[奥数培训] 2010-06-27 13:38:57
第一章牛顿问题
解题关键：
牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步：
1、求出每天长草量；
2、求出牧场原有草量；
3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生长的草量= 消耗原有草量)；
4、最后求出可吃天数。
1、牧场上有一片青草，牛每天吃草，草每天以均匀的速度生长。这片青草供给10头牛可以吃20天，供给15头牛吃，可以吃10天。供给25头牛吃，可以吃多少天？
分析：
如果草的总量一定，那么，牛的头数与吃草的天数的积应该相等。现在够10头牛吃20天，够15头牛吃10天，10×20和15×10两个积不相等，这是因为10头牛吃的时间长，长出的草多，所以，用这两个积的差，除以吃草的天数差，可求出每天的长草量。
①、求每天的长草量
( 10×20－15×10 )÷( 20－10 )＝ 5 ( 单位量)
说明牧场每天长出的草够5头牛吃一天的草量。
②、求牧场原有草量
因为牧场每天长出的草量够5头牛吃一天，那么，10头牛去吃，每天只有10－5＝5 ( 头 )牛吃原有草量，20天吃完，原有草量应是：( 10－5 )×20＝100 ( 单位量)
或：10头牛吃20天，一共吃草量是 10×20＝200 ( 单位量)
一共吃的草量－20天共生长的草量＝原有草量
200 － 100 ＝ 100(单位量)
③、求25头牛吃每天实际消耗原有草量
因为牧场每天长出的草量够5头牛吃一天，25头牛去吃，(吃的－ 长的 ＝ 消耗原草量 )
即：25 － 5＝ 20 ( 单位量)
④、25头牛去吃，可吃天数
牧场原有草量 ÷ 25头牛每天实际消耗原有草量 ＝ 可吃天数
100 ÷ 20 ＝5 ( 天)
解： ( 10×20－15×10 )÷( 20－10 )
＝50÷10
＝5 (单位量) ------- 每天长草量
( 10－5 )×20
＝5×20
＝100 ( 单位量) ------- 原有草量
100÷ ( 25－5 )
＝100÷20
＝5 (天)
答：可供给25头牛吃 5 天。
==============================
2、牧场上有一片青草，草每天以均匀的速度生长，这些草供给20头牛吃，可以吃20天；供给100头羊吃，可以吃12天。如果每头牛每天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量，那么20头牛，100只羊同时吃这片草，可以吃几天？
分析：
1头牛每天相当于4只羊一天的吃草量，那么20头牛就相当于4×20＝80 ( 只)羊吃草量。
每天长草量：
( 80×20 －100×12 )÷ ( 20－12 )
＝400÷8
＝50 (单位量)
原有草量：
( 80－50 )×20
＝30×20
＝600 (单位量)
20头牛和100只羊同时吃的天数：
600÷( 80＋100－50 )
＝600÷130
＝4 (天)
答：20头牛，100只羊同时吃这片草，可以吃4 天。
==============================
3、有三片牧场，牧场上的草长得一样密，一样快。它的面积分别是 3. 3公顷、2. 8公顷和4公顷。22头牛54天能吃完第一片牧场原有的草和新长出的草；17头牛84天能吃完第二片牧场原有的草和新长出的草。问，多少头牛经过24天能吃完第三片牧场原有的草和新长出的草？
分析：
①、第一片牧场22头牛54天吃完3. 3公顷所有的草，那么，每公顷草量是(包括生长的)：
22×54÷3. 3＝ 360 ( 单位量)
②、第二片牧场：17头牛84天吃完2. 8公顷所有的草，那么，每公顷草量是：
17×84÷2. 8＝ 510 ( 单位量)
③、每公顷每天的长草量是：
( 510－360 )÷( 84－54 )＝5 (单位量)
④、每公顷原有草量是：
360－5×54＝90 ( 单位量)
⑤、第三片4公顷24天共有草量是：
90×4＋5×24×4＝ 840 ( 单位量)
⑥、可供多少头牛吃24天：
840÷24＝35 (头)
解： ( 17×84÷2.8－22×54÷3.3 )÷( 84－54 )
＝150÷30
＝5 (单位量) ------ 每公顷每天长草量
22×54÷3. 3－5×54
＝360－270
＝90 (单位量) -------- 每公顷原有草量
90×4＋5×4×24
＝360＋480
＝840 ( 单位量) -------4公顷24天共有草量
840÷24＝35 ( 头)
答：35头牛经过24天能吃完第三片牧场原有的草和新长出的草。
==============================
4、用3台同样的水泵抽干一个井里的泉水要40分钟；用6台这样的水泵抽干它只要16分钟。问，用9台这样的水泵，多少分钟可以抽干这井里的水？
分析：
用水泵抽井里的泉水，泉水总是按一定大小不断往上涌，这就跟牧场的草一样均匀地生长，因此，把它当作牛吃草问题同解。
每分钟泉水涌出量：
( 3×40－6×16 )÷( 40－16 )
＝2 4÷24
＝1 (单位量)
井里原有水量：
( 3－1 )×40
＝2×40
＝80 (单位量)
9台几分钟可以抽干：
80÷( 9－1 )
＝80÷8
＝10 (分钟)
答：用9台这样的水泵，10分钟可以抽干这井里的水。
==============================
