2011中考数学一轮复习【代数篇】20.二次函数（二）

中考复习之二次函数（二）

知识考点：

1、掌握抛物线解析式的三种常用形式，并会根据题目条件灵活运用，使问题简捷获解；

2、会利用图像的对称性求解有关顶点、与轴交点、三角形等问题。

精典例题：

【例1】已知抛物线与抛物线的形状相同，顶点在直线上，且顶点到轴的距离为5，则此抛物线的解析式为                。

解析：，顶点（1，5）或（1，－5）。因此或或或展开即可。

评注：此题两抛物线形状相同，有，一般地，已知抛物线上三个点的坐标，选用一般式；已知抛物线的顶点坐标（或对称轴和最值），选顶点式；已知抛物线与轴两交点的坐标，选交点式。

【例2】如图是抛物线型的拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽米，水位上升3米就达到警戒水位线CD，这时水面宽米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？

解析：以AB所在直线为轴，AB的中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点M在轴上，且A（，0），B（，0），C（，3），D（，3），设抛物线的解析式为，代入D点得，顶点M（0，6），所以（小时）

                

评注：本题是函数知识的实际应用问题，解决的关键是学会“数学模型”，并合理建立直角坐标系来解决实际问题。

探索与创新：

【问题】如图，开口向上的抛物线与轴交于A（，0）和B（，0）两点，和是方程的两个根（），而且抛物线交轴于点C，∠ACB不小于900。

（1）求点A、点B的坐标和抛物线的对称轴；

（2）求系数的取值范围；

（3）在的取值范围内，当取到最小值时，抛物线上有点P，使，求所有满足条件的点P的坐标。

解析：（1）A（－3，0）B（1，0），对称轴

     （2）    化简得    OC＝。

若∠ACB＝900，则，，；

若∠ACB＞900，则，；所以

     （3）由（2）有，当在取值范围内，取到最小值时，，，由AB＝，得：。当时，，，∴（，），（，）；当时，，，∴（0，），（－2，）。

评注：本问题是一道函数与几何的综合题，后两问需准确把握图形的变化，灵活运用函数知识求解。

跟踪训练：

一、选择题：

1、已知二次函数的图像与轴的交点坐标为（0，），与轴的交点坐标为（，0）和（，0），若＞0，则函数解析式为（    _K]

    A、                      B、

C、                    D、

2、形状与抛物线相同，对称轴是，且过点（0，3）的抛物线是（  ）

A、                    B、

C、                  D、或

3、已知一次函数的图像与轴、轴分别交于A、C两点，二次函数的图像过点C且与一次函数图像在第二象限交于另一点B，若AC∶CB＝1∶2，则二次函数图像的顶点坐标为（    ）

    A、（－1，3）    B、（，）   C、（，）     D、（，）

4、已知二次函数的最大值是2，它的图像交轴于A、B两点，交轴于C点，则＝          。

二、填空题：

1、已抛物线过点A（－1，0）和B（3，0），与轴交于点C，且BC＝，则这条抛物线的解析式为                  。

2、已知二次函数的图像交轴于A、B两点，对称轴方程为，若AB＝6，且此二次函数的最大值为5，则此二次函数的解析式为                  。

3、如图，某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地面高度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为        。（精确到0.1米）

4、已知抛物线与抛物线的形状相同，顶点在直线，且顶点到轴的距离为，则此抛物线的解析式为              。

三、解答题：

1、已知抛物线交轴于A、B两点，点A在轴左侧，该图像对称轴为，最高点的纵坐标为4，且。

（1）求此二次函数的解析式；

（2）若点M在轴上方的抛物线上，且，求点M的坐标。

2、如图，直线与轴、轴分别交于A、B两点，点P是线段AB的中点，抛物线经过点A、P、O（原点）。

（1）求过A、P、O的抛物线解析式；

（2）在（1）中所得到的抛物线上，是否存在一点Q，使∠QAO＝450，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

3、设抛物线经过A（－1，2），B（2，－1）两点，且与轴相交于点M。

（1）求和（用含的代数式表示）；

（2）求抛物线上横坐标与纵坐标相等的点的坐标；

（3）在第（2）小题所求出的点中，有一个点也在抛物线上，试判断直线AM和轴的位置关系，并说明理由。

参考答案

一、选择题：BDCA

二、填空题

1、或；

2、；

3、9.1米；

4、或或

或

三、解答题：

1、（1）；（2）M（0，3）或（－2，3）

2、（1）；（2）Q（，），（，）

3、（1），；（2）（1，1），（－2，－2）；

  （3）点（1，1）在抛物线时，直线AM∥轴；点（－2，－2）在抛物线时，直线AM与轴相交。