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数学课堂教学中的真善美 ——基于“平方差公式”教学的思考 说明：本文已发表于《中国数学教育》2010年第7-8期。 “真”、“善”、“美”，是人类的追求，也是数学课堂教学的最高境界．这三个字可以引申出许多不同语境的词组，如，真实、真相、真诚、真谛、真话等；善良、善意、友善、慈善、完善等；美好、美丽、美化、美感、美满等．那么，数学课堂教学中，如何使学生在获取数学知识、理解数学思想方法的同时，把握数学世界的精髓，切实感悟到“真”、“善”、“美”的无穷魅力，本文就试图结合义务教育初中学段“平方差公式”的课堂教学，谈几点粗浅的认识． 一、数学课堂教学中的“真” 真，就是要揭示事物的本来面目．数学课堂教学中，强调 “真”，主要是指数学知识的“真实性”，是指教师要通过课堂，将自己对数学知识的感受和认识，以所教授的内容为载体，对数学知识“真相”的一种自然的表达． “平方差公式”是继“单项式乘以单项式”、“单项式乘以多项式”和“多项式乘以多项式”之后的第一个乘法公式，其“本来面目”就是“多项式乘以多项式”的一个特例．将这样的一个“特例”作为“公式”，主要是基于三方面的考虑： 第一，是为符合公式特征的整式乘法的运算带来方便； 第二，是为后续的学习奠定基础，如对于学习“用公式法分解因式”、“分式的运算与化简”、“解一元二次方程”等，提供必要的知识储备； 第三，是本公式的探究过程与方法，对后面学习“完全平方公式”，从方法上，起到了一定的借鉴作用．这是对“平方差公式”本身的一个“基本”的定位． 从“平方差公式”所包含的内容来看，用文字形式表达， 是“两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差”，抽象为数学符号，可以概括成 ，同时，我们还可以借助图形面积的方法，如图，解释该公式的合理性．可见，“文字描述”、“符号概括”、“图形直观”这三种表达数学概念的基本形式，也是对“平方差公式”的一个“真实”的刻画． 另外，依附于“平方差公式”内容之上的，就是数学思想方法，这牵涉到对“平方差公式”本质的理解． 其一，是“特殊化”的想法．我们探究数学问题，一般情况下，是需要对一些“特例”进行比较深入的研究．比如对待“几何图形”，我们在研究一般三角形的基础上，重点研究了“等腰三角形”，在研究了一般的四边形的基础上，比较深入地研究了“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“正方形”等特殊的四边形，这主要是由于这样的一些特殊的三角形、四边形，在数学知识内部或实际问题中有着更加广泛的应用．因此，建立在“多项式乘以多项式”基础之上的“平方差公式”，承载的就不仅仅是一个数学公式本身了，它反映了从“一般”到“特殊”的研究数学问题的基本策略． 其二，是“归纳”的想法．这种方法在解决数学问题中，更是随处可见，比如，对于整式加法法则、整式乘法法则的获得，对于一次函数、反比例函数性质的获得，对于概率的统计定义中的“用频率估计概率”的方法，等等．那么，对于“平方差公式”，我们同样是通过观察一系列具有某种结构特征的“多项式乘以多项式”的结果，“归纳”出符合这种“结构特征”的共同“规律”，这就是平方差公式 ，其中的 可以代表任何“数字”、“字母”、“式子”，或者你喜欢的任何其他的“事物”． 这样，基于上述的关于“平方差公式”的感受和理解，我们的教学设计以及课堂实施，才有可能给学生带来一些“真实”的帮助． 二、数学课堂教学中的“善” 善，即针对教学内容，应该反映出一种价值取向，表达的是“可欲之谓善”，即“己欲立而立人；己欲达而达人；己所不欲，勿施于人”的意境． 数学课堂教学中，教师将自己理解到的“真实”的数学知识，通过设置一系列的问题，让学生也能理解数学，也能达到了解数学知识“真相”的目的，就应该是一种“善”了． 对于“平方差公式”，如果以学生的认知基础为起点，就应该从“多项式乘以多项式”开始．人民教育出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册（以下简称教材），为学生呈现“平方差公式”时，就是采用承接上一节“多项式相乘的运算法则”，以一个“探究”栏目开始的． 教材在“探究”栏目中，设置了三个特殊形式的“多项式相乘”的问题： （1）（x+1）（x-1）= （2）（m+2）（m-2）= （3）（2x+1）（2x-1）= 对于问题（1）的两个多项式“ ”与“ ”，均含有一个字母“ ”，常数项为“1”和“-1”； 问题（2）的两个多项式“ ”与“ ”，含有的一个字母变为“ ”，常数项变为“2”和“-2”； 问题（3）的两个多项式“ ”与“ ”，均含有字母“ ”，但与（1）不同的是，增加了字母的系数，常数项为“1”和“-1”． 