|
通过观察、考虑观缆车，引出振幅、周期、频率、初相的概念。
在函数 中，点P旋转一周所需要的时间 ，叫做点P的转动周期。在1秒内，点P转动的周数 ，叫做转动的频率。 与 轴正方向的夹角 叫做初相。
例1画出函数y=2sinx xÎR；y= sinx xÎR的图象（简图）
解：画简图，我们用“五点法”
∵这两个函数都是周期函数，且周期为2π
∴我们先画它们在［0，2π］上的简图 列表：
|
x
|
0
|
|
p
|
|
2p
|
|
sinx
|
0
|
1
|
0
|
-1
|
0
|
|
2sinx
|
0
|
2
|
0
|
-2
|
0
|
|
sinx
|
0
|
|
0
|
-
|
0
|
作图：
利用这类函数的周期性，我们把上面的简图向左、向右连续平移 就可以得出y＝2sinx，x∈R，及y＝ sinx，x∈R。的简图
(1)y＝2sinx，x∈R的值域是［－2，2］
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变)
(2)y＝ sinx，x∈R的值域是［－ ， ］
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍而得(横坐标不变)
一般地，函数 的值域是 最大值是 ，最小值是 ，由此可知， 的大小，反映曲线 波动幅度的大小。因此 也称为振幅。
引导,观察,启发：与y=sinx的图象作比较，结论：
1．y=Asinx，xÎR(A>0且A¹1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到的
2．它的值域[－A, A] ，最大值是A, 最小值是－A
3．若A<0 可先作y=－Asinx的图象 ，再以x轴为对称轴翻折
称为振幅，这一变换称为振幅变换
例2 画出函数
y＝sin(x＋ )，x∈R，y＝sin(x－ )，x∈R的简图
解：列表
|
x
|
-
|
|
|
|
|
|
x+
|
0
|
|
|
|
2
|
|
sin(x+ )
|
0
|
1
|
0
|
–1
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
描点画图：
|
X
|
|
|
|
|
|
|
x－
|
0
|
|
|
|
2
|
|
sin(x– )
|
0
|
1
|
0
|
–1
|
0
|
引导,观察,启发：
(1)函数y＝sin(x＋ )，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动 个单位长度而得到
(2)函数y＝sin(x－ )，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有点向右平行移动 个单位长度而得到
一般地，函数y＝sin(x＋ )，x∈R(其中 ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当 ＞0时)或向右(当 ＜0时)平行移动｜ ｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)
y＝sin(x＋ )与y＝sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换
例3 画出函数y=sin2x xÎR；y=sin x xÎR的图象（简图）
解：函数y＝sin2x，x∈R的周期T＝ ＝π
我们先画在［0，π］上的简图,在[0, p]上作图,列表：
|
2x
|
0
|
|
p
|
|
2p
|
|
x
|
0
|
|
|
|
p
|
|
y=sin2x
|
0
|
1
|
0
|
-1
|
0
|
作图：
函数y＝sin x，x∈R的周期T＝ ＝4π
我们画［0，4π］上的简图，列表：
|
|
0
|
|
p
|
|
2p
|
|
x
|
0
|
p
|
2p
|
3p
|
4p
|
|
sin
|
0
|
1
|
0
|
-1
|
0
|
(1)函数y＝sin2x，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的
(2)函数y＝sin ，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到
引导, 观察启发: 与y=sinx的图象作比较
1．函数y=sinωx, xÎR (ω>0且ω¹1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的 倍（纵坐标不变）
2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图
ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换
例4 画出函数y＝3sin(2x＋ )，x∈R的简图
解：(五点法)由T＝ ，得T＝π 列表：
|
x
|
–
|
|
|
|
|
|
2x+
|
0
|
|
π
|
|
2π
|
|
3sin(2x+
|
0
|
3
|
0
|
–3
|
0
|
描点画图：
这种曲线也可由图象变换得到：即：
y＝sinx y＝sin(x＋ )
y＝sin(2x＋ )
一般地，函数y＝Asin(ωx＋ )，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到：
先把正弦曲线上所有的点向左(当 ＞0时)或向右(当 ＜0时)平行移动｜ ｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的 倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)
另外，注意一些物理量的概念:
A ：称为振幅；T＝ ：称为周期；f＝ ：称为频率；
ωx＋ ：称为相位 x＝0时的相位 ，称为初相
