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影像有理函数纠正RFM/RPC

 筛子 2011-02-28

RPC (Rational Polynomial Coefficients)模型的实质是有理函数纠正模型(Rational Function Model - RFM) ,是将像点坐标( r, c)表示为以相应地面点空间(X, Y, Z )为自变量的多项式的比值:

如果直接用影像相关的算法，求出各个像素的同名点，再计算视差，计算量非常大，一般是先生成核线影像，把二维的相关问题变成一维的相关问题。核线在像片上是互不平行的，他们交于核点，如果将像片上的核线投影到一对相对水平的像片--平行于基线的像片对，则核线互相平行。根据这一原理，在水平像片上建立规则格网，它的行就是核线。把前面提取的同名点和输入的控制点代入共线投影方程式：
连接点的提取一般先自动提取，再手工交互编辑。连接点的自动提取采用基于灰度的影像相关的
办法。本文采用的是相关系数法。在3N 影像上取一个的边长为奇数的窗口，取一个同样大小的窗口作模板在3B 影像上以一定的步长移动窗口，求取两个窗口的相关系数，取相关系数最大值对应的窗口的中心像素为3N 影像上窗口中心像素的对应点，以一定的步长在3N 影像上移动窗口求取各中心点的对应点，以相关系数最大的前若干个点作为对应的同名点。同名点的数目不能少于9 个，25 个以上最好。因为不需要找出每一个像素的同名点，窗口可以取得大一些，移动的步长也可以是若干个像素。自动提取以后再进行人工编辑，剔出错误的连接点，如果点数太少，人工的选取一些连接点，保证连接点分布均匀。提取完连接点，再读入控制点。

基于RPC参数的几何模型求解

从三维模型到二维图象是投影运算，从二维图象获得三位信息是什么运算呢？近年来，人们试图通过有理多项式建立一类通用的模型来解决从二维图象恢复三维信息的问题，称为有理多项式函数模型(Rational Function Model, RFM)，其参数(Rational Polynomial Coefficient, RPC)的求解、基于RFM的三维空间坐标解算、扫描影像核线几何关系和近似核线影像生成、高精度DEM提取以及DOM制作等是研究的主要内容。

张永军张剑清丁亚洲

6.1  RPC参数的解求

6.2  基于RPC参数的三维空间坐标解算

6.3  基于RPC参数的近似核线影像生成

6.4  高精度DEM生成及DOM制作

6.5  小结


卫星遥感影像几何定位模型

卫星遥感影像在成像过程 中由于受到诸多复杂因素的影响，使各像点产生了不同程度的几何变形。建立遥感影像几何定位模型可以正确地描述每一个像点坐标与其对应地面点物方坐标间的严 格几何关系，以便对原始影像进行高精度的几何纠正及对地目标定位，从而实现由二维影像反演实地表面的平面或空间位置，以满足各种遥感应用的需求。

袁修孝余俊鹏

5.1   卫星遥感影像几何定位模型综述

5.2   严密几何定位模型

5.3   仿射变换几何模型

5.4   有理多项式函数模型

5.5   小结

 

1)  rational Polynomial
有理多项式
1.In this paper,an algorithm for linear programming basis iteration with continuous variable parameters is discussed,and the problem in expression in computerization of the rational polynomials appeared in the computing process is discussed.
本文讨论了线性规划基迭代中含连续可变参数的计算方法和对计算中出现的有理多项式在计算机上处理的表达方式问题。
2)  rational polynomial technique(RPT)
有理多项式法
3)  rational polynomial technique
有理多项式技术
1.Application of rational polynomial technique to reliability analysis of engineering structure;
有理多项式技术在工程结构可靠度分析中的应用
2.Application of rational polynomial technique in the analysis of slope reliability;
有理多项式技术在土坡可靠性分析中的应用
4)  RPC
有理多项式（RPC）
5)  rational polynomial coefficients
有理多项式系数
 

 

 

GeoEye-1卫星数据FAQs

1. 为什么宣传资料上写的GeoEye-1分辨率是0.41/1.65米，而用户收到的数据却是0.5/2米？

GeoEye-1全色影像星下点分辨率0.41m，侧视25°分辨率为0.49m。受美国出口限制，提供给美国以外客户的产品地面采样间隔重采样为0.5m。

2. 做正射影像处理的时候是否一定要用到RPC？

有理多项式模型代替相机模型，用以拟合内外方位元素，这个多项式的系数就是RPC(Rational Polynomial Coefficient)，不同的RPC用来拟合不同的瞬时像机姿态。RPC随影像而不同。无RPC的影像无法用于测绘。

3. 能否解释一下GeoEye系列的星座模式?

