教学研究室与苏教版小学数学教材编辑部主办的“图形的认识”专题教学研讨活动中的课例（主要是第二学段“图形的认识”）为素材，试对“图形的认识”教学中的几个关键问题进行探讨。 准确理解数学内容的本质 数学具有的抽象性、严谨性和应用的广泛性特点。以至于有人说，教几何是理想与现实之间一场无可比拟的斗争，显示了人类卓越的智慧。几何知识的抽象性与小学生以形象思维为主的思维发展水平构成了矛盾。化解这一矛盾的有效策略是将数学的“学术形态”转化为“教育形态”。这一转化需要遵循学生的认知规律，迫不得已时还要采取“混而不错”的方式，尽可能为学生以后理解“学术形态”的数学打下基础。因此，小学数学教学需要重视学生对数学内容本质的认识和理解。所谓本质，乃是指事物本身所固有的根本属性。数学内容本质则是指数学内容本身区别于其他内容的基本特质。只有理解了数学内容的本质，而不是仅仅从形式上认识或者依葫芦画瓢地叙述定义，才能说理解了相应的数学内容。 就“图形的认识”而言，理解图形概念的本质是第二学段图形认识的重要教学目标。例如教学四年级的“认识三角形”，就要着力帮助学生逐步理解三角形的概念本质。教师在教学时组织了画画三角形、观察三角形和说说三角形等三个逐层递进的认知活动。由于学生初步认识了三角形，因此学生在尝试画三角形的过程中，可能想到先标出3个不在一条直线上的点，然后将每两点连接起来，由3个点画出3条线段组成三角形；可能想到先画出一条线段，再依次画出另外两条线段。画三角形的过程实际上是通过具体的操作动态感受三角形的形成过程，有助于学生认识组成三角形的关键要素。观察三角形是学生对三角形的特点进行比较、分析与综合的过程。 学生通过观察大小、形状各不相同的三角形，发现这些三角形都有3条边、3个角、3个顶点，对三角形的认识又进了一步。理解三角形是由3条线段“首尾相接”“围成”的图形是教学的难点。教师先出示有3条线段但没有“围成”三角形的图示（如图1），让学生认识到需要将3条线段围成三角形；接着，出示3条线段即将围成三角形的图示（如图2），引导学生思考：3条线段有6个顶点，为什么三角形中只有3个顶点？学生通过观察、分析认识到3条线段需要围在一起，教师顺势演示3条线段围起来的过程，并且介绍这样的3条线段“首尾相接”才能围成三角形。在此基础上，教师组织了说一说什么样的图形是三角形的活动。学生结合前面的认识过程，尝试用语言概括三角形的概念。 这样，学生借助动作表征、图形表征和语言表征等不同方式的表征活动，逐步认识了三角形的概念本质。在此基础上，教师又及时出示一些正例和反例（如图3），让学生在借助三角形的概念进行辨析的过程中深化对三角形本质的认识。 与认识三角形的概念相联系，学生需要进一步认识三角形的高。从认识三角形的角度来说，三角形的高是三角形中一种特殊的线段，虽然其并不直接构成三角形的概念，但是作为一个重要的元素存在于图形中。从高这一概念的内容本质来看，它是用来刻画三角形大小的一个量，也就是说，高的概念更多是和“测量”联系在一起的。正因为如此，在引入三角形的高时，为了让学生理解三角形高的概念本质，不妨结合方格图中三个点围成三角形的动态过程（如图4），引导学生初步体会三角形的大小和第三个点的高度有关（当底边确定时），继而过渡到对三角形高的学习。 基于学生现实的认知需求 学生是教学的对象，更是学习的主体。教师在组织教学时要尽可能把握所教学生的现实认知需求，并基于这一需求引导他们开展学习活动。把握学生现实的认知需求，包括把握学生已有知识的逻辑起点和现实的学习经验水平。已有知识的逻辑起点一般可以按照教材的编排顺序进行认识，也可通过学生的作业对知识掌握的情况进行分析；现实的学习经验水平除了可以借助课前调查与访谈加以了解，很多情况下要通过课堂教学现场进行判断。基于学生现实的认知需求，教学才会更自然，从而促进学生更有效率地学习。 教学“圆的认识”时，教师在引导学生初步认识圆的各部分名称和圆的特征之后，让学生想办法画一个圆。有的学生说可以用圆形物体来描出一个圆，有的学生说可以用圆规来画圆。此时，教师提出活动任务：给你两支铅笔、一枚硬币，试着画一个圆。就像学生在教师呈现这个活动任务之前的交流一样，大多数学生都想到可以用铅笔沿着硬币周围描一个圆。这时教师提出问题：这样画圆有什么缺点？引导学生体会这样画出的圆大小是固定的。在此基础上，教师引导学生尝试：如果只用两支铅笔，能画一个圆吗？每一个学生都十分努力，然而最后都无功而返。教师顺势追问：为什么没有办法画出一个圆呢？学生说，两支铅笔都会动，所以没办法画出一个圆。于是，圆规这一专门的画圆工具便粉墨登场。 教师让学生想办法画圆的任务意图是很明确的，就是让他们体会画圆需要专门的工具──圆规。可是，在活动任务的设计上，是让学生想办法只用两支铅笔画一个圆。