5、火车站的售票窗口8点开始售票，但8点以前早就有人来排队，假如每分钟来排队的人一样多，开始售票后，如果开3个窗口售票，30分钟后，不再有人排队；如果开5个窗口售票，15分钟后，不再有人排队。求第一个来排队的人是几点钟到的？
分析：
到窗口排队售票的人，包括两部分，一部分是8点以前已等候的人( 相似于牛吃草问题中的原有草量)，另一部分是开始售票时，逐步来的人( 相似于每天长草量)，开售票窗口多少，相似于“吃草的牛”多少，售票时间相似于“牛吃草”天数。因此，按“牛吃草问题”来解答。
每分钟来排队的人：
( 3×30－5×15 )÷( 30－15 )
＝15÷15
＝1 (人)
售票前已到的人数：
3×30－1×30
＝90－30
＝60 (人)
售票前已到的人共用的时间：
60÷1＝60 (分钟)
60分钟是1小时，即第一个来排队的人是售票前1小时到达的，8－1＝7
答：第一个来排队的人是7点钟到达的。
第二章鸡兔问题
解题关健：鸡兔问题是我国古代著名数学问题之一，也叫“鸡兔同笼”问题。解答鸡兔同笼问题，一般采用假设法，假设全部是鸡，算出脚数，与题中给出的脚数相比较，看差多少，每差一个(4－2)只脚，就说明有1只兔，将所差的脚数除以( 4－2 )，就可求出兔的只数。同理，假设全部是兔，可求出鸡。
1、鸡兔同笼共80头，208只脚，鸡和兔各有几只？
分析：
假设这80头全是鸡，那么，脚应是2×80＝160 (只)，比实际少 208－160＝48 (只)脚，这是因为1只兔有4只脚，把它看成是2只脚的鸡了，每只兔少算了2只脚，共少算了48只脚，48里面有几个2，就是几只兔。
解： ( 208－2×80 )÷( 4－2 )
＝48÷2
＝24 (只) ------ 兔
80－24＝56 (只)
答：鸡有56只，兔有24只。
也可以假设80只全是兔，解答如下：
解： ( 4×80－208 )÷( 4－2 )
＝112÷2
＝56 (只) ------ 鸡
80－56＝24 ( 只)
==============================
2、小明参加一次数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得10分，错一题扣5分，小明共得了70分，他做对了几道题？
分析：
假设他做对了10道题，那么应得10×10＝100 (分)，而实际只得70分，少30分，这是因为每做错一题，不但得不到10分，反而倒扣5分，这样做错一题就会少10＋5＝15 (分)，看30分里面有几个15分，就错了几题。
解： ( 10×10－70 )÷( 10＋5 )
＝30÷15
＝2 (道) ------ 错题
10－2＝8 (道)
答：他做对了8道题。
==============================
3、有面值5元和10元的钞票共100张，总值为800元。5元和10元的钞票各是多少张？
分析：
假设100张钞票全是5元的，那么总值就是5×100＝500 (元)，与实际相差800－500＝300 元
差的300元，是因为将10元1张的算作了5元的，每张少计算10－5＝5 (元)，差的300元里面有多少个5元，就是多少张10元的钞票。
解： ( 800－5×10 )÷( 10－5 )
＝300÷5
＝60 (张) ------ 10元面值
100－60＝40 (张)
答：有10元的钞票60张，5元的钞票40张。
==============================
4、有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物共21只，共140条腿和23对翅膀，三种动物各多少只？( 蜘蛛8条腿，蜻蜓6条腿2对翅膀，蝉6条腿1对翅膀 )
分析：
假设蜘蛛、蜻蜓、蝉都是6条腿，那么总腿数是6×21＝126 (条)，比实际少140－126＝14( 条)，这是因为一只蜘蛛是8条腿，把它算作6条腿，每只蜘蛛少计算了8－6＝2 (条)，少算的14条里面有几个2条，就是几只蜘蛛，即14÷2＝7 (只)。从总只数里减7只蜘蛛，就得21－7＝14 (只)是蜻蜓和蝉的和。再假设这14只全是蜻蜓，那么翅膀应是2×14＝28 (对)比实际多28－23＝5 (对)，这是因为蝉是1对翅膀，把它算成2对了，每只蝉多算了1对翅膀多出的这5对翅膀里面有几个1对，就是几只蝉。求出了蝉，蜻蜓可求。
解： ( 140－6×21 )÷( 8－6 )
＝14÷2
＝7 (只) ------ 蜘蛛
21－7＝14 (只)
( 2×14－23 )÷( 2－1 )
＝5÷1
＝5 (只) ------- 蝉
14－5＝9 (只) ------ 蜻蜓
答：蜘蛛7只，蜻蜓9只，蝉5只。
第三章年龄问题
解题关键：“年龄问题”的基本规律是：不管时间如何变化，两人的年龄的差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键。分析时，可借助线段图分析，结合和倍、差倍、和差等问题分析方法，灵活解题。
1、爸爸今年42岁，女儿今年10岁，几年前爸爸的年龄是女儿的5倍？
分析：
要求几年前爸爸的年龄是女儿的5倍，首先应求出那时女儿的年龄是多少？爸爸的年龄是女儿的5倍，女儿的年龄是1倍，爸爸比女儿多5－1＝4 (倍)，年龄多42－10＝32 (岁)，对应，可求出1 倍是多少，即女儿当时的年龄。
解： ( 42－10 )÷( 5－1 )
＝32÷4
＝8 (岁)
10－8＝2 (年)
答：2年前爸爸的年龄是女儿的5倍。
==============================
2、父亲今年比儿子大36岁，5年后父亲的年龄是儿子的4倍，今年儿子几岁？
分析：
