第11讲 巧数图形

第11讲 巧数图形

　　数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。由于图形千变万化，错综复杂，所以要想准确地数出其中包含的某种图形的个数，还真需要动点脑筋。要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。

例1数出下图中共有多少条线段。

分析与解：我们可以按照线段的左端点的位置分为A，B，C三类。如下图所示，以A为左端点的线段有3条，以B为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条。所以共有3＋2＋1＝6(条)。

　　我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类。如下图所示，AB，BC，CD是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有3条，由两条小线段构成的线段有2条，由三条小线段构成的线段有1条。

　　所以，共有3＋2＋1＝6(条)。

　　由例1看出，数图形的分类方法可以不同，关键是分类要科学，所分的类型要包含所有的情况，并且相互不重叠，这样才能做到不重复、不遗漏。

例2 下列各图形中，三角形的个数各是多少？

　　

分析与解：因为底边上的任何一条线段都对应一个三角形(以顶点及这条线段的两个端点为顶点的三角形)，所以各图中最大的三角形的底边所包含的线段的条数就是三角形的总个数。由前面数线段的方法知，

　　图(1)中有三角形1＋2＝3(个)。

　　图(2)中有三角形1＋2＋3=6(个)。

　　图(3)中有三角形1＋2＋3＋4＝10(个)。

　　图(4)中有三角形1＋2＋3＋4＋5＝15(个)。

　　图(5)中有三角形

　　1＋2＋3＋4＋5＋6=21(个)。

例3下列图形中各有多少个三角形？

　　

分析与解：(1)只需分别求出以AB，ED为底边的三角形中各有多少个三角形。

　　以AB为底边的三角形ABC中，有三角形

　　1＋2＋3＝6(个)。

　　以ED为底边的三角形CDE中，有三角形

　　1＋2＋3＝6(个)。

　　所以共有三角形6＋6=12(个)。

　　这是以底边为标准来分类计算的方法。它的好处是可以借助“求底边线段数”而得出三角形的个数。我们也可以以小块个数作为分类的标准来计算：图中共有6个小块。

　　由1个小块组成的三角形有3个；

　　由2个小块组成的三角形有5个；

　　由3个小块组成的三角形有1个；

　　由4个小块组成的三角形有2个；

　　由6个小块组成的三角形有1个。

　　所以，共有三角形

　　3＋5＋1＋2＋1＝12(个)。

(2)如果以底边来分类计算，各种情况较复杂，因此我们采用以“小块个数”为分类标准来计算：

　　由1个小块组成的三角形有4个；

　　由2个小块组成的三角形有6个；

　　由3个小块组成的三角形有2个；

　　由4个小块组成的三角形有2个；

　　由6个小块组成的三角形有1个。

　　所以，共有三角形

　　4＋6＋2＋2＋1＝15(个)。

例4右图中有多少个三角形？

解：假设每一个最小三角

　　形的边长为1。按边的长度来分

　　类计算三角形的个数。

　　边长为1的三角形，从上到下一层一层地数，有

　　1＋3＋5＋7=16(个)；

　　边长为2的三角形(注意，有一个尖朝下的三角形)有1＋2＋3＋1=7(个)；

　　边长为3的三角形有1＋2＝3(个)；

　　边长为4的三角形有1个。

　　所以，共有三角形

　　16＋7＋3＋1＝27(个)。

例5数出下页左上图中锐角的个数。

分析与解：在图中加一条虚线，如下页右上图。容

　　易发现，所要数的每个角都对应一个三角形(这个角与它所截的虚线段构成的三角形)，这就回到例2，从而回到例1的问题，即所求锐角的个数，就等于从O点引出的6条射线将虚线截得的线段的条数。虚线上线段的条数有

　　1+2+3+4+5=15(条)。

　　所以图中共有15个锐角。

例6在下图中，包含“*”号的长方形和正方形共有多少个？

解：按包含的小块分类计数。

　　包含1小块的有1个；包含2小块的有4个；

　　包含3小块的有4个；包含4小块的有7个；

　　包含5小块的有2个；包含6小块的有6个；

　　包含8小块的有4个；包含9小块的有3个；

　　包含10小块的有2个；包含12小块的有4个；

　　包含15小块的有2个。

　　所以共有

　　1＋4＋4＋7＋2＋6＋4＋3＋2＋4＋2=39(个)。

 

 练习11

　　1.下列图形中各有多少条线段？

　　

　　2.下列图形中各有多少个三角形？

　　

　　3.下列图形中，各有多少个小于180°的角？

　　

　　4.下列图形中各有多少个三角形？

　　

　　5.下列图形中各有多少个长方形？

　　

　　6.下列图形中，包含“*”号的三角形或长方形各有多少？

　　

　　7.下列图形中，不含“*”号的三角形或长方形各有几个？