初中数学竞赛辅导之因式分解2010-04-10 09:51:20| 分类: 教学研究 | 标签: |字号大中小 订阅 虽然现在不鼓励数学奥赛,但培尖却是不可或缺的,特将因式分解的方法和习题整理于此,以飨读者。 一.常用的公式 1. (1)a2-b2=(a+b)(a-b);(2)a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca); (7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数; (8)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1),其中n为偶数; (9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1),其中n为奇数. 二.常用的方法 1.双十字相乘法 用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是: (1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列); (2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx. 解:原式= (x+2y-3)(2x-11y+1). 2.求根法 定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a. 根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根. 定理2 若即约分数q / p是整系数多项式f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+……+an-1x+an的根,则必有p是a0的约数,q是an的约数.特别地,当a0=1时,整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数. 例2 分解因式:x3-4x2+6x-4 分析 这是一个整系数一元多项式,原式若有整数根,必是-4的约数,逐个检验-4的约数:±1,±2,±4,只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0,即x=2是原式的一个根,所以根据定理1,原式必有因式x-2. 解法 用分组分解法,使每组都有因式(x-2). 原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4) =x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x2-2x+2). 3.待定系数法 在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法. 例3分解因式:x2+3xy+2y2+4x+5y+3 分析:由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y), 若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式,应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决. 解 设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,
解之得m=3,n=1.所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1). 4.添项、拆项法 例4因式分解:①x4+x2+1 ②a3+b3+c3-3abc 解:x4+x2+1=x4+2x2+1-x2=(x2+1)2-x2=(x2+1+x)(x2+1-x) 例6因式分解:①x3-5x2+9x-6 ②2x3-13x2+3 例8 分解因式:(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4(提公因式法) (2)x3-8y3-z3-6xyz(公式法) (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab(公式法或分组后运用公式法) (4)a7-a5b2+a2b5-b7(分组后提公因式法) (5)x15+x14+x13+…+x2+x+1(构造法) 分析:x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1), (6)x3-9x+8(拆项法) 解法1 将常数项8拆成-1+9. 原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8). 解法2 将一次项-9x拆成-x-8x. 原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8). 解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3. 原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8). 解法4 添加两项-x2+x2. 原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8). (7)a3b-ab3+a2+b2+1(添项法) 三.配套练习
练习1 1.用双十字相乘法分解因式: (1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3; (2)x2-xy+2x+y-3; (3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2. 2.用求根法分解因式: (1)x3+x2-10x-6; (2)x4+3x3-3x2-12x-4; (3)4x4+4x3-9x2-x+2. 3.用待定系数法分解因式: (1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20; (2)x4+5x3+15x-9. 练习2 分解因式: (1)x9+x6+x3-3; (2)(m2-1)(n2-1)+4mn; (3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4; (4)(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90 (5)6x4+7x3-36x2-7x+6. (6)(x2+xy+y2)2-4xy(x2+y2) (7)x10+x5-2; (8)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5 (9)x3+3x2-4; (10)x4-11x2y2+y4; (11)x3+9x2+26x+24; (12)x4-12x+323. (13)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1; (14)x4+7x3+14x2+7x+1; (15)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1; (16)(x+3)(x2-1)(x+5)-20. 练习3 分解因式: 1. ①x4+x2y2+y4 ②x4+4 ③x4-23x2y2+y4 ④x3+6x2+11x+6 ⑤a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2 ③(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-48 ④(2x-7)(2x+5)(x2-9)-91
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