父亲今年比儿子大36岁，5年后仍然大36岁。父亲年龄是儿子的4倍，说明儿子的年龄是1倍，父亲比儿子大4－1＝3 (倍)，可求出1倍是多少岁，即5年后儿子的年龄，那么，现在几岁可求出。
解： 36÷( 4－1 )
＝36÷3
＝12 (岁)
12－5＝7 (岁)
答：今年儿子7岁。
==============================
3、今年母女年龄和是45岁，5年后母亲的年龄正好是女儿的4倍，今年妈妈和女儿各多少岁？
分析：
今年母女年龄和是45岁，五年后母女年龄和是45＋5×2＝55 (岁)，母亲年龄是女儿的4倍，女儿年龄是1倍，母女年龄和的倍数是4＋1＝5 (倍)，对应，可求出5年后女儿的年龄，今年她们的年龄可求。
解： ( 45＋5×2 )÷( 4＋1 )
＝55÷5
＝11 (岁)
11－5＝6 ( 岁) 45－6＝39 (岁)
答：妈妈今年39岁，女儿6岁。
第四章植树问题
解题关键：1、要注意总距离、棵距及棵数三个量之间的关系。
2、要分清图形是否封闭，然后确定是沿线段栽，还是沿周长栽。
3、关系式为：沿线段植树 棵数＝总距离÷棵距＋1
沿周长植树 棵数＝总距离÷棵距
1、在一段4 0米长的人行道一侧栽树，每隔5米栽一棵樟树，共需要栽樟树多少棵？
分析：
如图： ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀
5米
从图上可以看出，“每隔5米栽一棵”就是将40÷5＝8 ，平均分成8段，因两端都有一棵树，所以，沿人行道一侧栽树，属沿线段植树。
解： 4 0÷5＋1
＝8＋1
＝9（棵）
答：需要栽樟树9棵。
==============================
想一想：如果这条人行道两侧都这样栽，需要栽多少棵？应怎样算？
2、沿一段公路两旁种杨树，每隔3米种一棵，一共种了502棵。这段公路长多少米？
分析：
沿公路两旁共种502棵，将502÷2＝251（棵），就得到公路一旁种树棵数（注意将两旁总棵数除以2），它属于沿线段植树问题，根据关系式，将棵数减1，乘棵距，可求出总距离。
解： 502÷2＝251（棵）
3×（251－1）
＝3×250
＝750（米）
答：这段公路长750米。
==============================
3、把一根4 8厘米的铁棒锯成8厘米长的短铁棒，如果锯一段需要4分钟，锯完这根铁棒需要多少分钟？
分析：如图
将4 8厘米长铁棒锯成8厘米长的短铁棒，就是求4 8厘米里面有几个8厘米，就可锯成几段，从图上可以看出“锯的次数比段数要少1 ”，锯一段需要4分钟，实际是锯一次要4分钟，求锯完这根铁棒需要多少分钟，先要求出共锯多少次。
解： 48÷8－1＝5（次）
4×5＝20（分钟）
答：锯完这根铁棒需要20分钟。
==============================
4、在一个人工湖周围每隔6米种一棵柳树，一共种了180棵。再在相邻的两棵柳树间每隔2米种一株月季，问，一共需要多少株月季？
分析：
在人工湖周围种树，属于在封闭图形上栽树问题，即沿周长植树，根据关系式：
总距离＝棵距×棵数，人工湖周长为 6×180＝1080（米）
如果湖的周围没有柳树，全是每隔2米种的月季，月季共 1080÷2＝54 0（株），而实际其中种有柳树180棵，那么，月季株数应为 540－180＝360（株）。
解： 6×180÷2－180
＝540－180
＝360（株）
答：一共需要360株月季。
==============================
解法二：
人工湖周围每隔6米种一棵柳树，共种180棵，就是将湖的周长平均分成180段，每段长6米，因为这6米的两头已种柳树，所以这中间只能种6÷2－1＝2（株）月季，共需月季列式为：
（6÷2－1）×180
＝2×180
＝360（株）
第五章盈亏问题
解答公式： 两次分配的结果差÷两次分配数差＝人数
或，由于参加分配的总人数不变，参加分配的物品总数不变，因此，可根据
第一种分法的人数＝第二种分法的人数
第一种分法物品总数＝第二种分法物品总数，列出方程来解。
1、一批树苗，如果每人种树苗8棵，则缺少3棵；如果每人种7棵，则有4棵没人种。求参加种树的人数是多少？这批树苗共有多少棵？
分析：
每人种8棵，则缺少3棵，也就是少3棵。每人种7棵，则有4棵没人种，也就是多4棵。
那么两次分配的结果差是3＋4＝7， 两次分配的数差是 8－7＝1
种树人数是：7÷1＝7（人） 树苗总数是：8×7－3＝53（人）
解法一： （3＋4）÷（8－7）
＝7÷1
＝7（人）
8×7－3＝53（棵）
答：参加种树的人数是7人，这批树苗共有53棵。
==============================
解法二：
这道题种树人数不变，树苗总棵数不变，若设种树人数为X人，根据第一种分法的树苗总棵数＝第二种分法的树苗总棵数，列方程解。
解： 设种树人数为X人，列方程得
8X－3＝7X＋4
8X－7X＝4＋3
X＝7
8×7－3＝53（棵）
答：（略）
==============================
2、幼儿园老师把一堆苹果分给小朋友，如果每人分6个，则少10个，每人分4个，还少2个。有多少小朋友？有多少个苹果？
分析：
两次分配都不足，则两次不足数量差就是两次分配的结果差，结果差÷分配差＝人数
解： （10－2）÷（6－4）
＝8÷2
＝4（人）
6×4－10＝14（个）
答：有4个小朋友，有14个苹果。
==============================
3、学校安排新生住宿，若每间宿舍住6人，则多出34人；若每间宿舍住7人，则多出4间宿舍，求住宿的学生和宿舍各有多少？
