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小学奥数：几何图形的计数例解 【点与线的计数】 例1： 如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？ 讲析：可用“分组对应法”来计数。 将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。第一排三角形有1个，其下行线有2点； 第二排三角形有3个，其下行线有3点； 第三排三角形有5个，其下行线有4点； 以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。 所以是小三角形个数多。 例2： 直线m上有4个点，直线n上有5个点。以这些点为顶点可以组成多少个三角形？ （如图5.46） 讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。 直线n上有5个点，这5点共可以组成4＋3 2＋1=10（条）线段。以这些线段分别为底边，m上的点为顶点，共可以组成4×10=40（个）三角形。 同理，m上4个点可以组成6条线段。以它们为底边，以n上的点为顶点可以组成6×5=30（个）三角形。 所以，一共可以组成70个三角形。 【长方形与三角形的计数】 例1： 图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点，以其中不在一条直线上的3点为顶点，可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？ 为3的三角形，或者高为2，底为3的三角形，都符合要求。 ①底边长为2，高为3的三角形有2×4×4=32（个）； ②高为2，底边长为3的三角形有8×2=16（个）。 所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。 例2： 图5.48中共有______个三角形。 讲析：以AB边上的线段为底边，以C为顶点共有三角形6个； 以AB边上的线段为底边，分别以G、H、F为顶点共有三角形3个； 以BD边上的线段为底边，以C为顶点的三角形共有6个。 所以，一共有15个三角形。 例3： 图5.49中共有______个正方形。 讲析：可先来看看图5.50的两个图中，各含有多少个正方形。 图5.50（1）中，正方形个数是6×3＋5×2＋4×1=32（个）； 图5.50（2）中， 正方形个数是4×4 3×3 2×2＋1×1=30（个） 如果把图5.49中的图形，分成5×6和4×11两个长方形，则： 5×6的长方形中共有正方形 5×6 4×5＋3×4＋2×3＋1×2=70（个）； 4×11的长方形中共有正方形 4×11 3×10 2×9＋1×8=100（个）。 两个长方形相交部分4×5的长方形中含有正方形 4×5 3×4＋2×3＋1×2=40（个）。 所以，原图中共有正方形70＋100-40=130（个）。 例4： 平面上有16个点，排成一个正方形。每行、每列上相邻两点的距离都相等[如图5.51（1）]，每个点上钉上钉子。以这些点为顶点，用线将它们围起来，一共可围成______个正方形。 讲析： 能围成图5.51（2）的正方形共14（个）； 能围成图5.51（3）的正方形共2（个）； 能围成图5.51（4）的正方形共4（个）。 所以，一共可围成正方形20个。 来源于小学奥数网 |
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