可否说得更全面些
——谈关于“算理”的数学
华东师范大学 张奠宙
上海的8月酷热，恰逢《小学教学》第7—8期合刊寄到。许多文章写得很好，犹如一阵凉风吹来，读来倍感清新。首先，我读的是张丹老师的一组文章。她是一位很有才华的研究者，我们也是熟悉的朋友。她的文章内容充实、朴实无华、不说空话，值得一读。这一组文章，论述也很全面，关于情境创设、合作交流、图形运用等方面，说得都很辩证。
不过，对于计算程序和算法算理的论述中，我觉得有一些不够全面的地方。本文是一篇读后感，谈谈不同的看法，就教于张丹老师和广大读者。数学教育研究的争论太少，我想，经过讨论、争鸣，真理会越辩越明。
一、从一个数据说起
让我们先看张丹老师的文章《以数的运算为例谈整体把握小学数学课程》(以下简称《丹文》)中的一个数据。其中提到：
我们在2009年对三年级学生的一次测试中设计了如下两道题目：
题目1：计算42×25。(目的是考查三年级学生是否掌握了两位数乘两位数的法则)
题目2：如图，在34×12的竖式中，箭头所指的这一步表示的是( )。
A．10个34的和 B．12个34的和 C．1个34的和 D．2个34的和
(本题考查的是三年级学生是否理解两位数乘两位数竖式中每一步的含义)
测试的结果是：在2009年所作的全国常模抽样测试中随机抽取了1664份样本，学生在题目1和题目2上的得分率分别是70.10％和43.09％。
《丹文》说，设计题目2源于与一位三年级学生的讨论。该学生能很快利用竖式给出正确结果，但当追问竖式的“第二层”(即题目中箭头所指的这一步)是怎么得到的，他快速地回答道：“是老师告诉的，用1乘34，乘完向左移一位，我也不知道为什么。”于是《丹文》讨论的是：如何帮助占70.10％的能准确计算的学生，达到那43.09%懂得算理者的水平。这当然是可以讨论的问题。可是，作为全面把握未来走向的数学教育工作者来说，是否应该更加关注那29.90％不会算或者算不准的学生呢?
我国学生一向以基本计算能力水平高著称，提高“会做、做对”的比例历来是我们关注的重点。要知道，29.90％接近1/3，可不是小数目啊!我问过一些小学数学教育专家，都对做不好两位数乘法的学生达到29.90％的这一数据表示忧虑。
从会做提升到知道为什么这样做，事关创新人才的培养，当然是重要的。锦上添花固然需要，但是，雪中送炭——帮助那些学习困难的学生，也许更为紧迫。
会计算两位数乘法，是小学生最基本的数学素质之一。没有这一基础，他们接着要学多位数计算、小数计算、分数计算，怎么学得会?也就是说，他们将来如何完成九年义务教育?如何适应“普及高中教育”?如何让他们成为未来合格的公民?让每一个孩子都不掉队，至少要让90％以上的孩子都会做，而且做对，正是数学教育要关注的重点。
因此，我觉得《丹文》在鼓励创新和保证基础的重视程度上，似乎有一定的片面性，需要全面些。
二、非要立刻就学懂“算理”吗
《丹文》进一步指出：在实际教学中，或者不少教师不重视学生探索如何计算的过程，或者当学生刚刚探索出方法后，老师立即就引导学生学习竖式，在对竖式还未真正内化的情况下，教师又开始引导学生学习“简化”的竖式(即箭头所指的那一步，要把340末尾的0写成虚的，意思是可以省略不写，最后再把0省略掉)。这样仓促地同时完成几个内容的教学，就可能造成学生因为没有真正理解竖式每一步的道理而只好记住法则了。再加上，教师又没有在后面的练习中注意促进学生在记忆基础上再次理解，学生产生“老师让我们这么做就这么做”的想法就不足为奇了。
这段文字，主要是批评一线教师不重视学生的探索过程，仓促地让学生在不明算理的情况下进入竖式计算。可是，掌握一种程序性知识的“算理算法”，即从会做到知道为什么这样做，需要一个过程。在初步说理的基础上，教师先给出规范的计算程序，以后再懂其道理，乃是正常的认识过程，不能一概批评为“仓促”。
在“两位数乘法”的实际课堂教学中，一般地说，老师会用例子引入，讲解为什么要向左移一格，并不会把计算步骤“硬灌”下去。对于多数资质一般的学生，一堂课学下来，还处于似懂非懂状态，或者一时懂了课后又淡忘了。唯有老师教的“第二行往左移一位”简单明了，记住了，于是会做了。这就是70.10％的学生会做的原因。