分析：
每间住6人，多出34人，就是不足34张床位；每间住7人，多出4间宿舍，就是多出7×4＝28张床位。两次分配的结果差就是（34＋28），结果差÷分配差＝宿舍
解： （34＋28）÷（7－6）
＝62÷1
＝62（间）
6×62＋34＝406（人）
答：住宿的学生共406人，宿舍有62间。
==============================
4、学生分练习本，其中两个人每人分6本，其余每人分4本，则多2本；如果有一个学生分8本，其余每人分6本，则不足18本。学生有多少人？练习本有多少本？
分析：
1、有两人分6本，其余每人分4本，余2本，若将分6本的这两人也分4本，那么这两人又每人余2本，共余2×2＋2＝6（本）。
2、一个学生分8本，其余分6本，不足18本。若将分8本这个学生也同样分6本，则不足应是18－2＝16（本）。
那么，两次分配的结果差是16＋6＝22（本），分配差是6－4＝2（本）
结果差÷分配差＝人数
解： 6－4＝2（本） 2×2＋2＝6（本） 8－6＝2（本） 18－2＝16（本）
（16＋6）÷（6－4）
＝22÷2
＝11（人）
4×11＋6＝50（本）
答：学生有11人，练习本有50本。
==============================
5、一工人加工一批机器零件，限期完成，他计划每小时做10个，还差3个零件完成任务，每小时做11个，恰好限期内完成了任务。他加工的零件是多少个？限几小时完成？
分析：
每小时做10个，差3个，每小时做11个，恰好完成，那么，两次分配的结果差是3个，两次分配的数差是11－10＝1（个）。根据，结果差÷分配差＝限时数
解： 3÷（11－10）
＝3÷1
＝3（小时）
10×3＋3＝33（个）
答：他加工的零件是33个，限3小时完成。
解法二：
设限X小时完成，根据第一种分法和第二种分法零件个数相等，列方程得
11X＝10X＋3
11X－10X＝3
X＝3
11×3＝33（个）
第六章流水问题
解题关键：船速：船在静水中航行速度； 水速：水流动的速度；
顺水速度：顺水而下的速度＝船速＋水速；
逆水速度：逆流而上的速度＝船速－水速。
流水问题具有行程问题的一般性质，即 速度、时间、路程。可参照行程问题解法。
1、一只油轮，逆流而行，每小时行12千米，7小时可以到达乙港。从乙港返航需要6小时，求船在静水中的速度和水流速度？
分析：
逆流而行每小时行12千米，7小时时到达乙港，可求出甲乙两港路程：12×7＝84（千米），返航是顺水，要6小时，可求出顺水速度是：84÷6＝14（千米），顺速－逆速＝2个水速，可求出水流速度（14－12）÷2＝1（千米），因而可求出船的静水速度。
解： （12×7÷6－12）÷2
＝2÷2
＝1（千米）
12＋1＝13（千米）
答：船在静水中的速度是每小时13千米，水流速度是每小时1千米。
==============================
2、某船在静水中的速度是每小时15千米，河水流速为每小时5千米。这只船在甲、乙两港之间往返一次，共用去6小时。求甲、乙两港之间的航程是多少千米？
分析：
1、知道船在静水中速度和水流速度，可求船逆水速度 15－5＝10（千米），顺水速度15＋5＝20（千米）。
2、甲、乙两港路程一定，往返的时间比与速度成反比。即速度比 是 10÷20＝1：2，那么所用时间比为2：1 。
3、根据往返共用6小时，按比例分配可求往返各用的时间，逆水时间为 6÷（2＋1）×2＝4（小时），再根据速度乘以时间求出路程。
解： （15－5）：（15＋5）＝1：2
6÷（2＋1）×2
＝6÷3×2
＝4（小时）
（15－5）×4
＝10×4
＝40（千米）
答：甲、乙两港之间的航程是40千米。
==============================
3、一只船从甲地开往乙地，逆水航行，每小时行24千米，到达乙地后，又从乙地返回甲地，比逆水航行提前2. 5小时到达。已知水流速度是每小时3千米，甲、乙两地间的距离是多少千米？
分析：
逆水每小时行24千米，水速每小时3千米，那么顺水速度是每小时 24＋3×2＝30（千米），比逆水提前2. 5小时，若行逆水那么多时间，就可多行 30×2. 5＝75（千米），因每小时多行3×2＝6（千米），几小时才多行75千米，这就是逆水时间。
解： 24＋3×2＝30（千米）
24×[ 30×2. 5÷（3×2）]
＝24× [ 30×2. 5÷6 ]
＝24×12. 5
＝300（千米）
答：甲、乙两地间的距离是300千米。
==============================
4、一轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行要8小时行完全程，逆水航行要10小时行完全程。已知水流速度是每小时3千米，求甲、乙两码头之间的距离？
分析：
顺水航行8小时，比逆水航行8小时可多行 6×8＝48（千米），而这48千米正好是逆水（10－8）小时所行的路程，可求出逆水速度 4 8÷2＝24 （千米），进而可求出距离。
解： 3×2×8÷（10－8）
＝3×2×8÷2
＝24（千米）
24×10＝240（千米）
答：甲、乙两码头之间的距离是240千米。
==============================
解法二：
设两码头的距离为“1”，顺水每小时行 1/8，逆水每小时行1/10，顺水比逆水每小时快1/8－1/10，快6千米，对应。
3×2÷（1/8－1/10）
＝6÷1/40
＝24 0（千米）