GeoEye-1和IKONOS相位轨道，可以实现每天重访。GeoEye-1、前期的IKONOS卫星及计划中的GeoEye-2卫星将构成星座模式，向全球用户提供高分影像服务。

4. GeoEye-1的无控定位精度是多少？

单片产品无控定位精度CE90：5m。立体产品无控定位精度CE90：4m，LE90：6米。

5. GeoEye-1和IKONOS的成图比例尺可以达到多少？

 

成图比例尺

 

GeoEye-1

IKONOS

单片产品

1：2500-1：5000

1：5000-1：10000

立体产品

1：5000-1：10000

1：10000

6. GeoEye-1每景的面积是多少？

GeoEye-1卫星单景覆盖15.2x15.2=231Km2，条带覆盖15.2x100=1520 Km2。

7. Geo与GeoProfessional产品的区别?

Geo是经过辐射校正的预正射产品，为用户提供RPC，用户可以进行区域网平差、正射纠正以及其它摄影测量处理。GeoProfessional是经过精确地形校正的正射产品，可以进行影像拼接与调色、特征提取、变化监测、基础制图等应用。

8. GeoEye-1的立体产品有哪些优势?

GeoStereo立体产品为同一轨道影像提供立体像对，具有高分辨率和彩色两大特点，可用于高精度DEM提取、3D地物要素提取、地貌可视化等等

 

 

 

ENVI4.5目前支持的正射校正包括两种模型：严格轨道模型（Pushbroom Sensor）和RPC有理多项式系数（Rational Polynomial Coefficient），如表1所示。

 

 

ENVI4.5中的正射校正说明

在 ENVI 中能对绝大多数的高分辨率影像通过严格物理模型进行正射校正。 1 、概述 ENVI4.5 目前支持的正射校正包括两种模型：严格轨道模型（ Pushbroom Sensor ）和 RPC 有理多项式系数（ Rational Polynomial Coefficient ），如表 1 所示。包括 ALOS/PRISM

在ENVI中能对绝大多数的高分辨率影像通过严格物理模型进行正射校正。

1、概述

ENVI4.5目前支持 的正射校正包括两种模型：严格轨道模型（Pushbroom Sensor）和RPC有理多项式系数（Rational Polynomial Coefficient），如表1所示。包括ALOS/PRISM、ASTER、IKONOS、OrbView-3、QuickBird、 SPOT1-5、CARTOSAT-1（P5）、FORMOSAT-2、worldview-1校正模型,即将推出的ENVI4.6还将增加 GeoEye-1、RADARSAT-2、KOMPSAT-2、TerraSAR-X传感器模型。

传感器


  模型


  文件


 
ALOS/PRISM
  RPC
  RPC文件
 
ASTER
  RPC
  RPC文件
 
CARTOSAT-1(P5)
  RPC
  RPC文件
 
FORMOSAT-2
  Pushbroom Sensor
  星历参数文件(METADATA.DIM)
 
IKONOS
  RPC
  RPC文件（_rpc.txt）
 
OrbView-3
  RPC
  RPC文件(_metadata.pvl)
 
QuickBird
  RPC
  RPC文件(.rpb)
 
WorldView-1
  RPC
  RPC文件(.rpb)
 
SPOT5 Level 1A and 1B
  Pushbroom Sensor
  星历参数文件(METADATA.DIM)


 
表 1 传感器模型 ENVI 还具有根据星历表参数建立 RPC 文件来正射校正数据的功能（ Map-Build RPCs ）。也可以根据地面控制点（ GCP ）或者外方位元素（ XS, YS, ZS, Omega, Phi, and Kappa ）建立 RPC 文件，校正一

表1传感器模型


    ENVI还具有根据星历表参数建立RPC文件来正射校正数据的功能（Map->Build RPCs）。也可以根据地面控制点（GCP）或者外方位元素（XS, YS, ZS, Omega, Phi, and Kappa）建立RPC文件，校正一般的推扫式卫星传感器、框幅式航空相片和数码航空相片。如图1为生成RPC文件面板。当获得的卫星数据提供的是轨道参数，诸如ALOS PRISM and AVINIR, ASTER, CARTOSAT-1,, IKONOS, IRS-C, MOMS, QuickBird, WorldView-1，也可以利用这个功能来生成RPC文件做正射校正。


 

 

 

图1生成RPC文件面板

 

2、正射校正简单操作说明

第一步、打开显示数据

   在主界面中，选择File-> Open External File，选择对应的传感器类型和文件格式。这里需要注意，当对SPOT5数据做正射校正时，数据格式要选择DIMAP格式。 QuickBird和WorldView-1数据很多时候提供的是Tile形式的数据，这个时候可以选择Mosiic Tiled QuickBird Product。如果需要从影像或者矢量数据中选择控制点，还需要一并将参考数据源打开。


 

 

图2 打开数据文件

 

第二步、选择传感器校正模型

在主菜单中，选择 Map-> Orthorectification，选择对应的传感器模型。这里有两种正射校正方式供选择，一是只利用数据自带星历参数而无地面控制点方式，二是利用 地面控制点增加校正精度的方式。如果选择第一种方式，直接可以跳到第四步。如果选择第二种方式，在选择完正射校正的数据文件之后，进入第三步。


选择校正模型第三步、选择控制点 ENVI 提供选择控制点的方式很灵活，有三种方式供选择，默认的为键盘输入参考点，如图 4 所示。这种方式是在有基础测绘控制点或者野外实地测量条件下采用。 图 4 键盘输入地面控制

