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三角函数

2013-08-23  昵称38264...

教学内容:

三角函数

 

. 具体过程:

【高考要求】

1. 任意角的概念、弧度制

①了解任意角的概念。

②了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化。

2. 三角函数

①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。

②能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式,能画出的图象,了解三角函数的周期性。

③理解正弦函数、余弦函数在区间[02π]上的性质,理解正切函数在区间内的单调性。

④理解同角三角函数的基本关系式:

⑤了解函数的物理意义;能画出的图象,了解参数对函数图象变化的影响。

⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题。

3. 三角恒等变换

1)和与差的三角函数公式

①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。

②能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。

③能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。

2)简单的三角恒等变换

能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆)。

4. 解三角形

1)正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理和余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。

2)应用

能够运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

 

【热点分析】

1. 近几年高考对三角变换的考查要求有所降低,主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强。

2. 对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查,且难度不大,大致可分为四类问题(1)与三角函数单调性有关的问题;(2)与三角函数图象有关的问题;(3)应用同角变换和诱导公式,求三角函数值及化简和等式证明的问题;(4)与周期有关的问题。

3. 基本的解题规律为:观察差异(或角,或函数,或运算),寻找联系(借助于熟知的公式、方法或技巧),分析综合(由因导果或执果索因),实现转化。解题规律:在三角函数求值问题中的解题思路,一般是运用基本公式,将未知角变换为已知角求解;在最值问题和周期问题中,解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解。

4. 立足课本、抓好基础。从前面叙述可知,我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查,而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查,对基础知识和基本技能的考查上来,所以在复习中首先要打好基础。在考查利用三角公式进行恒等变形的同时,也直接考查了三角函数的性质及图象的变换,可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下,加强了对三角函数性质和图象的考查力度。

 

【复习建议】

本章内容由于公式多,且习题变换灵活等特点,建议同学们复习本章时应注意以下几点方法技巧:

1. 三角函数恒等变形的基本策略。

1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1cos2θ+sin2θ=tanx·cotxtan45°等。

2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x2cos2x=(sin2xcos2x)+cos2x1cos2x;配凑角:α=(α+β)-β,β=等。

3)降次与升次。

4)化弦(切)法。

5)引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+),这里辅助角所在象限由ab的符号确定,角的值由tan确定。

2. 证明三角等式的思路和方法。

1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。

2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3. 证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。

4. 解答三角高考题的策略。

1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。

2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。

3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。

4)由于三角函数是我们研究数学的一门基础工具,近几年高考往往考查知识网络交汇处的知识,故学习本章时应注意本章知识与其它章节知识的联系。如平面向量、换法、解三角形等。

5. 重视数学思想方法的复习,如前所述,本章试题都以选择、填空题形式出现,因此复习中要重视选择、填空题的一些特殊解题方法,如数形结合法、代入检验法、特殊值法,待定系数法、排除法等。另外对有些具体问题还需要掌握和运用一些基本结论。如:关于对称问题,要利用ysinx的对称轴为xkZ),对称中心为(0),(kZ)等基本结论解决问题,同时还要注意对称轴与函数图象的交点的纵坐标特征。在求三角函数值的问题中,要学会用勾股数解题的方法,因为高考试题一般不能查表,给出的数都较特殊,因此主动发现和运用勾股数来解题能起到事半功倍的效果。

6. 加强三角函数应用意识的训练,实际上,三角函数是以角为自变量的函数,也是以实数为自变量的函数,它产生于生产实践,是客观实际的抽象,同时又广泛地应用于客观实际,故应培养“实践第一”的观点。总之,三角部分的考查保持了内容稳定,难度稳定,题量稳定,题型稳定,考查的重点是三角函数的概念、性质和图象,三角函数的求值问题以及三角变换的方法。

7. 变为主线、抓好训练。变是本专题的主题,在三角变换考查中,角的变换,三角函数名的变换,三角函数次数的变换,三角函数式表达形式的变换等比比皆是,在训练中,强化“变”的意识是关键,但题目不可太难,较特殊技巧的题目不做,立足课本,掌握课本中常见问题的解法,把课本中习题进行归类,并进行分析比较,寻找解题规律。针对高考中的题目来看,还要强化变角训练,经常注意收集角间关系的观察分析方法。另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强,这也是高考的重点。同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目。

8. 注意对三角形中的问题的复习。由于教材的变动,有关三角形中的正、余弦定理。解三角形等内容提到高中来学习,近年又加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低,对三角的综合考查将向三角形中的问题伸展。

9. 在复习中,应立足基本公式,在解题时,注意在条件与结论之间建立联系,在变形过程中不断寻找差异,讲究算理,才能立足基础,发展能力,适应高考。

在本专题内容中,高考试题主要反映在以下三方面:其一是考查三角函数的性质及图象变换,尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。多数题型为选择题或填空题;其次是三角函数式的恒等变形。如运用三角公式进行化简、求值,解决简单的综合题等。除在填空题和选择题出现外,解答题的中档题也经常出现这方面内容。

另外,还要注意利用三角函数解决一些应用问题。

 

【典型例题】

1. 已知,求(1;(2的值。

解:1

   2

点评:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化。

 

2. 求函数的值域。

解:,则原函数可化为

,因为,所以

时,,当时,

所以,函数的值域为

 

3. 已知函数

1)求的最小正周期、的最大值及此时x的集合;

2)证明:函数的图像关于直线对称。

解:1

所以的最小正周期,因为

所以,当,即时,最大值为

2)证明:欲证明函数的图像关于直线对称,只要证明对任意,有成立,

因为

所以成立,从而函数的图像关于直线对称。

 

4. 已知函数ycos2xsinx·cosx1 xR),

1)当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;

2)该函数的图像可由ysinxxR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?