评述：由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋ )的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y＝sinx的图象向左( ＞0)或向右( ＜0)平移｜ ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋ )的图象
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞0),再沿x轴向左( ＞0)或向右( ＜0)平移 个单位，便得y＝sin(ωx＋ )的图象
课堂练习：
1 若将某函数的图象向右平移 以后所得到的图象的函数式是y＝sin(x＋ )，则原来的函数表达式为( )
A y＝sin(x＋ ) B y＝sin(x＋ )
C y＝sin(x－ ) D y＝sin(x＋ )－
答案：A
2 函数y＝3sin(2x＋ )的图象，可由y＝sinx的图象经过下述哪种变换而得到 ( ) 答案：B
A 向右平移 个单位，横坐标缩小到原来的 倍，纵坐标扩大到原来的3倍
B 向左平移 个单位，横坐标缩小到原来的 倍，纵坐标扩大到原来的3倍
C 向右平移 个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的 倍
D 向左平移 个单位，横坐标缩小到原来的 倍，纵坐标缩小到原来的 倍
3.已知函数y＝Asin(ωx＋ )，在同一周期内，当x＝ 时函数取得最大值2，当x＝ 时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为( )
A y＝2sin(3x－ ) B y＝2sin(3x＋ )
C y＝2sin( ＋ ) D y＝2sin( － )
解析：由题设可知，所求函数的图象如图所示，点( ，2)和点( ，－2)都是图象上的点，且由“五点法”作图可知，这两点分别是“第二点”和“第四点”，所以应有：
解得 答案：B
由y＝Asin(ωx＋ )的图象求其函数式：
一般来说，在这类由图象求函数式的问题中，如对所求函数式中的A、ω、 不加限制(如A、ω的正负，角 的范围等)，那么所求的函数式应有无数多个不同的形式(这是由于所求函数是周期函数所致)，因此这类问题多以选择题的形式出现，我们解这类题的方法往往因题而异，但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中
小结 平移法过程：
|
1.教师演示观缆车旋转过程，指导学生认识和感受。
2.教师提问：通过分析， 对观缆车的旋转有什么影响？
3.学生回答。
4.教师引导归纳。
函数y＝Asin(ωx＋φ)，其中 表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复一次所需的时间 ，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数 ，称为振动的频率； 称为相位； 时的相位φ称为初相。
5.学生在黑板上利用“五点法”画图。
教师提问：y=2sinx xÎR和y= sinx xÎR的图象与 的图象间的关系怎样？
学生回答：(1)y＝2sinx，x∈R的值域是［－2，2］
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变)
(2)y＝ sinx，x∈R的值域是［－ ， ］
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍而得(横坐标不变)
教师提问：一般地
y=Asinx的图象与y＝sinx的图象间具有怎样的关系呢？
学生回答：y=Asinx，xÎR(A>0且A¹1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到的
学生在黑板上利用“五点法”画图。
教师提问：y＝sin(x＋ )，和y＝sin(x－ )的图象与 的图象间的关系怎样？
学生回答：(1)函数y＝sin(x＋ )，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动 个单位长度而得到
(2)函数y＝sin(x－ )，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有点向右平行移动 个单位长度而得到
教师提问：一般地
y＝sin(x＋ )的图象与y＝sinx的图象间具有怎样的关系呢？
学生回答：一般地，函数y＝sin(x＋ )，x∈R(其中 ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当 ＞0时)或向右(当 ＜0时)平行移动｜ ｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)
学生在黑板上利用“五点法”画图。
教师提问：y=sin2x和y=sin x的图象与 的图象间的关系怎样？
学生回答：(1)函数y＝sin2x，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的
(2)函数y＝sin ，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到
教师提问：一般地
y=sinωx的图象与y＝sinx的图象间具有怎样的关系呢？
学生回答：函数y=sinωx, xÎR (ω>0且ω¹1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的 倍（纵坐标不变）
学生在黑板上利用“五点法”画图。
教师提问：y＝3sin(2x＋ )，的图象与 的图象间的关系怎样？
学生回答：由y＝sinx左移 个单位，得到y＝sin(x＋ )的图象，纵坐标不变，横坐标变为 倍，得到y＝sin(2x＋ )的图象，纵坐标变为3倍，横坐标不变，得到 的图象。
教师提问：一般地y＝Asin(ωx＋ )的图象与y＝sinx的图象间具有怎样的关系呢？
学生讨论并回答
学生自己完成。
|