事实说明，这对于学生来说是一个不可能完成的任务，超越了学生的经验水平。尽管数学教学中数学活动任务不一定都要让学生成功，但是教师需要思考如果不成功，学生能从中获得什么。这里，学生的收获是“两支铅笔都会动，所以没办法画出一个圆”。尽管教师可以由这样的认识引申出，看来画圆时要固定一个点，两支笔之间的距离也要固定。但是学生的体会“两支铅笔都会动”，可能并不一定是指铅笔尖的地方会动，两支铅笔之间的距离会动，而更多可能是说用铅笔画圆时，铅笔拿在手里不好控制，也即学生通过参与教师设计的活动，并没有明确地体会到画圆时需要“定点”和“定长”。与其让学生尝试偏离认知目标的失败，不如顺应学生的已有经验（课前已经准备圆规，不少学生知道可以用圆规画圆），让他们尝试用圆规画圆，再交流圆规为什么这样设计，怎样才能画好一个圆等。如此，会更符合学生现实的认知需求，也更便于达成教学目标。 在“圆的认识”教学即将结束时，教师提出了如下的问题：圆和以前学过的正三角形、正方形等多边形相比，有什么相同和不同？（如图5）学生通过观察注意到圆是一条由曲线围成的图形，而其他多边形都是由线段围成的；圆没有角，而其他多边形都是有角的。在此基础上，教师引导学生想象：如果多边形的边数越来越多，那么你能想到什么？学生积极思考，但是无法想出什么结果来。于是，教师利用课件演示图6，同时介绍：当正多边形的边数越来越多时，多边形就越来越接近于圆。学生睁大了眼睛，表现出很好奇的样子。 在进一步认识圆时，引导学生比较圆与以前学过的多边形有什么联系和区别，不仅必要，而且可以提前至探究圆的特征时就让学生观察和比较，使他们能够感悟圆是一种曲线围成的平面图形，并且能基于平面图形的整体知识结构，主动联想探究平面图形特征的经验来探究圆的特征。但是，让学生思考“如果多边形的边数越来越多，能想到什么”，就显得有点玄乎了。学生缺乏极限的知识经验，只能凭借直觉去想象，即便想象力十分丰富，恐怕也不敢将多边形和圆联系在一起。由于超越学生的现实认知水平，原本孕伏的数学思想变成了无意义的告知。这样的教学，似乎是为了给听课教师“欣赏”的。 凸显学生学习的过程体验 《课程标准（2011年版）》在阐述课程内容时指出：数学课程内容“不仅包括数学的结果，也包括结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法”，因此，“课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系”。在阐述教学活动时指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程”，“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”。这些理念有助于教师改变固有的“重结果轻过程”的教学目标取向，充分展开数学知识发生、形成、发展和应用的过程。“图形的认识”教学更需要学生经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动，在活动中形成对数学本质的认识，积累相应的数学活动经验。 教学“平行四边形的认识”时，教师首先引导学生观察生活中含有平行四边形面的物体，引导学生舍去具体的背景抽象出平行四边形，借助具体的图形初步认识平行四边形的概念。在此基础上，教师组织学生开展了多种形式的“制作”平行四边形的活动：首先让学生在格子图中画出平行四边形，学生在画图的过程中借助方格中的边线，清晰地认识到平行四边形的对边互相平行。其次让学生用小棒摆平行四边形，学生选择长短不同的小棒摆成平行四边形，教师引导学生观察、比较，发现平行四边形的两组对边分别相等。再次让学生用长方形卡纸摆放出不同的平行四边形（如图7）。通过卡纸摆放位置的变化，让学生体会平行四边形的方向可能不同；通过卡纸宽度的变化，让学生体会平行四边形的宽窄可能不同。 最后，教师还让学生用两个完全相同的三角形拼成平行四边形，体会平行四边形对角分别相等。 上述活动的设计由易到难，逐步推进。每个活动都有明确的教学目标，不是为了活动而活动。在方格图上画平行四边形是学生在初步认识平行四边形时就经历过的活动，在画的过程中有助于学生直观地认识平行四边形对边互相平行；用小棒摆平行四边形则借助小棒的具体长度认识平行四边形的对边分别相等。画和摆相对容易，聚焦平行四边形边的特征。用长方形卡纸摆2次，形成大小、方向不同的平行四边形，有助于学生丰富对平行四边形外延的认识。这对于平行四边形概念的建立尤为重要。而最后一个拼三角形的活动则着眼于平行四边形角的特征，这对学生而言是比较难发现的。这一活动的设计可能需要进一步推敲，因为学生尚不清楚“对边相等的四边形就是平行四边形”，因此无法确定两个完全相同的三角形能拼成平行四边形。