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28锐角三角函数
【编者按】本章内容主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念以及研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容。通过本章的学习应该掌握锐角三角函数以及直角三角函数的相关内容。
一、目标与要求
1.通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；
2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角．
3.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题．
4.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；初步感受高等数学中的微积分思想．
5.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
6.能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．
二、重点与难点
1．重点
（1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，应该牢牢记住．
（2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题．
2．难点
（1）锐角三角函数的概念．
（2）经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，锻炼学生观察、分析，解决问题的能力．
三、知识框架
四、知识点、概念总结
 1.Rt△ABC中
(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝
(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝
(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝
(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝
2.特殊值的三角函数：
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a
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sina
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cosa
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tana
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cota
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30°
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45°
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1
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1
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60°
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3. 互余角的三角函数间的关系
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα,
cot(90°-α)=tanα.
4. 同角三角函数间的关系
平方关系：
sin2(α)+cos2(α)=1
tan2(α)+1=sec2(α)
cot2(α)+1=csc2(α)
积的关系：
sinα=tanα·cosα
cosα=cotα·sinα
tanα=sinα·secα
cotα=cosα·cscα
secα=tanα·cscα
cscα=secα·cotα
倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
5. 三角函数值
（1）特殊角三角函数值
（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（3）锐角三角函数值的变化情况
（i）锐角三角函数值都是正值
（ii）当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，
0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0,
当角度在0°<∠A<90°间变化时，
tanA>0, cotA>0.
特殊的三角函数值 （包含90度角）
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0°
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30°
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45°
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60°
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90°
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sinA
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0
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1/2
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√2/2
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√3/2
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1
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cosA
|
1
|
√3/2
|
√2/2
|
1/2
|
0
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|
tanA
|
0
|
√3/3
|
1
|
√3
|
None
|
|
cotA
|
None
|
√3
|
1
|
√3/3
|
0
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6.解直角三角形的基本类型
解直角三角形的基本类型及其解法如下表：
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类型
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已知条件
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解法
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两边
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两直角边a、b
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c= ，tanA= ，∠B=90°-∠A
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一直角边a，斜边c
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b= ，sinA= ，∠B=90°-∠A
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一边一锐角
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一直角边a，锐角A
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∠B=90°-∠A，b=a·cotA，c=
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斜边c，锐角A
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∠B=90°-∠A，a=c·sinA，
b=c·cosA
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7.仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
（参考教材：初中数学九年级人教版）
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