典型应用题：和倍问题

紫雨剑 2011-04-08

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典型应用题：和倍问题

和倍应用题的基本公式是：

小数＝和÷(倍数＋1)。式子中1即“1倍”数代表小数。

大数＝和－小数，或大数＝小数×倍数。

例如，大、小二数的和是265，大数是小数的4倍,，求大、小二数各是多少？

解：根据上面公式可求得大、小二数分别为

小数＝265÷(4＋1)＝53，

大数＝265－53＝212或53×4＝212。

例1 、甲、乙两仓库共存粮264吨，甲仓库存粮是乙仓库存粮的10倍。甲、乙两仓库各存粮多少吨？

分析：把甲仓库存粮数看成“大数”，乙仓库存粮数看成“小数”，此例则是典型的和倍应用题。根据和倍公式即可求解。

解：乙仓库存粮 264÷(10＋1)＝24(吨)，

甲仓库存粮 264－24＝240(吨)，或 24×10＝240(吨)。

答：乙仓库存粮24吨，甲仓库存粮240吨。

例2、甲、乙两辆汽车在相距360千米的两地同时出发，相向而行，2时后两车相遇。已知甲车的速度是乙车速度的2倍。甲、乙两辆汽车每小时各行多少千米？

分析：已知甲车速度是乙车速度的2倍，所以“1倍”数是乙车的速度。现只需知道甲、乙汽车的速度和，就可用“和倍公式”了。由题意知两辆车 2时共行 360千米，故1时共行 360÷2＝180(千米)，这就是两辆车的速度和。

解：乙车的速度为

(360÷2)÷(2＋1)＝ 60(千米/时)，

甲车的速度为

60×2＝20(千米/时)，或180－60＝120(千米/时)。

答：甲车每时行120千米，乙车每时行60千米。

从上面两道例题看出，用“和倍公式”的关键是确定“1倍”数(即小数)是谁，“和”是谁。例1、例2的“1倍”数与“和”极为明显，其中例2中虽未直接给出“和”，但也很容易求出。下面我们讲几个“1倍”数不太明显的例子。

例3 、甲队有45人，乙队有75人。甲队要调入乙队多少人，乙队人数才是甲队人数的3倍？

分析：容易求得“二数之和”为 45＋75＝120(人)。如果从“乙队人数才是甲队人数的3倍”推出“1倍”数(即小数)是“甲队人数”那就错了，从75不是45的3倍也知是错的。这个“1倍”数是谁？根据题意，应是调动后甲队的剩余人数。倍数关系也是调动后的人数关系，即“调入人后的乙队人数”是“调走人后甲队剩余的人数”的3倍。因此(45＋75)就是甲队剩下人数的 3＋1＝4(倍)。从而，甲队调走人后剩下的人数就是“1倍”数。由和倍公式可以求解。

解：甲队调动后剩下的人数为

(45＋75)÷(3＋1)＝ 30(人)，

故甲队调入乙队的人数为 45－30＝15(人)。

答：甲队要调15人到乙队。

例4、妹妹有书24本，哥哥有书53本。要使哥哥的书是妹妹的书的6倍，妹妹应给哥哥多少本书？

仿照例3的分析可得如下解法。

解：兄妹图书总数是妹妹给哥哥一些书后剩下图书的(6＋1)倍，根据和倍公式，

妹妹剩下(53＋24)÷(6＋1)＝11(本)。

故妹妹给哥哥书24－11＝13(本)。

答：妹妹给哥哥书13本。

例5 、大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个。后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔20个，而小灰兔自己又采了10个。这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。问：原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇？

分析与解：这道题仍是和倍应用题，因为有“和”、有“倍数”。但这里的“和”不是 160，而是160－20＋10＝150，“1倍”数却是“小灰兔又自己采了10个后的蘑菇数”。根据和倍公式，小灰兔现有蘑菇(即“1倍”数)