三角函数公式

phwer 2011-03-31

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同角三角函数的基本关系

　　倒数关系:

　　tanα ·cotα＝1

　　sinα ·cscα＝1

　　cosα ·secα＝1　

　　商的关系：　

　　sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

　　cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

　　平方关系：

　　sin²(α)＋cos²(α)＝1

　　1＋tan²(α)＝sec²(α)

　　1＋cot²(α)＝csc²(α)

平常针对不同条件的常用的两个公式

　　sin² α+cos² α=1

　　tan α *cot α=1

锐角三角函数公式

　　正弦： sin α=∠α的对边/∠α 的斜边

　　余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边

　　正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边

　　余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边

二倍角公式

　　sin2A=2sinA·cosA

　　cos2A=cos² A-sin² A=1-2sin² A=2cos² A-1

　　tan2A=（2tanA）/（1-tan² A）

三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

　　三倍角公式推导　

　　sin3a

　　=sin(2a+a)

　　=sin2acosa+cos2asina

　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina

　　=3sina-4sin^3a

　　cos3a

　　=cos(2a+a)

　　=cos2acosa-sin2asina

　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa

　　=4cos^3a-3cosa

　　sin3a=3sina-4sin^3a

　　=4sina(3/4-sin²a)

　　=4sina[(√3/2)²-sin²a]

　　=4sina(sin²60°-sin²a)

　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

　　cos3a=4cos^3a-3cosa

　　=4cosa(cos²a-3/4)

　　=4cosa[cos²a-(√3/2)^2]

　　=4cosa(cos²a-cos²30°)

　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

　　上述两式相比可得

　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

半角公式

　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

　　sin²(a/2)=(1-cos(a))/2

　　cos²(a/2)=(1+cos(a))/2

　　tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

和差化积

　　sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

　　cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

　　cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

和差化积

　　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

　　cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

　　sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

　　sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ

积化和差

　　sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2

　　cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2

　　sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2

　　cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

双曲函数

　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2

　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2

　　tanh(a) = sin h(a)/cos h(a)

　　公式一：

　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

　　sin（2kπ＋α）= sinα

　　cos（2kπ＋α）= cosα

　　tan（2kπ＋α）= tanα

　　cot（2kπ＋α）= cotα

　　公式二：

　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π＋α）= -sinα

　　cos（π＋α）= -cosα

　　tan（π＋α）= tanα

　　cot（π＋α）= cotα

　　公式三：

　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

　　sin（-α）= -sinα

　　cos（-α）= cosα

　　tan（-α）= -tanα

　　cot（-α）= -cotα

　　公式四：

　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π-α）= sinα

　　cos（π-α）= -cosα

　　tan（π-α）= -tanα

　　cot（π-α）= -cotα

　　公式五：

　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（2π-α）= -sinα

　　cos（2π-α）= cosα

　　tan（2π-α）= -tanα

　　cot（2π-α）= -cotα

　　公式六：

　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π/2+α）= cosα

　　cos（π/2+α）= -sinα

　　tan（π/2+α）= -cotα

　　cot（π/2+α）= -tanα

　　sin（π/2-α）= cosα

　　cos（π/2-α）= sinα

　　tan（π/2-α）= cotα

　　cot（π/2-α）= tanα

　　sin（3π/2+α）= -cosα

　　cos（3π/2+α）= sinα

　　tan（3π/2+α）= -cotα

　　cot（3π/2+α）= -tanα

　　sin（3π/2-α）= -cosα

　　cos（3π/2-α）= -sinα

　　tan（3π/2-α）= cotα

　　cot（3π/2-α）= tanα

　　(以上k∈Z)

　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =

　　√{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} }

　　√表示根号,包括{……}中的内容

诱导公式

　　sin(-α) = -sinα

　　cos(-α) = cosα

　　tan (-α)=-tanα

　　sin(π/2-α) = cosα

　　cos(π/2-α) = sinα

　　sin(π/2+α) = cosα

　　cos(π/2+α) = -sinα

　　sin(π-α) = sinα

　　cos(π-α) = -cosα

　　sin(π+α) = -sinα

　　cos(π+α) = -cosα

　　tanA= sinA/cosA

　　tan（π/2＋α）＝－cotα

　　tan（π/2－α）＝cotα

　　tan（π－α）＝－tanα

　　tan（π＋α）＝tanα

　　诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

万能公式

　　sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²]

　　cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²]

　　tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]

其它公式

(1) (sinα)²+(cosα)²=1

　　(2)1+(tanα)²=(secα)²

　　(3)1+(cotα)²=(cscα)²

　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)²，第二个除(cosα)²即可

　　(4)对于任意非直角三角形,总有

　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　证:

　　A+B=π-C

　　tan(A+B)=tan(π-C)

　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

　　整理可得

　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　得证

　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立

　　由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

　　(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

　　(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

　　(7)(cosA）²+(cosB）²+(cosC）²=1-2cosAcosBcosC

　　(8)（sinA）²+（sinB）²+（sinC）²=2+2cosAcosBcosC

　　其他非重点三角函数　

　　csc(a) = 1/sin(a)

　　sec(a) = 1/cos(a)

编辑本段内容规律

　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在.

　　1、三角函数本质：

^[1]

　根据右图，有

　　sinθ=y/ r; cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y。

　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导

　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例：

　　推导：

　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。

　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))

　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)

　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2

　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2）

　　单位圆定义

　　单位圆

　　六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：

　　图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 θ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos θ 和 sin θ。图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。

　　两角和公式