答：（略）
==============================
5、某河有相距12 0千米的上下两个码头，每天定时有甲、乙两艘同样速度的客船从上、下两个码头同时相对开出。这天，从甲船上落下一个漂浮物，此物顺水漂浮而下，5分钟后，与甲船相距2千米，预计乙船出发几小时后，可与漂浮物相遇？
分析：
从甲船落下的漂浮物，顺水而下，速度是“水速”，甲顺水而下，速度是“船速＋水速”，船每分钟与物相距：（船速＋水速）－水速＝船速。所以5分钟相距2千米是甲的船速5÷60＝1/12（小时），2÷1/12＝24（千米）。因为，乙船速与甲船速相等，乙船逆流而行，速度为24－水速，乙船与漂浮物相遇，求相遇时间，是相遇路程120千米，除以它们的速度和（24－水速）＋水速＝24（千米）。
解： 120÷[ 2÷（5÷60）]
＝120÷24
＝5（小时）
答：乙船出发5小时后，可与漂浮物相遇。
第七章、平均问题
解题关键：根据已知条件确定“总数量”和“总份数”而且必须使“总数量”和“总份数”相对应。然后用
总数量÷总份数＝平均数
1、小明从甲地到乙地办事，去时由于上山，每小时走3千米，回来时下山，每小时走5千米，他往返甲乙两地的平均速度是多少千米？
分析：求平均速度应是“总路程÷总时间＝平均速度”。这道题没有告诉甲乙两地路程，我们假设它“1”，那么，去时走的时间应为1÷3＝ 1/3，回来时用的时间应为1÷5＝1/5
，往返甲乙两地的总路程应为1×2，总时间为( 1/3 + 1/5 )。
解：设甲乙两地的路程为“1”
2÷( 1/3 + 1/5 )
＝2 ÷ 8/15
＝3.75 (千米)
答：他往返甲乙两地的平均速度是3.75 千米。
2、某班有40名学生，一次数学考试，有2名同学因故缺考 ，这时班级平均分数是88分，缺考的两名同学补考各得98分，这个班这次考试平均分数是多少？
分析：求这个班这次考试平均分数，就是求全班40名同学的平均分。根据题意，考试时40名同学，有2个缺考，就是38名同学的平均分88分，他们的总分是88×( 40－2 )，缺考的2名同学补考各得98分，他俩的总分是98×2，那么全班40名同学的总分应是88×( 40－2 )＋98×2，
根据
总数量÷总份数＝平均数
解： [ 88×( 40－2 )＋98×2 ]÷40
＝ [ 3344＋916 ]÷40
＝3540÷40
＝88.5 ( 分)
答：这个班这次考试平均分数是88.5分。
3、有六个数，其平均数是8. 5，前四个数的平均数是9. 25，后三个数的平均数是10，第四个数是多少？
分析：六个数的平均数是8. 5，那么，六个数的总和是8. 5×6＝51
前四个数的平均数9.25，那么，前四个数的总和是9.25×4＝37
后三个数的平均数是10，那么后三个数的总和是10×3＝30
如果将前四个数的总和＋后三个数的总和，恰 好重叠了第四个数，比六个数的总和多第四个数。
解 ： ( 9.25×4＋10×3 )－8.5×6
＝67－51
＝16
答：第四个数是16。
4、有红、黄、白三种 颜色的乒乓球，已知红、黄两种球平均11个；黄、白两种球平均8个；红、白两种球平均9个。三种球各多少个？
分析：由红、黄两种球平均11个，得红、黄两种球和为 11×2＝22 ( 个 )
由黄、白两种球平均8个，得黄、白两种球和为 8×2＝16 ( 个)
由红、白两种球平均9个，得红、白两种球和为 9×2＝18 ( 个)
那么，22＋16＋18＝56 ( 个)是三种球总和的2倍，将56÷2＝28 ( 个)就得到红、黄、白三种球的和，再将这三种球的和减去任意两种球的和，可得得到第三种球的个数。
解： ( 11×2＋8×2＋9×2 )÷2
＝56÷2
＝28 ( 个)
白球： 28－11×2＝6 ( 个)
红球： 28－8×2＝12 ( 个)
黄球： 28－9×2＝10 ( 个)
答：红球12个，黄球10个，白球6个。
第八章、相遇问题
解题指导：
“相遇问题”( 或相背问题)是两个物体以不同的速度从两地同时出发，( 或从一地同时相背而行)，经若干小时上遇( 或相离)。我们若把两物体速度之和称之为“速度和”，从同时出发到相遇( 或相距)时止，这段时间叫“相遇时间”；两物体同时走的这段路程 叫“相遇路程”，那么，它们的关系式是：
速度和×相遇时间＝相遇路程
相遇路程÷速度和＝相遇时间
相遇路程÷相遇时间＝速度和
1、甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行42.5千米，乙车每小时行38千米，4小时后，两车还相距35. 5千米，求A、B两地的距离？
分析：
从题中已知甲乙两车的速度，它们速度和是42.5＋38＝80.5 ( 千米)
相遇时间是4小时，相遇路程可。
A、B两地的距离是：相遇路程 ＋还相距的35.5千米
解： ( 42.5＋38 )×4＋35.5
＝80.5×4＋35.5
＝322＋35. 5
＝357.5 ( 千米)
答：A、B两地的距离是357.5千米。
2、一辆货车和一辆客车同时从相距299千米的两地相向而行，货车每小时行40千米，客车每小时行52千米，问：几小时后两车第一次相距69千米？再过多少时间两车再次相距69千米？
分析：
从题意可知，第一次相距69千米，就是两车还没有相遇，还差69千米，相遇路程应是299－69，
根据相遇路程÷速度和＝相遇时间， 即 230÷( 40＋52 )＝2.5 ( 小时)。
第二次相距69千米，是在行完第一次相距的69千米相遇后，到再相离69千米，实际共行2个69千米。
根据：路程÷速度和＝时间
可解。