选择校正模型


第三步、选择控制点

   ENVI提供选择控制点的方式很灵活，有三种方式供选择，默认的为键盘输入参考点，如图4所示。这种方式是在有基础测绘控制点或者野外实地测量条件下采用。


 

 

图4 键盘输入地面控制点


第二种方式是从影像上或者控制点，即在覆盖同一地区的标准影像上选择同名点。在选择3个点以上时，ENVI提供了预测点功能和自动寻找同名点的功能。如图5所示，利用自动寻找同名点的功能效率高，点的分布也很均匀。

 

 

图5参考影像上选择控制点


第三种方法是从矢量数据中获得控制点，如图6所示。

 

 

图6矢量数据上获取控制点


由于有了RPC或者严格的轨道模型，

 

第四步、输出结果

    在Ground Control Points Selection工具面板中，选择Options->Orthorectify File 输出校正结果。

 

    在输入结果的参数设置面板中，需要选择采样方法，DEM数据，投影参数，像元大小，输出文件。其中在DEM一栏中，有一个参数Geoid offset需要说明一下，DEM的高程值是绝对高程（地面点到大地水准面的距离），用于正射校正的RPC高程是位势高度geopotential height)，这种高度之间相差不大，填写这个参数可以提高一定的正射校正精度。

 

 

 

图7 输出正射校正结果参数设置面板


3、总结


ENVI 的正射校正功能具有操作简单、灵活和支持的传感器多等特点。 在校正精度方面，由于使用是严格轨道模型和 RPC 参数，从校正算法上和理论上讲，精度是很高的。但是，影响校正精度的因素很多，比如控制点（ GPCs

ENVI的正射校正功能具有操作简单、灵活和支持的传感器多等特点。


    在校正精度方面，由于使用是严格轨道模型和RPC参数，从校正算法上和理论上讲，精度是很高的。但是，影响校正精度的因素很多，比如控制点（GPCs）的精度，控制点分布情况以及DEM的精度。要想给精度一个定量的评价，是比较困难的

 


http://wenku.baidu.com/view/4e0f2d28915f804d2b16c1cb.html

 

 

 

 

有理函数

　　有理函数就是通过多项式的加减乘除得到的函数。一个有理函数h可以写成如下形式：h=f/g, 这里f和g都是多项式函数。有理函数是特殊的亚纯函数， 它的零点和极点个数有限。 　　有理函数全体构成所谓的有理函数域。
 
 

亚纯函数

　　亚纯函数（meromorphic function）是在区域D上有定义，且除去极点之外处处解析的函数。

　　比如有理函数就是在扩充复平面上的亚纯函数，它是两个多项式的商而Q（z）的零点是R（z）的极点，即R（z）有有限多个极点，∞点是R（z）的极点或可去奇点。复平面上不是有理函数的亚纯函数称为超越亚纯函数。 　　例如ctg( z)就是超越亚纯函数，它以kπ为全部极点，超越亚纯函数一定有无限多个极点。有理函数可以分为部分分式，即其中｛ak｝是R( z )的全部极点，Pk( u )是多项式 ， 当∞点是l0阶极点时，P0(z)是l0阶多项式 。

扩展知识

　　复平面上的超越亚纯函数也有一个部分分式分解定理， f(z)是以｛ak｝为极点集的超越亚纯函数，设f(z)在极点ak处罗朗展式的主部为，Pk(u)是一个多项式，于是f(z)可表作：中g(z)是整函数 ，hk(z)是适当选取的多项式。对于超越亚纯函数有一个类似毕卡定理的结果：f(z)是超越亚纯函数，则最多除去两个例外值外，对所有其他值W， f(z)－W一定有无穷多个零点。 　　在复分析中，一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点。这样的函数有时称为正则函数或者在D上正则。 　　每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比（其分母不恒为0）：极点也就是分母的零点。 　　Image:Gamma abs.png 　　Γ函数在整个复平面上亚纯直观的讲，一个亚纯函数是两个性质很好的（全纯）函数的比。这样的函数本身性质也很“好”，除了分式的分母为零的点，那时函数的值为无穷。 　　从代数的观点来看，如果D是一个连通集，则亚纯函数的集合是全纯函数的整域的分式域。
扩展阅读：
  • 阿尔福斯《复变函数论》
 

http://wenku.baidu.com/view/73b51a67f5335a8102d2209e.html

 

 

有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即：

<有理函数R(x)的积分>

n＜m时，称为真分式

n≥m时，称为假分式

利用多项式除法，总能将一个假分式化成一个多项式和一个真分式之和的形式。

真分式又可以化为部分分式之和。

即：P（x）/Q（x）=（多项式）+（有理真分式）=（多项式）+（部分分式之和）

 

<多项式除法>

例1：

<有理函数R(x)的积分>

例2：

<有理函数R(x)的积分>

 

求有理函数R（x）的积分：

∫R(x)dx=多项式积分 + 部分分式积分之和

多项式积分不解释了。

本篇关键在如何求部分分式的积分：

总共四类：

<有理函数R(x)的积分>

 

 

下面分别来求：

①

<有理函数R(x)的积分>

②

<有理函数R(x)的积分>

③

二次质因式，即在实数范围内不能分解因式的二次多项式。

<有理函数R(x)的积分>

④

<有理函数R(x)的积分>

 

有理系数多项式

　

设 $ p=. 类似与前节的讨论,我们现在来看以下多项式在有理数域上的因式分解问题. 情况较实数域,复数域要复杂.

