当你拿到《平面几何》课本的时候 －－ 同初二学生谈《平面几何》的学习 李统塘 同学们一升上初中二年级，就要学习《平面几何》，我以为要真正学好《平面几何》，必须先对下面几个问题有个粗略认识，进一步学习时才能心中有数，它包括： 一、《平面几何》是一门怎样的学科？ 二、为什么要学习几何学？ 三、开始学习几何时要注意哪些问题？ 现在就逐个同大家谈谈： 一、《平面几何》是一门怎样的学科？ 世界上要我们学习的东西很多，就拿一张桌子来说，如果要研究它是由什么物质组成的，那是属于化学的范围；如果要研究它的颜色、加力时的运动状态产生的形变以及敲击时发出的声音，那是属于物理学的范围；如果要研究这张桌子是什么形状、占有多少空间位置、加工这样一张桌子需要多少原材料，这就是属于几何学的范围。所以，几何学只着眼于物体的形状（如长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球体等）、大小（长度、面积、体积）以及所处位置之间的关系等方面。这就是说，在几何学里只研究物体的形状、大小、和相互位置关系，而不研究这些物体的色彩，以及组成它们的物质。这里所指的物体就叫几何体，简称为体。例如同样大小的铁球和木球，虽然它们是由不同的物质组成，但它们的形状、大小却完全一样，。因此是完全相等的几何体，而反映（或表示）几何体的图形就称几何图形。几何图形是由点、线、面、体所组成的，在初中研究的是同在一个平面内的图形－－称平面图形，而研究平面图形性质的学科，我们就称为平面几何学或叫平面几何，有时简称为几何。以后继续学习还要研究立体几何、解析几何，中学毕业后，有的同学还可能学到空间解析几何及射影几何等学科。 二、为什么要学习几何学？ 为什么要学习几何学呢？这里着重指的是平面几何学。这个问题可从两方面去了解。 第一、几何学产生的历史。传说远古时期的埃及，由于尼罗河泛滥而每年流失两岸土壤、冲坏庄稼。每逢这样的年情，埃及王只对没有受灾的地区征收租税。为此，派出测量队去明确地界，测量计算土地面积，画出耕地图，因而积累了不少平面图形的知识，逐渐产生了几何学。公元前三三八年希腊的欧几里得更把当时埃及和希腊的初步几何知识作了系统整理，写出《几何原本》，这本数学书的流传程度仅次于圣经，几乎被译成世界上所有国家的文字。现在各国的中学平面几何课本都是根据它编成的。人们为纪念欧几里得的伟大功绩称这样的几何学为“欧氏几何”。我们的祖先对几何学也作出了光辉的贡献，古代的一本数学专著“九章算术”就记载着各种田地面积的算法，涉及很多图形的知识，从留存的古建筑及出土文物中也证明我们的祖先已运用了大量的几何知识，如著名的“黄金分割”的广泛应用就是一例。 第二、几何对生产、建设和学习的作用。无论修筑房屋、堤霸、架设桥梁、制造机器、加工罐头食品、裁衣制帽等都需要几何知识，绘画艺术也需要几何知识，作为大画家而著名世界的达·芬奇（１４５２－１５１９），他研究了透视法（把空间的物体在一个画面上从一点来进行透视的方法），开始把几何知识运用到绘画方面。因此他的画，无论是人物或者风景，都使人看上去很有立体感，好象是从画面中凸出来。其实稍懂画画、写字的人就清楚，几何知识对他们是何等重要。几何学的重要性不但在于解决生活、生产上的问题，而且在于它同时教给人们以科学的方法组成学问，最突出的就是培养逻辑思维能力及逻辑表达能力，从而使人们从想问题到表达想法都合乎逻辑。所以，不管对于将来向哪个方向发展的人来说，几何学是一门非学不可的重要学科。大哲学家柏拉图（公元前４２０－３４７）在他设立于雅典城的阿卡迪米雅森的学院门口，就写着“不懂几何的，不得进入此门”，可见几何学的重要。平面几何学好了，以后继续学习立体几何、解析几何以至于其它有关几何知识时就有了牢靠的基础。 三、开始学习几何时要注意哪些问题？ “几何头，代数尾”这一顺口溜吓怕了不少学生，影响了他们的几何学业。这里我们先来看这到底是怎么一回事，所谓“几何头，代数尾”其意思是学几何的开头由于几何知识少，学代数越到后面，由于运用的知识越多越来越复杂，这两方面都是较难办的内容。我以为只要我们思想上有认识，早作准备，这两方面都可以克服的。这里着重议论“几何头”的问题。首先你们现在升初二时拿到的虽然是新书《几何》，但对几何知识来说，它并不是“几何头”，小学时你们已学习了大量的几何知识，从点、线（线段、射线、直线） 、面（角、三角形、四边形、圆）到体（长方体、圆柱体）的有关概念、性质以及面积、体积的计算，而且有好些内容的提法与初中课本的提法是一致的，如“两条直线交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足”又如“三角形的内角和是１８０°”等。其次初中学习几何图形的求积（面积、体积）公式时，也不加证明地直接引用小学所学的结果。了解这些很有好处，它使我们认识到，现在学几何不是“几何头”，而是已具有一定的几何基础知识了。要注意的是不能因此就认为《几何》没有什么新东西可学。要知道小学接触到的几何事实和几何知识，由于当时年令和知识的限制，因而那时所学的几何知识仅是初步的，既不全面，也很肤浅，对有关概念的解释也只能是直观描述，如“门窗、窗框、作业本的正面都有四个角，这些角都是直角”；对于图形的性质也只是通过观察、实验、实测、计算等活动给出的，如“用尺量一量每个长方形的边长”得出“长方形对边相等”的结论。要知道仅凭直观去认识图形性质是很不够的，往往会出现错误的结论的，例如判断下面图形中的长短、大小时，仅凭观察就会出错。 因此，必须从数学的角度，运用已知的几何知识，去论证所发现的判断的真伪，这也是初中几何与小学初步几何知识最大的不同之处。另外，在初二刚学几何时，要注意每一个概念是怎样从实际引出，又是怎样给每个概念下定义的。理解每一个定理反映的实际内容，学会分清已知条件和求证的结论，逐步领会证明问题的逻辑方法。先学会填写每一步推理的依据，再一边归纳、总结解题思路、步骤，最后才学习一些较为简单问题的论证过程。注意从课本例题中学习如何运用概念的定义以及定理去解题（包括证明和计算）。这样逐渐提高要求，当你所掌握的几何知识、几何解题方法越多时，你的解题思路就就会越加宽广，那时你就会觉得几何好学，可以学好。
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