解： ( 299－69 )÷( 40＋52 )
＝230÷92
＝ 2.5 ( 小时)
( 69×2 )÷( 40＋52 )
＝138÷92
＝1.5 ( 小时)
答：2.5小时后两车第一次相距69千米，再过1.5小时两车再次相距69千米。
第九章、追及问题
解题关键：追及问题是两物体速度不同向同一方向运动，两物体同时运动，一个在前，一个在后，前后相隔的路程若把它叫做“追及的路程”，那么，在后的追上前一个的时间叫“追及时间”。
关系式是：
追及的路程÷速度差＝追及时间
1、A、B两地相距28千米，甲乙两车同时分别从A、B两地同一方向开出，甲车每小时行32千米，乙车每小时行25千米，乙车在前，甲车在后，几小时后甲车能追上乙车？
分析：如图
根据题意可知要追及的路程是28千米，每行1小时，甲车可追上 32－25＝7 千米
即速度差。看28千里面有几个7千米，就要几小时追上。
也就是 ：
追及的路程÷速度差＝追及时间
解： 28÷( 32－25 )
＝28÷7
＝4 ( 小时)
答：4小时后甲车能追上乙车。
2、两辆汽车都从甲地开往乙地，第一辆车以每小时30千米的速度从甲地开出，第二辆车晚开12分钟，以每小时40千米的速度从甲地开出，结果两车同时到达乙地。求甲乙两地的路程？
分析： 从题意可知两车从同一地出发，第二辆车晚开12分钟，也就是第一辆车出发12分钟后，第二辆车才出发，那么，追及的路程是第一辆12分钟所行的路程，即 30× ＝6 (千米)。两车同时到达乙地，也就是第二辆车刚好追上第一辆车，追及的时间就是第二辆车从甲地到乙地行驶的时间。即6÷(40－30)＝0.6(小时)，已知速度和时间，甲乙两地的距离可求。
解：30×12/60
＝ 6 (千米 ) 6 ÷( 40 －30 )＝0.6 (小时)
40×0.6＝24 ( 千米)
答：甲乙两地的路程是24千米。
3、甲乙二人在周长600米的水池边上玩，两人从一点出发，同向而行30分钟后又走到一起，背向而行4分钟相遇。求两人每分钟各行多少米？
分析：
两人从一点出发同向而行，速度有快、有慢，形成前后，从出发到再次走到一起，看作追及问题，追及的路程是600米，追及的时间30分钟，根据“追及的路程÷追及的时间＝速度差 ”，可求出速度差是 600÷30＝20 (米)。又背向而行4分钟相遇，属相遇问题，相遇的路程是600米，相遇时间是4分分钟，根据“相遇路程÷相遇时间＝速度和”，可求出速度和是 600÷4＝150 (米)。然后根据“和差问题”(和＋差)÷2＝大数，(和－差)÷2＝小数，可求出两人的速度。
解： 600÷30＝20 (米) 600÷4＝150 (米)
(20＋150)÷2＝85 (米) (150－20)÷2＝65 (米)
答：甲每分钟行85米，乙每分钟行65米。
4、甲骑自行车行12分钟后，乙骑摩托车去追他，在距出发点9千米处追上了甲。乙立即返回出发点拿东西，后又立即返回去追甲，再追上甲时恰好离出发点18千米。求甲、乙的速度？
分析：如图
从图中可知，甲行9千米，乙则行了9＋18＝27 (千米)，即 乙的速度是甲的27÷9＝3 (倍)
那么，从乙出发到第一次追上甲时，乙行9千米，甲应只行9÷3＝3 (千米)，可求出甲先行12分钟的路程应是 9－3＝6 (千米)，从而可求出甲速度是 6÷12＝0.5 (千米)，由此可求出乙速度。
解： (9＋18)÷9＝3 (倍) 9÷3＝3 (千米) 9－3＝6 (千米)
6÷12＝0.5 (千米) 甲每分钟行的路程
0.5×3＝1.5 (千米) 乙每分钟行的路程
答：甲每分钟行0.5 千米，乙每分钟行1.5千米。
第十章、时钟问题
解题关键：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。每小时，时针走1大格合5小格，分针走12大格合60小格，时针的转速是分针的1/12，两针速度差是分针的速度的11/12，分针每小时可追及11/12。
1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？
分析：两点钟的时候，分针指向12，时针指向2，分针在时针后5×2＝10（小格）。而分针每分钟可追及1－1/12＝11/12（小格），要两针重合，分针必须追上10小格，这样所需要时间应为（10÷11/12）分钟。
解：
（5×2）÷（1－1/12）＝10÷11/12＝10+10/11（分）
答：2点10+10/11分时，两针重合。
2、在4点钟至5点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？
分析：分针与时针成一条直线时，两针之间相差30小格。在4点钟的时候，分针指向12，时针指向4，分针在时针后5×4＝20（小格）。因分针比时针速度快，要成直线，分针必须追上时针（20小格）并超过时针（30小格）后，才能成一条直线。因此，需追及（20＋30）小格。
解：
（5×4＋30）÷（1－1/12）＝50÷11/12＝54+4/11（分）
答：在4点54+4/11分时，分针和时针在同一条直线上。
3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角？
分析：分针与时针成直角，相差15小格（或在前或在后），一点时分针在时针后5×1＝5小格，在成直角，分针必须追及并超过时针，才能构成直角。所以分针需追及（5×1＋15）小格或追及（5×1＋45）小格。
解：
（5×1＋15）÷（1－1/12）＝20÷11/12＝21+9/11（分）
或（5×1＋45）÷（1－1/12）＝50÷11/12＝54+6/11（分）
