§4-1 间接平差原理 2学时
间接平差法(参数平差法)是通过选定t个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数,将每个观测值都分别表达成这t个参数的函数,建立函数模型,按最小二乘原理,用求自由极值的方法解出参数的最或然值,从而求得各观测值的平差值。 例如,在一个三角形中,等精度独立观测了三个角,观测值分别为L1、L2和L3。求此三角形各内角的最或然值。若能选取两个内角的最或然值作为参数 可得 为了计算方便和计算数值的稳定性,通常引入未知参数的近似值,这一点在实际计算中是非常重要的,令 式(4-1-2)叫做误差方程,也可以称为某种意义上的条件方程(包含改正数、观测值和参数,“条件个数=观测值个数”),每个条件方程中仅只含有一个观测值,且系数为1。单纯为消除矛盾, 按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零,可得 代入误差方程式,得到观测值的最或然值 此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致,说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同,平差结果与具体平差方法无关。 一般地,间接平差的函数模型为 平差时,为了计算方便和计算的数值稳定性,一般对参数 代入(4-1-4)式,并令 由此可得误差方程 式中 间接平差的随机模型为 平差准则为 间接平差就是在最小二乘准则要求下求出误差方程中的待定参数 一、间接平差一般原理 设平差问题中有n个观测值L,已知其协因数阵 令 则平差值方程的矩阵形式为 令 式中 按最小二乘原理,上式的 转置后得 以上所得的(4-1-13)和(4-1-14)式中的待求量是 解此基础方程,一般是将(4-1-13)式代入(4-1-14)式,以便先消去 令 上式可简写成 式中系数阵 或 将求出的 特别地,当P为对角阵时,即观测值之间相互独立,则法方程(4-1-16)的纯量形式为 二、按间接平差法求平差值的计算步骤 1.根据平差问题的性质,选择t个独立量作为参数; 2. 将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数,若函数非线性要将其线性化,列出误差方程(4-1-13); 3.由误差方程系数B和自由项 4. 解算法方程,求出参数 5.由误差方程计算V,求出观测量平差值 6.评定精度。 例[4-1] 在图4-1所示的水准网中,A、B、C为已知水准点,高差观测值及路线长度如下: 图4-1 解:1.按题意知必要观测数 2.根据图形列平差值条件方程式,计算误差方程式如下 代入具体数值,并将改正数以(mm)为单位,则有 可得 3.由误差方程系数 解得 4. 解算法方程,求出参数 5.由误差方程计算 |
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