正弦曲线的图像

细品教材
众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，因此潮汐是周期现象．当潮汐发生时，水的深度会发生周期性的变化，这种周期性的变化，与正弦函数的周期性变化有什么联系吗？

一、正弦函数的图象
1．正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象
利用单位圆中的正弦线作y=sinx，x∈[0，2π]的图象．如下图，在直角坐标系的x轴的负半轴上任取一点O₁，以O₁为圆心作单位圆，从⊙O₁与x轴的交点A起把圆弧分成12等份，过⊙O₁上各分点分别作x轴的垂线，得到对应于角等分点的正弦线．相应地，再把x轴上从0到2π这一段分成12等份，再把角x所对应的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，最后用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到了函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．

2．正弦曲线
(1)任意给定一个实数x，有唯一确定的值sinx与之对应．由这个对应法则所确定的函数y=sinx叫做正弦函数，其定义域是R．
(2)根据诱导公式一，终边相同的角的三角函数值相等，可知函数y=sinx，x∈[2kπ，2(k+1)π)，k∈Z且k≠0的图象，与函数y=sinx，x∈[0，2π)的图象的形状完全一致，只是位置不同．我们只需把y=sinx，x∈[0，2π)的图象左、右平移(每次2π个单位长度)，就可得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象(如下图)．

正弦函数的图象叫做正弦曲线．
技术提示
(1)利用单位圆和三角函数线画三角函数图象的方法称为几何法作图，其优点是图象精确，缺点是画图比较麻烦，影响解题速度．
(2)作图象时，函数的自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，作出的图象较为准确．
【示例】函数y=1-sinx，x∈[0，2π]的大致图象为下图中的(    )




思路分析：令x=0，则y=1-sinx=1，因此图象过(0，1)，可排除C、D，又令，则y=1-sinx=2，可排除A．
答案：B
状元笔记
“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点．这是作正、余弦函数图象、研究正、余弦函数性质时的最常用方法．
二、“五点法”作简图
通过正弦曲线可以发现，这些曲线可以按照闭区间…，[-4π，-2π]，[-2π，0]，[0，2π]，[2π，4π]，…分段，这些闭区间的长度都等于2π个单位长度，并且在每一个闭区间上曲线的形状完全一致．因此，要研究曲线的形状，只需选一个闭区间，在这里，我们不妨选择[0，2π]，显然，有五个点在确定其对应图象的形状时起着关键作用．对于正弦曲线(如下图)，它们是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)因此，在精确度要求不太高时，可先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到相应函数的简图．这种方法称为“五点(画图)法”．

技术提示
五点法作简图抓住了正弦函数图象的特征，反映了正弦曲线的基本特征，其中需特别注意的是曲线的走向，把握住简图的画法，有助于快速解题．

综合探究
1．余弦曲线
根据诱导公式，可知y=cosx与是同一函数，而的图象可由y=sinx的图象向左平移个单位得到，即余弦函数的图象是由正弦函数的图象向左平移个单位而得到的．如下图所示：

余弦函数的图象叫做余弦曲线．
事实上，，可知余弦函数y=cosx，x∈R与函数也是同一函数，余弦函数的图象也可以通过将正弦曲线向右平移个单位而得到．
2．五点法画正、余弦函数的图象
画正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象，有五个关键点，它们是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)，因此描出这五点后，正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]图象的形状基本上就确定了．在描点时，光滑曲线是指经过最高点或最低点的连线要保持近似“圆弧”形状，经过位于x轴的点时要改变“圆弧的圆心位置”．用五点法画余弦函数y=cosx的图象时也是一样．
注意:
(1)五点法是我们画三角函数图象的基本方法，与五点法作图有关的问题曾出现在历届高考试题中．
(2)作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数．
对于一些正、余弦函数的变形形式，如画，的图象时，应当令分别等于得到对应的x值与y值，然后再描点连线成图．其取值如下表：

描点连线如下图：

【示例】试用五点法画函数的简图．
思路分析：抓住关键点，横坐标依次为的点．
解：列表：

画图(如图)：

3．正、余弦函数的对称性质
正弦函数y=sinx图象的对称轴为直线，并且对称轴与正弦曲线的交点的纵坐标是正弦函数的最值，对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，正弦函数的图象与x轴的交点均是正弦函数的对称中心．
余弦函数y=cosx图象的对称轴为直线x=kπ(k∈Z)，并且对称轴与余弦曲线的交点的纵坐标是余弦函数的最值，对称中心为，余弦函数的图象与x轴的交点均是余弦函数的对称中心．

归纳整理
本节的主要内容是正、余弦函数的图象——正、余弦曲线的画法：几何法与五点法．几何法是用单位圆和三角函数线作图，图形准确但画图麻烦；五点法只能作简图，但方便快捷．重点是会用五点法画函数简图，以解决相关问题．

答案：①单位圆　②三角函数线　③(0，0)　④　⑤(π，0)　⑥　⑦(2π，0)　⑧(0，1)　⑨　⑩(π，-1)　　(2π，1)

思考发现
1．y=sinx的五个特殊点(0，0)、，(π，0)，、(2π，0)；
y=cosx的五个特殊点(0，1)、、(π，-1)、、(2π，1)．
2．五点法作y=Asin(ωx+φ)的简图，五点的取法是ωx+φ分别等于来求得相应的x值及对应的y值，最后描点成图．
3．含有三角式、指数式、对数式的方程叫做超越方程，用初等解方程的方法不能求它的解；通常把这类方程分解成两个函数，把求方程的解转化为求两个函数的交点问题．
4．利用单位圆或正弦曲线解简单三角不等式时，可先在长度为[0，2π]的区间上找到适合不等式的解，再把它扩展到整个定义域中去．