 

定义 1   有理系数多项式,整数多项式, 本原多项式

 

 

引理 3   有理系数多项式,整数多项式, 本原多项式的相互关系
1) $ f(x)=
2) $ g(x)=

 

 

引理 4   两个本原多项式之积也是本原的 $ f(x)g(x)=

 

一般的结论是：

 

定理 1   每个次数$ \geq 1$的整系数多项式都能分解成次数较低的有理系数多项式之积,则它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式之积.

 

证明： 设 $ f(x)=,其中$ g(x),h(x)$是有理多项式.令:

 

$\displaystyle f(x)=

 

其中为本原多项式.此时必有 .故 .

这个结论无助于判断有理系数多项式是否可约？如何分解？这两个问题得的解决. 但是,对一些特殊的情况,还是有一些相应的方法来处理的.

1.有理根的判断

 

定理 2   设 $ f(x)=是一个 整系数多项式,而$ r/s$是它的一个 有理根,$ r,s$ 互素, 那么 必有 $ s\vert a_n,r\vert a_0$.

 

2.Eisenstein判别法解决了另外一类情况；

 

定理 3   设 $ f(x)=是一个整系数多项式.如果有一个素数$ p$,使得
1. $ p\nmid a_n$;
2. $ p\vert a_{n-1},a_{n-2},\cdots,a_0;$
3. $ p^2\nmid a_0$
那么,$ f(x)$在有理数域上不可约.

 

证明：如果$ f(x)$在有理数域上可约,那么必有 两个整系数多项式 $ g(x)=, $ h(x)=,使得

 

$\displaystyle f(x)=

 

因此

 

$\displaystyle a_n=

 

由已知$ p\vert a_0$且 $ p^2\nmid a_0$,则 $ p\vert b_0,p\nmid c_0$ 或者 $ p\nmid b_0,p\vert c_0$.不妨设 $ p\vert b_0,p\nmid c_0$.因为 $ p\nmid a_n$,也就是 $ p\nmid b_l$,因此必存在一个 正整数$ k$,使得

 

$\displaystyle p\vert b_0,p\vert b_1,\cdots,p\vert a_{k-1},p\nmid a_k $

 

比较$ f(x)$ 与$ g(x)h(x)$的$ x^k$的系数,可得

 

$\displaystyle a_k=

 

可推出$ p\vert b_0c_k$,因为$ p$是素数,则$ p\vert c_0$,产生矛盾.同理可证, $ p\nmid b_0,p\vert c_0$也不成立. 故原命题错误.

 

二次型与矩阵

 

定义 1   一个系数在数域里的二次齐次多项式

 

$\displaystyle f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=

 

称为的元二次型.

 

二次型可以用矩阵乘积来表示,而且方式不唯一.

 

例子 1  

 

$\displaystyle x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=

 

 

为研究方便,需给出二次型的唯一表示

 

定义 2   设 $ f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$为定义1所给出的二次型,则使得

 

$\displaystyle f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=

 

且$ a$是对称矩阵,则称它是二次型的矩阵(表示)

 

由这个定义给出的二次型的矩阵表示是唯一的

 

性质 1   二次型的矩阵是唯一的,也是对称的.

 

为了判断二次型的类型,我们需要非退化的线性替换的概念

 

定义 3   关系式

 

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} &x_1=

 

称为由变量到的一个线性替换,如果系数矩阵的行列式不为零,则称为非退化的线性替换.

 

非退化的线性替换的一个性质是：将二次型变为二次型.

 

性质 2  

 

$\displaystyle f(x)=

 

则 $ f(cy)=也是关于$ y$的二次型.

 

此时我们看到前后两个二次型所对应的矩阵也有了变化.

 

定义 4   两个$ n$阶矩阵$ a,b$称为合同的,如果有可逆的矩阵$ c$使得

 

$\displaystyle b=

 

 

合同关系是矩阵理论的第二个等价关系.

至此问题便可归结为

 

http://jpkcdx./ec2006/C34/Course/Content/N41/node37.html

 

 

 

有理域上的多项式

 

上节中我们看到，复数域上只有一次式是质式，实数域上只有一次式和一部分二次式是质式。本节将说明，和上述两个数域不同，有理域R0上有任意高次的质式，此外，我们附带讨论求有理根的问题。

设ƒ（х）是任意有理系数多项式，以适当的非0整数C来乘，可使cƒ（х）成为整系数多项式。因此，任意有理系数多项式和一个整系数多项式相通。

定义7.4.1   设

     ƒ（х）= a0хn+a1хn-1+…+an

是一个整系数多项式，若系数a0，a1，…，an互质，即若这些系数除±1外无公因数，则称ƒ（х）是一个本原多项式。

设ƒ（х）是一个整系数多项式，其系数之最高公因为d，由系数中提出此最高公因d，ƒ（х）可以写成dg（х）的形式。g（х）显然是一个本原多项式，由此可见，任意有理系数多项式和一个本原多项式相通。