解:1ycos2xsinx·cosx12cos2x1)+2sinx·cosx)+1

cos2xsin2xcos2x·sinsin2x·cos)+

sin2x)+

所以y取最大值时,只需2x2kπ,(kZ),即  xkπ,(kZ)。

所以当函数y取最大值时,自变量x的集合为{x|xkπ,kZ}

2)将函数ysinx依次进行如下变换:

i)把函数ysinx的图像向左平移,得到函数ysinx)的图像;

ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数ysin2x)的图像;

iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变),得到函数ysin2x)的图像;

iv)把得到的图像向上平移个单位长度,得到函数ysin2x)+的图像。

综上得到ycos2xsinxcosx1的图像。

点评:本题是2000年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法:一是化成关于sinxcosx的齐次式,降幂后最终化成ysin(ωx)+k的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题(1)还可以解法如下:当cosx0时,y1;当cosx0时,y11

化简得:2y1tan2xtanx2y30

tanxR,∴△=38y1)(2y3)≥0,解之得:y

ymax,此时对应自变量x的集合为{x|xkπ+kZ}

 

5. 已知函数

(Ⅰ)将fx写成的形式,并求其图象对称中心的横坐标;

(Ⅱ)如果△ABC的三边abc满足b2ac,且边b所对的角为x,试求x的范围及此时函数fx的值域。

解:

(Ⅰ)由0

即对称中心的横坐标为

(Ⅱ)由已知b2ac

 

的值域为

综上所述,的值域为

点评:本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识进行整合的能力。

 

6. 在△ABC中,abc分别是角ABC的对边,且

1)求的值;

2)若,且ac,求△ABC的面积。

解:1)由正弦定理及,有

,所以

又因为,所以

因为,所以,又,所以

2)在△ABC中,由余弦定理可得,又

所以有,所以△ABC的面积为

 

7. 已知向量,且

1)求函数的表达式;

2)若,求的最大值与最小值。

解:1,又

所以

所以,即

2)由(1)可得,令导数,解得,列表如下:

t

1

(-11

1

13

导数

0

0

极大值

递减

极小值

递增

所以

 

8. 已知向量

1)求的值;

2)若的值。

解:1)因为

所以

又因为,所以

2

又因为,所以

,所以,所以

 

9. 平面直角坐标系有点

1)求向量的夹角的余弦用表示的函数

2)求的最值。

解:1

     

2    

      

点评:三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意。

 

10. 求值

解:

 

11. 已知βαcosαβ)=sinαβ)=-,求sin2α的值________

解:βα,∴0αβπαβ

sinαβ)=

sin2αsin[(αβ)+(αβ)]

sinαβcosαβ)+cosαβsinαβ

 

12. 设关于x的函数y2cos2x2acosx-(2a1)的最小值为fa),试确定满足fa)=a值,并对此时的a值求y的最大值。

解:y2cosx2cosx∈[-11]得:

fa)=

fa)=,∴14aa2,+∞

故-2a1,解得:a=-1,此时,

y2cosx2,当cosx1时,即x2kπkZymax5

 

【模拟试题】

一、选择题

1. 下列各三角函数式中,值为正数的是    

A.  B.   C.    D.

2. ,且为锐角,则的值等于        

A.          B.       C.            D.

3. ,则的值为           

A. 1           B. 2       C.           D.

4. 已知,则           

A.          B.  

C.          D.

5. a,则成立的是         

A. abc    B. abc   C. acb    D. cab

6. 函数的定义域是(   

A.    B.

C.    D.

7. 下面三条结论:①存在实数,使成立;②存在实数,使成立;③若cosacosb0,则其中正确结论的个数为(     

A. 0     B. 1     C. 2       D. 3

8. 函数的值域是         

A. [-22]     B. [-12]    C. [-11]   D. [2]

9. 函数y=-x·cosx的部分图象是(   

10. 函数fx)=cos2xsinx)是(   

A. 非奇非偶函数               

B. 仅有最小值的奇函数

C. 仅有最大值的偶函数

D. 既有最大值又有最小值的偶函数

 

二、填空题

1、函数的最小值等于                     并使函数y 取最小值的x的集合为                               

2、若函数的图象关于直线对称,则              

函数的值域为                          

3、已知函数                

 

三、解答题

1、已知的值

2、在DABC中,已知三边满足,试判定三角形的形状。

 


【试题答案】

一、1—8  CBBCDBAB

9. 解析:函数y=-xcosx是奇函数,图象不可能是AC,又当x∈(0)时,y0

答案:D

10. 解析:fx)=cos2xsinx)=2cos2x1cosx

2[(cosx)-1

答案:D

 

二、填空题

1

2、-1

3

 

三、解答题

1. 解:原式=

上式两边平方,得

又∵

∴原式

2. 解一:由条件

展开,消

DABCA为直角或B为直角)

解二:

                 

∴△ABC

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