可以作些微调，将一张平行四边形纸片沿对角线剪成两个三角形，进而通过重叠发现这两个三角形完全相同，从而发现平行四边形的对角相等。这样更合乎逻辑。尽管如此，教师的教学重视让学生经历丰富的学习活动，形成丰富的过程体验，这对他们理解数学知识的本质、发展数学思维都是十分必要的。正如夸美纽斯所说，一切知识都是从感官开始的，要打开学生的多种感觉器官，手脑并用，促进思维活动。 贯穿增强空间观念的主线 认识图形是学生通过实践和操作活动探索周围世界的活动。学生认识图形的过程必然伴随着空间观念的发展。空间观念主要是指“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等”。在认识图形的教学过程中，需要重视引导学生开展抽象、想象、描述等数学活动，从而逐步增强空间观念。 教学“正方体的表面展开图”时，教师精心设计了实物操作、课件演示等活动，引导学生展开充分的观察和想象。教师首先出示正方体的盒子，引导学生回忆、描述正方体的特征，引出需要研究的问题：如何将盒子的面展开？首先演示打开盒子的前面，引导学生观察剪了几条棱，展开了哪个面。继而引导学生想象：还可以展开哪个面？如果沿着不同的棱剪开，展开的面会有什么不同？这一基于实物的观察和想象是学生自主研究正方体表面展开图的基础。在此基础上，教师借助课件演示完整地将一个正方体表面展开的过程，使学生初步经历将三维物体变化为二维图形的过程。这一过程既需要考虑原来物体中每个面的形状，还需要考虑几个面的相互位置关系，比“观察物体”的要求更高。之后，教师让学生自己动手，想办法剪一个正方体的展开图。学生先想再剪，通过剪来验证想的结果，在三维立体和二维平面之间实现了沟通和联系。在学生初步经历将正方体表面展开的过程，通过交流体会展开图的形状是多样的之后，教师继续引导学生尝试还可能有哪些类型的展开图。学生先想再画，并用磁力片围一围加以验证。这一开放的活动任务给学生提供了放飞想象的空间，学生边观察边想象，边猜测边验证，空间观念在这一过程中得到了发展。上述教学可见，增强空间观念需要给学生提供丰富的学习材料，引导学生多种感官参与操作活动，并对学生的想象加以指导。如果缺失对学生操作和想象的方法指导，学生空间观念的发展将成为无源之水。 教学“立体图形的认识总复习”时，教师设计了用“三视图”、“表面展开图”、“从重要的线想起”、“图形的运动”等不同的方式描述和想象立体图形，从多种角度帮助学生进一步深化对立体图形特征的认识，沟通相关图形知识之间的内在联系，发展空间观念。例如，“从重要的线想起”的环节，教师出示了一些线段，引导学生想象出立体图形，并猜一猜可能是怎样的物体（如图8）。 这就从线想象出可能形成的面，进而想象出可能围成的体，既凸显了相关立体图形的关键要素，又沟通了平面与立体的内在联系。 而在“图形的运动”环节，教师引导学生思考如何用一个圆面形成圆柱，如何用长方形、正方形来形成长方体和正方体，通过学生想象和动画演示，进一步理解了长方体、正方体和圆柱的特征，体会它们和圆锥的不同，因此都叫做“直柱体”。在此基础上，教师又引导学生想象长方形如何旋转成一个圆柱，直角三角形如何旋转形成一个圆锥。这一想象和观察的过程又加深了对圆柱和圆锥作为旋转体的认识。上述任务的设计都从图形运动的角度丰富了对立体图形的认识，有助于学生进一步理解立体图形的特征。 最后，教师还设计了通过观察物体某一个面的形状猜可能是什么物体的游戏。例如，给出从正面看到一个正方形的信息，让学生判断物体的形状。学生猜测可能是有两个面是正方形的长方体，并通过动画将长方体的长缩短成为正方体。从图形运动的角度实现了长方体和正方体的沟通。也有的学生猜测是底面直径和高相等的圆柱，这就又沟通了长方体、正方体和圆柱之间的联系。 上述教学给我们的最大启示在于，图形特征的认识或复习不仅可以通过静态的讲解和介绍，而且可以选择多样的角度，以丰富的基于对图形的观察、想象和运动等方式，帮助学生认识或深化理解图形的特征，发展空间观念。 综上所述，小学阶段“图形的认识”教学需要准确把握《课程标准（2011年版）》的内容和目标要求，深入理解教材的编写意图，遵循小学生认识图形的规律，重视引导学生经历图形抽象、特征分析和概括的过程，积累探索和认识图形特征的经验，发展空间观念。在教学设计时还需要注意选择的概念反例要自然合理，在建立直接经验的基础上发展推理能力，切实引导学生对学习过程和探究活动进行回顾反思，等等。 （内容节选自《小学数学教学》下半月刊2018年第7-8期“教研视窗栏目）。 |
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