动画演示

定理7.4.1  设p是一个质数，

          ƒ（х）= a0хn+a1хn-1+…+an

g（х） = b0хm+b1хm-1+…+bm

是两整系数多项式。若 p整除ƒ（х）g（х）的所有系数，则p或整除ƒ（х）的所有系数或整除g（х）的所有系数。

证明： 假定p不整除ƒ（х）的所有系数也不整除g（х）的所有系数。从后往前看ƒ（х）和g（х），设ai ，bj是ƒ（х），g（x）的系数中第一个不为p整除者。于是，

             p不整除ai，p∣ai+1，…，p∣an         （1）

                 p不整除bj，p∣bj+1，…，p∣bm        （2）

ƒ（χ）g（χ）中χn-i+m-j的系数是

aibj + ai+1bj-1 + ai+2bj-2 + … +

+ ai-1bj+1 + ai-2bj+2 + …

此式中，除aibj外，其余各项由（1）及（2）都为p整除，而由p不整除ai，p不整除bj，有p不整除aibj，故p不整除хn-i+m-j的系数，与题设p整除ƒ（х）g（х）的所有系数矛盾。                  

定理7.4.2  设ƒ（х）是本原多项式，g（х）是整系数多项式。若ƒ（х）∣g（х），则以ƒ（х）除g（х）所得之商式必是整系数多项式。

证明：由ƒ（х）∣g（х）知，有

             g（х） = ƒ（х）h（х）                 （3）

不论h（х）是否为整系数多项式，我们总可以取一个正整数c使k（х）=ch（х）是整系数多项式，由（3）有

cg（х） = ƒ（х）k（х）                （4）

此式表示以c乘g（х）的所有系数就是ƒ（х）k（х）的所有系数，从而c整除ƒ（х）k（х）的所有系数。设

c = p1p2…pr

是c的质因数分解式。因为p1∣c，故p1整除ƒ（х）k（х）的所有系数，但ƒ（х）是本原多项式，故由定理7.4.1，p1整除k（х）的所有系数，从而k（х） = p1k1（х），其中k1（х）是整系数多项式。由（4）有

c1g（х） = ƒ（х）k1（х）           （5）

其中c1 = p2…pr，仿上有k1（х）=p2k2（х），其中k2（х）是整系数多项式。由（5）有

 c2g（х）=ƒ（х）k2（х）

其中c2=p3…pr。这样，（4）左边c的质因数可以一一消去，最后得

        g（х）=ƒ（х）kr（х）             （6）

其中kr（х）是整系数多项式。但由（3）及（6）有h（х）=kr（х），故h（х）是整系数多项式。

 

http://trp./software/net/lssx/7/7.9.htm

 

 

 

 

 