答：在1点21+9/11分和1点54+6/11分时，两针都成直角。
4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上。看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。（每整点，是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书？看到几点结束的？
分析：连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午12点以后。12点以后时针与分针：
第一次成一条直线时刻是：（0＋30）÷（1－1/12）＝30÷11/12＝32+8/11（分）
即12点32+8/11分。
第二次成一条直线时刻是：（5×1＋30）÷（1－1/12）＝35÷11/12＝38+2/11（分）
即 1点38+2/11分。
第三次成一条直线的时刻是：（5×2＋30）÷（1－1/12）＝40÷11/12＝43+7/11（分）
即 2点43+7/11分。
如果从12点32+8/11分开始，到1点38+2/11分，只敲2下，到2点43+7/11分，就共敲5下（不合题意）
如果从1点38+2/11分开始到2点43+7/11分，共敲3下。因此，小明应从1点38+2/11分开始看书，到2点43+7/11分时结束的。
5、一只挂钟，每小时慢5分钟，标准时间中午12点时，把钟与标准时间对准。现在是标准时间下午5点30分，问，再经过多长时间，该挂钟才能走到5点30分？
分析：1、这钟每小时慢5分钟，也就是当标准钟走60分时，这挂钟只能走60－5＝55（分），即速度是标准钟速度的55/60＝11/12。
2、因每小时慢5分，标准钟从中午12点走到下午5点30分时，此挂钟共慢了5×（17+1/2－12）＝27+1/2（分），也就是此挂钟要差27+1/2分才到5点30分。
3、此挂钟走到5点30分，按标准时间还要走27+1/2分，因它的速度是标准时钟速度的1/12，实际走完这27+1/2分所要时间应是（27+1/2）÷11/12。
解： 5×（17+1/2－12） ＝27+1/2 （分）
（ 27+1/2）÷11/12＝30（分）
答：再经过30分钟，该挂钟才能走到5点30分。
第十一章、工程问题
解题指导：“工程问题”指的都是两个人以上合作完成某一项工作，有时还将内容延伸到相遇运动和向水池注水等等。解答工程问题时，一般都是把总工作量看作单位“1”，把单位“1”除以工作时间看成工作效率，因此，工作效率就是工作时间的倒数。
工程问题睥关系式是：工作总量÷工作效率＝工作时间
或：工作总量÷工作效率和＝合作的时间
1、加工360个零件，单独完成这批任务，甲需要20天，乙需要30天，两人共同工作，需要多少天能完成任务？
分析：加工360个零件，单独完成，甲需20天，甲的工作效率是360÷20＝18 (个)，乙需要30天，乙的工作效率是360÷30＝12 (个)，两人合作，那么工作效率和是18＋12＝30 (个)。
根据：
工作总量÷工作效率和＝合做的工作时间，即360÷30＝12 (天)
解： 360 ( 360÷20＋360÷30 )
＝360÷30
＝12 (天)
答：需要12天能完成任务。
或：如果把工作总量360个看作单位“1”，那么，甲的工作效率是1/20，乙的工作效率是1/30
他们的工作效率和是1/20＋1/30，根据：工作总量÷工作效率和＝合做的工作时间
1÷(1/20＋1/30)
＝1÷1/12
＝12 (天)
2、一项工程，由甲队单独工作需要15天完成，由乙队单独工作需要12天完成，由丙队单独工作需要10天完成。现在由甲乙两个工程共同工作了3天后，剩下的工程由丙队单独完成，丙队还需要几天才能完成这项工程？
分析：
这一项工程看作单位“1”，甲队单独工作需15天完成，工效应是1/15，乙队单独工作需要12天完成，乙工效应是1/12，丙队单独工作需10天完成，丙队工效应是1/10，现由甲乙两队先共同工作3天，可完成这项工程的(1/15＋1/12)×3＝9/20，还剩下1－9/20＝11/20，剩下的由丙队去完成，需要的天数是11/20÷1/10
解： [ 1－（1/15＋1/12）×3 ]÷1/10
＝[ 1－9/20]÷1/10
＝11/20÷1/10
＝5.5（天）
答：丙队还需要工作5.5（天）
3、一个水池安装甲、乙两个进水管和丙放水管，单开甲管4小时能把空池注满水，单开乙管5小时能把空池注满水，单开丙管3小时能把满池水放完。现在三管同时打开，几小时能把空池注满？
分析：
把一池水看作单位“1”，单开甲管4小时能注满，甲效是1/4，单开乙管5小时能注满，乙效是1/5，单开丙管3小时能放完，丙效是1/3。三管同时打开，因甲、乙是进水管，使水增加，丙是放水管，使水减少，那么，三管齐开的工作效率和是1/4＋1/5－1/3，工作时间可求。
解： 1÷(1/4＋1/5－1/3) ＝1÷7/60＝8+4/7 (小时)
答：三管同时打开8+4/7小时能注满水池。
4、一项工程，甲单独干需要20天，乙单独干需要30天，现在由他们两人合干，又知甲在工作途中先请了3天事假，后因公事出差2天。求他们完成这项工程从开工到结束一共花了多少天？
分析：
甲单独干需要20天，甲的工作效率是1/20，乙单独干需要30天，乙的工作效率1/30。又甲工作途中请了3天事假，出差2天，而乙从开工到完工一直在干，那么，甲走5天时，乙是单独干了5天，其余天数是甲乙合干的。即从工程总量中减去乙独干的5天工作量，余下的合干的。合干的天数＋乙单独干的5天＝完成工程共花的天数。