我们学一些程序性的知识，往往先会做，到后来再理解为什么这样做。即先知其然，然后逐步知其所以然。比如孩子从小跟父母学习说话，也是先模仿会说，不知道为什么要这样说。小学生会背唐诗，对其意义也并不十分理解。尤其是认识方块字，难道要从古代的甲骨文、金文、篆书、隶书等一步步如何演变来进行教学吗?这是文字专家的事情，普通百姓只要认得现代的字形，先会用即可，以后可以慢慢加以理解。
《丹文》也提到教师要在后面的练习中，注意促进学生在记忆基础上再次理解。现在的问题是，教学理念总是强调“事先创设情境”“探索程序的发生过程”，而且“不能仓促过渡，必须一次完成”。这样一来，“反省抽象”“再次理解”反倒成了可有可无的环节，也不见这方面的理论阐述和实际教学设计。
这就是说，在事先理解和事后逐步完成理解的处理上，《丹文》也有一些片面性。
三、提高课堂效率，是数学教育研究的目标之一
如上所说，现在过分强调“情境创设”，从一个算法的一开头就强调“为什么”，要经历“生活实例”“数字举例”“纠错改错”“抽象概括”“融会贯通”等步骤，最后才得出算理。总之，非得要学生自己总结出算法来才算达成目标。这种基于建构主义的探究式教学，让学生经历了历史上创新认识的全过程，对于培养学生的创新精神自然有重要的价值。我们过去在这方面强调不够，今天需要强调，当然是对的。但是，这种方法，需要花费大量的时间成本，教学效率不高。中小学基础教育是在短短的若干年内，让学生把握人类几千年积累的知识，不讲究效率的教学是走不远的。
已故的西南大学陈重穆教授，曾经在西南地区进行了长期的“高效数学教学”实践活动，简称GX实验。他提出了“淡化形式，注重实质；积极前进，循环上升；开门见山，适当集中；先做后说，师生共作”的32字诀。这一土生土长的具有中国特色的数学教育规律，对于那些“程序性”的数学知识，如算法教学等特别有效。其中“积极前进，循环上升；开门见山，适当集中”这16个字，对于本文探讨的问题特别有针对性。
《丹文》有如下的个别谈话实录：
我们对某小学40个没有学过此部分内容的三年级学生进行了调研。他们已经学习了两位数乘一位数。起初，题目没有给出任何直观模型，而是要求学生想办法计算14×12。结果40个学生全部用竖式计算，其中22个学生基本正确(包括方法正确，但计算时出现了错误)，18个学生出现了较大困难。然后，我们对遇到困难的18个学生全部进行了访谈，并请他们借助点子图完成两个任务：任务1，借助点子图思考如何计算出14×12的结果；任务2，如果能够计算出正确结果，再将计算过程写成竖式。
在完成任务2时，有8个学生能够独立完成，10个学生困难较大。下面是对上述两个任务都能独立完成的学生的访谈记录(括号内为笔者注释)
1．首先，教师了解学生原先的竖式是如何计算的。
师：你是怎么算14×12的?
生：个位二四得八，十位1×1＝1；个位与十位2×1＝2，1×4＝4。
(学生“自创”的竖式体现出他并不知道应该怎么做，更没有自发地想到去“拆数”未转化为已有知识)
2．给了学生点子图后，学生正确地给出了结果。教师了解他又是如何思考的。
师：这个图的点子数，你是怎么算出的?
生：14×10＝140，14×2＝28，140十28＝168。
(没作任何引导，看点子图学生就自然地将12分成10和2，看来图对于这个学生是有用的)
师：你怎么想到了10?
生：我不会算14×12，但我知道10个14是140。
(此时，教师要求他在点子图上圈一圈并说明思考过程，该生能圈出10个14，2个14)
3．进一步，教师想了解点子图对他修改原来的竖式是否有帮助。
师：点子图与竖式对比你发现了什么?
生：都是14乘12，一样。
师：那用竖式应该怎么算?
学生给出了新的竖式：
(虽然学生的写法还是错误的，但他已经不是“瞎写“了，而是试图表现出刚才的思考过程：14×10＝140，14×2＝28，140十28＝168。这一方面说明借助点子图得来的方法促使他反思了自己原来的写法，另一方面说明由刚才的思考过程到写成竖式并不是自然发生的)
师：(帮助他修改)应该写成14×2＝28，再算什么?