多项式

若干个单项式的和组成的式子叫做多项式（减法中有：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。

数学术语
  多项式
多项式 polynomial 不含字母的项叫做常数项。如一式中：最高项的次数为5，此式有3个单项式组成，则称其为：五次三项式。　　比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算 多项式。按这个定义，多项式就是整式。实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起的定理：0作为多项式时，次数为负无穷大。
多项式的加法
有限个单项式之和称为多元多项式,简称多项式。不同类的单项式之和表示的多项式，其中系数不为零的单项式的最高次数，称为此多项式的次数。　　多项式 的加法,是指多项式的同类项的系数相加(即合并同类项)。多项式的乘法,是指把一个多项式中的每个单项式与另一个多项式中的每个单项式相乘之后相加，且合 并同类项。　　F上x1，x2，…，xn的多项式全体所成的集合F【x1,x2，…,xn】，对于多项式的加法和乘法成为一个环，是具有单位元素的整环。 域上的多元多项式也有因式分解惟一性定理。
多项式函数及多项式的根
给出多项式 f∈R[x1,...,xn] 以及一个 R-代数 A。对 (a1...an)∈An，我们把 f 中的 xj 都换成 aj，得出一个 A 中的元素，记作 f(a1...an)。如此， f 可看作一个由 An 到 A 的函数。 　　若然 f(a1...an)=0，则 (a1...an) 称作 f 的根或零点。 　　例如 f=x^2+1。若然考虑 x 是实数、复数、或矩阵，则 f 会无根、有两个根、及有无限个根！ 　　例如 f=x-y。若然考虑 x 是实数或复数，则 f 的零点集是所有 (x,x) 的集合，是一个代数曲线。事实上所有代数曲线由此而来。 　　另外，若所有系数为实数多项式 P(x)有复数根Z，则Z的共轨复数也是根。 　　若P（x）有n个重叠的根，则 P‘(x) 有n-1个重叠根。即若 P(x)=(x-a)^nQ(x)，则有 a 是 P’(x)的重叠根且有n-1个。
代数基本定理
代数基本定理是指所有一元 n 次（复数）多项式都有 n 个（复数）根。
多项式的几何特性
多项式是简单的连续函数，它是平滑的，它的微分也必定是多项式。　　泰勒多项式的精神便在于以多项式逼近一个平滑函数，此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限。
任意环上的多项式
多项式可以推广到系数在任意一个环的情形，请参阅条目多项式环。
带余除法
若 ƒ(x)和g(x)是F【x】中的两个多项式，且 g(x)≠0，则在F【x】中有多项式 q(x)和r(x)，满足ƒ(x)=q(x)g(x)+r(x),其中r(x)的次数小于g(x)的次数,且只有一对q(x)和r(x)满足这些条件。此 时q(x) 称为g(x)除ƒ(x)的商式,r(x)称为余式。当g(x)=x-α时，则r(x)=ƒ(α)称为余元，式中的α是F的元素。此时带余除法具有形式 ƒ(x)=q(x)(x-α)+ƒ(α),称为余元定理。g(x)是ƒ(x)的因式的充分必要条件是g(x)除ƒ(x)所得余式等于零。如果g(x)是 ƒ(x)的因式，那么也称g(x) 能整除ƒ(x),或ƒ(x)能被g(x)整除。特别地,x-α是ƒ(x)的因式的充分必要条件是ƒ(α)=0，这时称α是ƒ(x)的一个根。　　如果 d(x)既是ƒ(x)的因式，又是g(x)的因式,那么称d(x)是ƒ(x)与g(x)的一个公因式。如果d(x)是ƒ(x)与g(x)的一个公因式,并 且ƒ(x)与g(x)的任一个因式都是d(x)的因式,那么称d(x)是ƒ(x)与g(x)的一个最大公因式。如果ƒ(x)=0,那么g(x)就是 ƒ(x)与g(x)的一个最大公因式。当ƒ(x)与g(x)全不为零时，可以应用辗转相除法来求它们的最大公因式。
辗转相除法
已知 F【x】中两个不等于零的多项式ƒ(x)与g(x)，用g(x)除ƒ(x)得商式q1(x)、余式r1(x)。若r1(x)=0，则g(x)就是ƒ(x) 与g(x)的一个最大公因式。若 r1(x)≠0，则用 r1(x)除 g(x)得商式q2(x)、余式r2(x)。若r2(x)=0,则r1就是ƒ(x)与g(x)的一个最大公因式。否则,如此辗转相除下去,余式的次数不断 降低,经有限s次之后，必有余式为零。　　利用辗转相除法的算法，可将ƒ(x)与g(x)的最大公因式rs(x)表成ƒ(x)和g(x)的组合,而组合的 系数是F上的多项式。　　如果ƒ(x)与g(x)的最大公因式是零次多项式，那么称ƒ(x)与g(x)是互素的。最大公因式和互素概念都可以推广到几个多 项式的情形。　　如果F【x】中的一个次数不小于1的多项式ƒ(x),不能表成 F【x】中的两个次数较低的多项式的乘积，那么称ƒ(x)是F上的一个不可约多项式。 任一多项式都可分解为不可约多项式的乘积。
惟一分解定理
F【x】中任一个次数不小于 1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积,而且除去因式的次序以及常数因子外，分解的方法是惟一的。　　当F是复数域C时，根据代数基本定理，可 证C【x】中不可约多项式都是一次的。因此，每个复系数多项式都可分解成一次因式的连乘积。　　当F是实数域R时，由于实系数多项式的虚根是成对出现的， 即虚根的共轭数仍是根，因此R【x】中不可约多项式是一次的或二次的。所以每个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式的乘积。实系数二次 多项式αx2+bx+с不可约的充分必要条件是其判别式b2-4αс<0。　　当F是有理数域Q时，情况复杂得多。要判断一个有理系数多项式是否不 可约，就较困难。应用本原多项式理论，可把有理系数多项式的分解问题化为整系数多项式的分解问题。一个整系数多项式如其系数是互素的,则称之为本原多项 式。每个有理系数多项式都可表成一个有理数及一个本原多项式的乘积。关于本原多项式有下述重要性质。
高斯引理
两个本原多项式的乘积是本原多项式。　　应用高斯引理可证，如果一个整系数多项式可以分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解 为两个整系数多项式的乘积。这个结论可用来判断有理系数多项式的不可约性。关于Q【x】中多项式的不可约性的判断，还有艾森斯坦判别法：对于整系数多项 式,如果有一个素数p能整除αn-1,αn-2,…,α1,α0，但不能整除αn,且p2不能整除常数项α0,那么ƒ(x)在Q上是不可约的。由此可知， 对于任一自然数n,在有理数域上xn-2是不可约的。因而，对任一自然数n，都有n次不可约的有理系数多项式。
插值多项式
在实际问题中，往往通过实验或观测得出表示某种规律的数量关系y＝F(x)，通常只给出了F(x)在某些点xi上的函数值 yi=F(xi),j=1，2，…,n+1。即使有时给出了函数F(x)的解析表达式，倘若较为复杂，也不便于计算。因此，需要根据给定点 xi 上的函数值F(xi),求出一个既能反映F(x)的特性,又便于计算的简单函数ƒ(x)来近似地代替F(x),此时ƒ(x)称为F(x)的插值函 数；x1,x2,…,xn+1,称为插值节点。求插值函数的方法，称为插值法。　　多项式是一类简单的初等函数，而且任给两组 数：b1,b2,…,bn+1和各不相同的 с1,с2,…,сn+1,总有惟一的次数不超过n的多项式ƒ(x)满足ƒ(сi)=bi，i=1，2，…,n+1。因此在实际应用中常常取多项式作为插 值函数。作为插值函数的多项式，称为插值多项式。插值多项式在计算数学插值中最常用。

