三年级奥数--数线段

三年级数学第一讲   数线段

例题与方法

例1  数出图1-1中线段的总条数。  

图1-1

【思路点睛】  因为一条线段有两个端点，所以，首先确定一个左端点，然后再确定一个右端点，由这两个端点就可以得到一条线段。 

我们依从左到右的顺序去数，可以得出：

以A为左端点的线段有6条：AB、BC、AD、AE、AF、AG；

以B为左端点的线段有5条：BC、BD、BE、BF、BG； 以C为左端点的线段有4条：CD、CE、CF、CG； 以D为左端点的线段有3条：DE、DF、DG； 

以E为左端点的线段有2条：EF、EG； 

以F为左端点的线段有1条：FG。

所以，图中共有线段(6＋5＋4＋3＋2＋1)条．

                       6＋5＋4＋3＋2＋1

                       ＝(6＋1)×6÷2

                       ＝7×6÷2

                       ＝21(条)

    答：图中共有2l条线段。

例2  图1－2中，如果这条直线上有101个点；那么这些点形成了多少条线段?  

图1-2

【思路点睛】 这道题的点数很多，共有101个点!如果还像例1那样一条一条地数，难道不是很麻烦吗?能不能从例1的分析中找出一个规律，只要根据这个规律去算就行了呢？这个问题想得很好！还是让我们回到例1的分析中去找规律吧。

例1的分析，采用的是从左到右数线段的万法。这种数法可以保证不重复不遗漏地数出所有的线段，并在数的过程中得出一行有规律的数：6，5，4，3，2，l。

观察这一行数及图中的点数，我们不难发现：这是一行从1，开始的连续的自然数，其中最大的一个自然数6要比点数7少1。这就是说，如果直线有4个点，那么线段的条数应该是：3＋2＋1(条)；如果直线上有5个点，那么线段的条数应该是：4＋3＋2＋1(条)。经实际画图数线段，可验证这种方式计算完全正确。    

    一般地，如果直线上有n个点(n≥2)，那么线段条数就应该是：

                       (n一1)＋(n一2y＋(n十3)＋…＋3＋2＋1

                        ＝[(n一1)＋1]×(d一1)十2

                        ＝n×(n—1)÷2

    即所求线段条数的规律是：

          (点数一1)＋(点数一2)＋(点数一3)＋…＋3＋2＋l

           ＝[(点数一1)＋1]×(点数一1)÷2

           ＝点数×(点数一1)÷2 

由此得出图10－8中共有线段的条数为：

                                 100＋99＋98＋…＋3＋2＋l

因为这条直线有101个点，所以这些点形成的线段条数为!

                                 100＋99＋98＋…＋3＋2＋1

                                  ＝(100＋1) ×100÷2

                                  ＝101×100÷2

                                  ＝5050(条)

答：这些点形成了5050条线段。

例3  图1-3中，共有多少条线段?

【思路点睛】 用“分类统许法”先分别求出AB、CD中各有多少条线段，然后再求出它们的和。 

图1-3

① AB上的线段有：

7×6÷2＝21(条)

② CD上的线段有：

6×5÷2＝15(条)

③ 图中共有线段：

21＋15＝36(条)

答：图中共有线段36条线段，

例4  图-4中，共有多少条线段? 

图1-4 

① AA_l，AA₂，AA₃，AA₄，AA₅上各有6个点，这5条线段上的线段条数共有：

(5＋4＋3＋2＋1)×5

＝(5＋1)×5÷2×5

＝75(条)

②AA₆上有5令点，这条线上的线段条数有：

4＋3＋2＋1＝10(条)

③AB上有4个点，AC上有3个点，这两条线上的线段条数共有：

(3＋2＋1)＋(2＋1)＝9(条)

④BC₁上有9个点，这条线上的线段条数有：

8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1

＝(8＋1)×8÷2

＝9×8÷2

＝36(条)

⑤BC,B₁A₆，B₁C₁，B₂C₁上各有8个点，这4条线上的线段条数共有：

(7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)×4

＝(7＋1)×7÷2×4

＝8×7÷2×4

＝112(条)

⑥图中所有线段的条数共有：

75＋10＋9＋36＋112＝242(条)

答：图中共有242条线段。

【数学思考】 分类统计法就是把将要数的图形按一定的标准分为若干类，并分别数出各类图形中的线段数，然后再求出总数。

使用分类统计法数线段条数的关键是要把类分好，不仅要使每类中的线段的条数容易数出，而且要注意：①类与类之间没有重复。  ②要数的线段都要包含在某一类中，没有遗漏。

总结与提示

在纸上用直尺把两个连接起来所画出的图形叫做线段。这两个端点叫做线段的端点。一条线段有两个端点，如图1－5中线段AB。 

图1-5

数线段，就是求线段的总条数。要求做到不重复不遗漏地数。怎样才能做到不重复不遗漏地数出线段的总条数呢?关键是按次序有规律地数。

练习与思考

1．数一数，图1-6中有        条线段

图1-6

2．数一数，图1-7中共有        条线段。

 

图1-7 

 

3．乘火车从武汉去北京，共有36个车站(包括武汉、北京在内)。如果把任意两站的连线看做一条线段，那么共有        条不同的路段。

4．今有101个球队进行循环赛，即每两队之间都赛一场。一共需要赛        场。

5．如图1-8，在线段AB上插人6个不同的点以后，图14—13中的线段一共增加了        条。 

图1-8

6．数一数，图1-9中共有线段        条。

7．数一数，图1-10中共有        条线段。 

图1-9               图1-10

家庭能力检测与提高训练

1．数一数下图中各有多少条线段。 

 2．数一数下图中各有多少条线段。

                                                    ①                       ②                      ③

3．在线段AB上插入8个不同的点以后，图中的线段增加了(     )条。

4．从南京乘火车去上海，中途要停靠6个车站，请你算一算，火车站要为这趟列车准备多少种不同的车票？

5．一个小组有10名学生，1名老师要与其中任意2名学生一起做一次游戏。问这位老师一共要做多少次游戏？

6．自然数1到100一共有100个数，其中任意一个数都要与其他每一个数进行一次加法运算。问一共需要进行多少次加法运算？(1＋2与2＋1只能算作一次)

参考答案 

【练习与思考】1．21    2. 231    3. 630    4.5050     5. 27    6. 24    7．42

【家庭能力检测与提高训练】

1. ①10条    ②20条  ③66条  2. ①13条   ②24条   ③39    3. 44   4.  28    5. 45    6. 4950