解： ( 1－1/30×5)÷(1/20＋1/30)＋5
＝5/6÷1/12＋5
＝10＋5
＝15 (天)
答：他们完成这项工程一共花了15天。
5、有A、B两项工作，王师傅独做A项工作要9天完成，独做B项工作要12天完成；李师傅独做A项工作要3天完成，独做B项工作要15天完成。如果两人合作完成这两项工作，最少需要多少天？
分析：
独做A项工作天数
工效
独做B项工作天数
工效
王师傅 9 天 1/9 12 天 1/12
李师傅 3 天 1/3 15 天 1/15
如果按两人先共同做完A项工作，再共同去完成B项工作，那么，完成这两项工作的天数是
1÷(1/9＋1/3 )＋1÷(1/12＋1/15 )
＝1÷4/9 ＋1÷9/60
＝（2+1/4）＋（6+2/3）
＝8+11/12(天)
而题目要求最少需要多少天，上面所求天数是最少的吗？否，从分析中我们看到，做A项工作李师傅工效高，做B项工作王师傅工效高。要想时间最少，必须发挥各人的特长，选择最佳分配方法。这就让李师傅单独去做3天完成A项工作，王师傅先单独做B项工作，3天后，待李师傅完成了A项工作，再两人共同做B项工作剩下的部分。
解： ( 1－1/12 ×3 )÷( 1/12 + 1/15 ) + 3
＝3/4 ÷ 9/60 + 3
＝5+3
＝8 (天)
答：完成这两项工作最少需要8天。
最后说下抽屉原则
抽屉原则的常见形式
一，把n+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有两个物体。
二，把mn+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有m+1个物体。
三，把m1+m2+…+mn+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，那么后在一个抽屉里至少放入了m1+1个物体，或在第二个抽屉里至少放入了m2+1个物体，……，或在第n个抽屉里至少放入了mn+1个物体
四，把m个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，有两种情况：①当n|m时（n|m表示n整除m），一定存在一个抽屉中至少放入了m/n物体；②当n不能整除m时，一定存在一个抽屉中至少放入了m/n+1个物体（[x]表示不超过x的最大整数）
五，把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素。
注：背下来上面的几种形式没有必要，但应当清楚这些形式虽然不同，却都表示的一个意思。理解它们的含义最重要。在各种竞赛题中，往往抽屉原则考得不少，但一般不会很明显的让人看出来，构造抽屉才是抽屉原则中最难的东西。一般来说，题目中一旦出现了“总有”“至少有”“总存在”之类的词，就暗示着我们：要构造抽屉了。
试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案 。一群学生参加考试。结果是对于其中任何3人，都有一个题目的答案互不相同。问参加考试的学生最多有多少人？
当参加考试的人数=9时可以实现任何三人都有一个题目的答案互不相同。
假设每题的选择答案是a,b,c
人 1 2 3 4 5 6 7 8 9
题
1 a a a b b b c c c
2 a b c a b c a b c
3 a b c c a b b c a
4 a b c b c a c a b
当参加考试的人数=10时,我们先看第一题，肯定有一个答案的人数小于等于3，
也就是说肯定有7个以上的人，他们第一道题的答案不超过两种。再来看这7个
人和第二道题，肯定有一个答案的人数小于等于2，也就是说肯定有5个以上的人，
他们第二道题的答案不超过两种。也就是说肯定有5个以上的人第一道和第二道
题的答案都不超过两种。再来看这5个人和第三道题，肯定有一个答案的人数小
于等于1，也就是说肯定有4个以上的人，他们第三道题的答案不超过两种。也就
是说肯定有4个以上的人第一道题、第二道题和第三道题的答案都不超过两种。
最后再看这4个人和第四道题，肯定有一个答案的人数小于等于1，也就是说肯定
有3个以上的人，他们第四道题的答案不超过两种。也就是说肯定有3个以上的人
第一道题、第二道题、第三道题和第四道题的答案都不超过两种。这就跟题目的
要求矛盾了。
8个学生角8道题目
⑴若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被这两个学生中的一个解出。
⑵如果每道题只有4个学生解出，那么⑴的结论一般不成立。试构造一个例子说明这点。
若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被这两个学生中的一个解出。
我们可分4种情况讨论一下：
1.假设解题最多的人A解出8道题
这是我们可以选他和任意一个人都能满足题目要求。
2.解题最多的人A解出7道题
A没有解出的那道题至少有五个人解出，我们任选一个和A能满足题目要求。
3.解题最多的人A解出6道题
A没有解出的那两道题每道题有五个人解出，共有10个人次解出，但只有7个人，肯定有一个人全部解出了这两道题。
我们就选他和A能满足题目要求。
4.解题最多的人A解出5道题
也就是说每人都解出了5道题。我们任选一个人设为A,A没有解出的那三道题每道题有五个人解出，共有15个人次解出，
但只有7个人，肯定有一个人解出了三道题。我们就选他和A能满足题目要求。