 

http://baike.baidu.com/view/613580.htm

 

 

 

 

有理系数多项式

作 为因式分解定理的一个特殊情形，有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何一个给定的多项式，要具体地作出它 的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这一节主要 是指出有理系数多项式的两个重要事实：第一，有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整（数）系数多项式的因式分解问题，并进而解决求有理系数多项式 的有理根的问题.第二，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式.

一、有理系数多项式的有理根

设

 

是一个有理系数多项式.选取适当的整数乘，总可以使 是一个整系数多项式.如果 的各项系数有公因子，就可以提出来，得到

,

也就是

 

其中是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的公因子.

如果一个非零的整系数多项式的系数没有异于±1的公因子,也就是说它们是互素的,它就称为一个本原多项式.上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多项式都可以表示成一个有理数与一个本原多项式 的乘积，即

.

可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的.亦即，如果

,

其中都是本原多项式，那么必有

 

因为 与只差一个常数倍，所以的因式分解问题，可以归结为本原多项式的因式分解问题.下面进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的.

定理10(Gauss 引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.

定理11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积.

以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题.

推论 设 ， 是整系数多项式，且 是本原多项式，如果，其中是有理系数多项式，那么 一定是整系数多项式.

这个推论提供了一个求整系数多项式的全部有理根的方法.

定理12 设

 

是一个整系数多项式.而是它的一个有理根,其中互素,那么

(1) ;特别如果 的首项系数，那么的有理根都是整根，而且是 的因子.

(2)

其中是一个整系数多项式.

给了一个整系数多项式 ,设它的最高次项系数的因数是 ,常数项的因数是 那么根据定理12,欲求的有理根,只需对有限个有理数用综合除法来进行试验.

当有理数的个数很多时,对它们逐个进行试验还是比较麻烦的.下面的讨论能够简化计算.

首先,1和-1永远在有理数 中出现,而计算与并不困难.另一方面,若有理数 是 的根,那么由定理12,

 

而也是一个整系数多项式.因此商

 

都应该是整数.这样只需对那些使商都是整数的来进行试验.(我们可以假定 与 都不等于零.否则可以用 或 除 而考虑所得的商.)

例1 求多项式

 

的有理根.

例2 证明

 

在有理数域上不可约.

二、有理数域上多项式的可约性

定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设

 

是一个整系数多项式.若有一个素数 ,使得

1. ;

2. ;

3. .

则多项式在有理数域上不可约.

由艾森斯坦判断法得到:

有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如 .,其中 是任意正整数.

艾森斯坦判别法的条件只是一个充分条件.

有时对于某一个多项式 ,艾森斯坦判断法不能直接应用,但把 适当变形后,就可以应用这个判断法.

例3 设 是一个素数,多项式

 

叫做一个分圆多项式,证明在中不可约.

证明：令 ，则由于

,

,

令 ，于是

,

由艾森斯坦判断法，在有理数域上不可约，也在有理数域上不可约.

 

 

 

 

有理系数多项式

 

 

教学目的和要求  1 理解本原多项式的概念，会将有理系数多项式化为本原多项式。知道有理系数多项式的因式分解问题可以转化成整系数多项式问题来解决的原理。

                2 掌握高斯定理的内容，了解它的证明方法。

                3 理解整系数多项式只要在有理数域上可约，就一定能分解成整系数多项式的乘积；会用此结论来推出有理根与首项和常数项之间的关系，并会用这种关系来找有理根。

                4 熟练运用Eisenstein判别法来判定整系数多项式在有理数域上不可约的条件；知道在有理数域上存在任意次数的不可约多项式的原理。

重          点  1有理系数多项式的因式分解问题可以转化成整系数多项式问题来解决1 理解整系数多项式只要在有理数域上可约，就一定能分解成整系数多项式的乘积；会用此结论来推出有理根与首项和常数项之间的关系，并会用这种关系来找有理根。

                2 整系数多项式的有理根的求法。

3 用Eisenstein判别法判定整系数多项式在有理数域上不可约。

 

难          点  Eisenstein判别法的证明和应用。

教  学  过  程 

 

关于有理系数多项式因式分解的主要结论有两个：

  有理系数多项式的因式分解问题可以转化成整系数多项式的问题来解决；

  在有理数域上存在任意次数的不可约多项式。

本原多项式定义  各项系数没有大于1的公因子（即它们互素）的整系数多项式称为本原多项式。

注意本原多项式一定不为零。

设是一个不为零的有理系数多项式，先将的各项系数的公分母提出来，再将各项系数的大于1的最大公因子（如果有的话）提出来就得到 ，其中是一个不为零的有理数，是本原多项式。

例如 .