该“探究”栏目的问题指向是“你能发现什么规律”，这就将学生的思维自然地导向了“结构特征”，与接下来的“再来计算 ”上下呼应，在突出结构特征的同时，揭示了“平方差公式”与“一般多项式乘法”之间的内在联系． 这样的设计，层层递进，又相互关联，使“平方差公式”的生成非常的自然、顺畅． 当学生知道了“平方差公式”，就应该以应用这个公式解决相关的问题为落点．其中，重要的是帮助学生理解公式中字母的广泛含义． 教材在例1的分析中，采用“ ”，比较直观地指出了公式中的字母可以代表“ ”和“ ”，事实上，推而广之，可以向学生指明，公式中的字母可以表示任何“具体的数（正数或负数）”、任何“单项式或多项式”，只要符合公式的结构特征，都可以运用这一公式．这是一种非常“善意”的注释，是可以应用“平方差公式”进行计算的关键． 教材的例2，设置了两个问题： （1） ； （2） ． 对于问题（1），需要变形成符合“平方差公式”结构的形式；对于问题（2），其中的“ ”可以应用“平方差公式”，而“ ”仍然按照“多项式相乘”的计算方法．两个问题，从不同的侧面，将“平方差公式”纳入到学生已有的知识结构之中：问题（1）可以使学生确认“平方差公式”为运算所带来的方便；问题（2）表明了“平方差公式”的局限性，即它只能解决具有特殊形式的多项式相乘的问题． 可见，教材对“平方差公式”内容的安排，简捷流畅，在传达数学知识“真相”的过程中，又不失深刻的“数学味道”，为我们的教学设计以及课堂实施提供了很好的“示范性”．如果运用得当，将这种“友善”的呈现方式，在课堂教学中得以实现，才有可能对学生的数学思维产生积极的影响． 三、数学课堂教学中的“美” 美，是使人愉悦，使人感动，使人升华，使人奋进的东西．数学课堂教学中的“美”，应包括数学教师的亲和力、数学内容的感染力以及师生共同营造的和谐状态等． “亲其师，才能信其道”，数学教师的亲和力，是教师的数学专业素养、自身人格魅力的综合体现．首先，还是要求教师对数学知识“真实”的理解，比如，对“用面积说明平方差公式”，教材的用意是用它来说明“平方差公式”具有直观的几何意义，如果在这里“大做文章”，甚至将其作为推导“平方差公式”的依据，实为不妥，而且势必会人为地造成学生对“平方差公式”的误解，那么，再“美好”的创意，也是徒劳的，“亲和力”也只能是徒有其表；其次，基于学生对教师数学专业素养的信服（这需要一个长期的过程），教师课堂上的“一招一式”，也应从学生的接受能力出发，循序渐进，娓娓道来，使数学知识的建构可以在一种轻松愉悦的状态下“达成”． 数学内容的感染力，主要呈现的是一种数学知识内在的逻辑性、系统性，以及数学思维方式的“可迁移性”．应该说，“平方差公式”并不难，没有“平方差公式”，按照“多项式相乘”的计算方法，同样可以解决问题．那么，学习“平方差公式”的意义何在呢？笔者以为，本课要关注的一个重要方面，应该是它的“思想性”．如从“多项式乘以多项式”的一般到“平方差公式”的特殊，从观察一系列特殊的“多项式相乘”的结果到得到一般的“平方差公式”；再如，公式的“结构特征”所表现的“模式化”的思想，以及分析解决数学问题的“基本套路”等等．这样的提炼，学生从中获取的就不仅仅是简单的“平方差公式”了，其“感染力”可以融合到数学内部或者数学之外的任何方面． 课堂教学的和谐状态，应该是“真”、“善”、“美”的和谐统一．如果说，学生在数学课堂中，经历了发现美、认识美、追求美、创造美的过程，也一定是基于了教师对数学知识“真诚”的表达，基于了教师对数学内容“友善”的呈现，有了“真”和“善”，才会有“美”．同样，学生如果通过我们的课堂，感知到了数学所带给他们的“美感”，获得了“善学”的方法，也一定会形成“真知”，奠定赋有创造力的丰厚的数学知识底蕴． 有人认为“真是指认识符合客观实际；善是指善行，是指人的行为对群体的价值；美是客体作用于主体，使主体产生一种精神上愉悦的体验”．也有人认为“真者智力之理想，善者意志之理想，美者感情之理想”．我们的追求，是可以看到充实、生动、和谐的数学课堂，纵然不能完全做到，然心向往之，教师尽力为之，数学课堂也才有可能真正成为促进学生发展的“真”、“善”、“美”的源泉． 备注：2009年11月，我有机会参加了人教社中数室组织的一项全国研究课题“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计的理论与实践”的初中第五次课题会，当时，结合研究课例“平方差公式”曾写过一篇反思文章。后来，读了袁振国教授的《教育新理念》，又将一些新的思考丰富到“反思”中，并且，也在今年5月举办的天津市“未来教育家奠基工程”第二期学员的第一次读书交流会上，以《对“真、善、美”的追求》为题做了交流，整理了一下，结合“平方差公式”的内容，便形成了上述文字。 （关于“数学符号”和“图”还是粘贴不上，好在是已经发表了，原文请见《中国数学教育》2010年第7-8期） |
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