共轭矩阵-共轭矩阵

共轭矩阵-共轭矩阵     

共轭矩阵又称Hermite阵。Hermite阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称,即是ai,j=a*j,i。

对于

A=\{a_{i,j}\}\inC^{n\timesn}

有：

a_{i,j}=\overline{a_{j,i}}，其中\overline{(\cdot)}为共轭算符。

记做：

A=A^H\quad

例如：

\begin

3&2+i\\2-i&1\end

就是一个Hermite阵。

显然，Hermite阵主对角线上的元素必须是实数。对于只包含实数元素的矩阵（实矩阵），如果它是对称阵，即所有元素关于主对角线对称，那么它也是Hermite阵。也就是说，实对称阵是Hermite阵的特例。

性质

若A和B是Hermite阵，那么它们的和A+B也是Hermite阵；而只有在A和B满足交换性（即AB=BA）时，它们的积才是Hermite阵。

可逆的Hermite阵A的逆矩阵A-1仍然是Hermite阵。

如果A是Hermite阵，对于正整数n，An是Hermite阵.

方阵C与其共轭转置的和C+C^*是Hermite阵.

方阵C与其共轭转置的差C-C^*是skew-Hermite阵。

任意方阵C都可以用一个Hermite阵A与一个skew-Hermite阵B的和表示:

C=A+B\quad\mbox\quadA=\frac(C+C^*)\quad\mbox\quadB=\frac(C-C^*).

Hermite阵是正规阵，因此Hermite阵可被酉对角化，而且得到的对角阵的元素都是实数。这意味着Hermite阵的特征值都是实的，而且不同的特征值所对应的特征向量相互正交，因此可以在这些特征向量中找出一组Cn的正交基。

n阶Hermite方阵的元素构成维数为n2的实向量空间，因为主对角线上的元素有一个自由度，而主对角线之上的元素有两个自由度。

如果Hermite阵的特征值都是正数，那么这个矩阵是正定阵，若它们是非负的，则这个矩阵是半正定阵。