结论1 每个不为零的有理系数多项式都可以表为一个有理数与一个本原多项式的乘积；这种表示法除了一个符号外是唯一的。

证明  只证唯一性，设 ，其中 都是不为零的有理数， 与 都是本原多项式。我们说 ，即 ，从而 ,唯一性得证。否则，不妨设，则是真分数，可令

，其中为互素的整数，，

比较 两边同次项的系数知，的各项系数能被整除。这与 是本原多项式矛盾。▎

定理10 （高斯（Gauss）引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式。

证明  设和
都是本原多项式，

.

如果不是本原的，那么存在一个素数能够整除它的各项系数，因为 都是本原的，所以 不能整除它们的各项系数，设 分别是的按下标从小到大第一个不能被 整除的系数，则 ， .

另一方面，由

  ，

即   
知， （因为它整除右边各项），从而 或 ，导致矛盾。▎

定理11 如果一个非零整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式 与的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。

    证明  设 ，其中 是整数， 都是非零有理数， 都是本原多项式，于是 ，由定理11和定理1得，所以和 都是整系数多项式，且

， .故定理得证。▎

例如， .

用定理11的证明方法容易证明下面的

推论 如果整系数多项式可以表为一个本原多项式与一个有理系数多项式 的乘积，那么 一定是整系数的。▎

定理12 设 是整系数多项式的一个有理根，与 互素，则 .特别地，当 时， 的有理根都是整数根，而且是 的因子。

证明  因为 是 的根，所以 ，从而 .又因为 与 互素，所以 是本原多项式，由定理11的推论得

，其中 都是整数。

比较两边的系数得： .故 . ▎

例1 求 的有理根。

解 首项系数 的因子有 ，常数项的因子有，用常数项的因子做分子，首项系数的因子做分母的有理数有： ，根据定理12， 的有理根只能从这几个数中产生，经检验是的有理根。

例2 证明，多项式在有理数域上不可约。

证明如果在有理数域上可约，那么它至少有一个一次因式，从而至少有一个有理根。由定理12， 的有理根只可能是 或 ，但经检验知 都不是的根。故在 上不可约。

注艾氏判别法是判定整系数多项式在有理数域上不可约的充分条件，但不是必要条件。也就是说，当整系数多项式在有理数域上不可约时，不一定能找到素数使艾氏判别法的条件成立。

定理13（艾森斯坦因（Eisenstein）判别法）设


是一个整系数多项式，如果能够找到一个素数能够整除首项系数以外的各项系数，但它的平方不能整除零次项系数（即常数项），那么在有理数域上不可约。

    注：艾森斯坦因判别法简称艾氏判别法。它是判定整系数多项式在有理数域上不可约的充分条件，但不是必要条件。例如，在有理数域上不可约，但找不到素数使艾氏判别法的条件成立。

证明设在有理数域上可约，由定理11得

 （1）

其中， 都是整数， ， ， .比较（1）式两边同次项的系数得

,

因为 ,所以 或 .但因 不能整除，所以不能同时整除 和 ,不妨设 只能整除 .由 不能同时整除 知它不能整除 ，设 是 中第一个不能被 整除的系数，由 及知，从而

或 .导致矛盾。▎

 

例3 证明下列结论：

1）对于任何正整数，多项式在有理数域上不可约；

2）当 时，是无理数。

证明  1）素数 满足艾氏判别法的条件，所以 在有理数域上不可约。

2）显然是的一个根，如果它还是一个有理数，那么这个根就是有理根，因此当时，可以在有理数域上分解出一个一次因式来，这与1）的结论相矛盾。

本例说明，在有理数域上存在任意次数的不可约多项式，因此有理系数多项式的因式分解问题远比复或实系数多项式的因式分解问题来得复杂。

例4 （当定理使用）设是整系数多项式，试找出 和 是 的根的充要条件。

解  因为

                  ，

    .

所以，是的根的充要条件是它的各项系数之和等于零。 是 的根的充要条件是它的奇次项系数的和等于偶次项系数的和。

习题选解

26 分别在复数范围内和实数范围内将因式分解。

解 多项式的个复数根为：

                 ，

其中 ， .

在复数范围内： .

下面在实数范围内对作因式分解：

因为的个根落在复平面内以原点为中心的单位圆上，且平分单位圆，而此单位上只有与实轴相交的两个点对应的复数是实数，所以的复数根中至多有两个是实数。

若为奇数，因为是实数根，所以由虚根成对定理知， 的其余 个根均为虚根，其中 落在上半圆周上，剩下的个虚根落在下半圆周上，它们是的共轭数。所以

   
        .

若 是偶数,则 和 是的两个实数根，其余根是虚根，落在上半圆周上的虚根有 ，而落在下半圆周上的虚根是它们的共轭数。所以


  .

http://www./shujixueyuan/jpkc/gdds/dzja/chap1/d8j.htm

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