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小学奥数:几何图形的计数例解

2019-06-11  依然303

小学奥数:几何图形的计数例解

几何图形的计数

【点与线的计数】

例1:

如图5.45,每相邻的三个圆点组成一个小三角形,问:图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多?

讲析:可用“分组对应法”来计数。

  将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。第一排三角形有1个,其下行线有2点;

  第二排三角形有3个,其下行线有3点;

  第三排三角形有5个,其下行线有4点;

  以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。

  所以是小三角形个数多。

例2:

直线m上有4个点,直线n上有5个点。以这些点为顶点可以组成多少个三角形?

  (如图5.46)

讲析:本题只要数出各直线上有多少条线段,问题就好解决了。

  直线n上有5个点,这5点共可以组成4+3 2+1=10(条)线段。以这些线段分别为底边,m上的点为顶点,共可以组成4×10=40(个)三角形。

  同理,m上4个点可以组成6条线段。以它们为底边,以n上的点为顶点可以组成6×5=30(个)三角形。

  所以,一共可以组成70个三角形。

【长方形与三角形的计数】

例1:

图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点,以其中不在一条直线上的3点为顶点,可以构成三角形。在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个?

为3的三角形,或者高为2,底为3的三角形,都符合要求。

  ①底边长为2,高为3的三角形有2×4×4=32(个);

  ②高为2,底边长为3的三角形有8×2=16(个)。

  所以,包括图中阴影部分三角形共有48个。

例2:

图5.48中共有______个三角形。

讲析:以AB边上的线段为底边,以C为顶点共有三角形6个;

以AB边上的线段为底边,分别以G、H、F为顶点共有三角形3个;

以BD边上的线段为底边,以C为顶点的三角形共有6个。

所以,一共有15个三角形。

例3:

图5.49中共有______个正方形。

讲析:可先来看看图5.50的两个图中,各含有多少个正方形。

图5.50(1)中,正方形个数是6×3+5×2+4×1=32(个);

图5.50(2)中,

正方形个数是4×4 3×3 2×2+1×1=30(个)

如果把图5.49中的图形,分成5×6和4×11两个长方形,则:

  5×6的长方形中共有正方形

  5×6 4×5+3×4+2×3+1×2=70(个);

  4×11的长方形中共有正方形

  4×11 3×10 2×9+1×8=100(个)。

  两个长方形相交部分4×5的长方形中含有正方形

  4×5 3×4+2×3+1×2=40(个)。

  所以,原图中共有正方形70+100-40=130(个)。

例4:

平面上有16个点,排成一个正方形。每行、每列上相邻两点的距离都相等[如图5.51(1)],每个点上钉上钉子。以这些点为顶点,用线将它们围起来,一共可围成______个正方形。

讲析:

能围成图5.51(2)的正方形共14(个);

能围成图5.51(3)的正方形共2(个);

能围成图5.51(4)的正方形共4(个)。

所以,一共可围成正方形20个。

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