生：140十28＝168。
(该学生后来在老师指导下学会写竖式了。然后，学生独立完成26X14、36X13，竖式全部正确)
师：看着这几道题你发现了什么?
生：比如36×13，把13拆成10和3，先算36×3，再算36×10，再加起未。
师：点子图有用吗?
生：有用，可以把12拆成10行和2行。
(这句话说出了点子图对于这个学生的帮助)
这段引文表明：在40个学生中，约半数学生能够自己“发现”竖式算法，而另外半数则不会。于是，对不会发现竖式算法的学生，仍然不是正面告诉他们“规范”算式，而要他们“自己设计”算法。于是学生不断地犯错、纠错，把原始的、正确的、不简便的写法也统统尝试一遍。最后要让学生“从不规范中归纳出规范”来。这样做，是不是太累了?
从陈重穆先生的GX实验来看，这样的设计既不是开门见山，也不是积极前进，因而是“低效率”的。
事实上，理解算理的教学有很多种层次：
●举例说明算式的合理性，让学生愿意接受。这种初步的理解是接受性学习的必要步骤。
●尝试性的探索。教师把问题提出来，让学生试试看能否“有办法解决”，但只是尝试而已，不求正确。这是教师进行“启发式”讲解的前奏。
●学生探究，教师归纳。迅速把学生的思维集中到正确轨道上来。教师的主导作用十分明显。
●学生探究，学生归纳。全程进行开放式的发现法教学。
《丹文》提倡的是第四种教学选择，也是最花费时间、只能个别教育的选择。许多学生有可能在探究过程中分不清“规范”和“不规范”，以至二者彼此干扰，囫囵吞枣地瞎碰，结果弄得糊里糊涂。
总之，我们的数学教学要讲究效率，按照进度要求，选择适当的方式让学生有初步理解，然后逐步加深理解。因此，真希望一线教师能设计一些螺旋上升的复习课，以“总结、反思、纠错、提升”多次循环，展现认知过程。
无可否认的是，国内的数学教育见解往往不像国外引进的某些理念那样得到重视，陈重穆教授的GX实验以及他提出的32字诀，并非广为人知。但是，他经过大量的实验，总有一定道理的，成为一家之言。事实上，我们确实需要一种教学过程，既符合小学生的学习规律，又能够体现“高效益”。因此，在如何进行两位数乘法的教学设计时，还是说得全面些为好。
四、关于计算程序性知识的教学研究
弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中指出。数学知识有两类：程序性知识和思辨性知识。程序性知识大多是“行易知难”，例如小学的许多计算规则：先乘除后加减、分数除法的颠倒相乘、有理数乘法的负负得正等，都是做起来容易，懂得其道理难。至于思辨性数学知识，如数学模型、数学证明、函数定义、方程意义等等，知道其定义容易，要做起来可就难了。
近来，巩子坤教授在其博士论文《程序性知识教与学的研究》(已由广西教育出版社正式出版)中提出，数学知识的理解有四个层次：(1)程序理解：会按照规定的程序进行操作。(2)直观理解：会使用直观模型做一些解释。(3)抽象理解：会一般地举例说明合理性。(4)形式理解：能够完整地用形式化语言说明其所以然。
在该书中，巩子坤教授用大量的实证研究，对陈重穆先生的“先做后说”作了科学的阐述。我们这里不妨摘引几段：
类比迁移是很重要的教学策略。无疑，类比是小数乘法进行的最关键的策略。但是，我们也应该清醒地看到，很多学习中的错误，也往往是“类比惹的祸”。
记忆是慢慢通向理解的。对于一开始不太理解的东西，应该先记下来，在使用的过程中不断理解。正如陈重穆先生指导的GX实验一再强调的“饭要一次蒸熟，而认识不可能一次完成”。对程序性知识应该“先做后说”。如果不理解运算的意义，又不记忆规则，那么既不会做，也把将来再理解的机会失去了。
关于分数除法的运算，除程序性理解之外，其他理解的水平的得分率都比较低，能够说明“为什么分数除法要颠倒相乘”的学生更少。分数除法的“颠倒相乘”，说一千道一万，要会用这种程序来解题。另一方面，就是我们要加强运算本身加以理解的教学。
以上是关于程序性知识的一些比较客观的研究成果，自然也是一家之言。我在这里加以引用，无非是要重复“兼听则明，偏听则暗”的道理，让我们把话说得更全面些。
