奥数中的常用公式

一、巧数正方形

设正方形边长被分成n份，则共有n×n+(n-1）×（n-1）+……1×1个正方形

例：　数一数，图3－21中有多少正方形？

　解：最小的正方形有25(5×5）个；

　　由4个小正方形组成的正方形 16（4×4）个；

　　由9个小正方形组成的正方形 9（3×3）个；

　　由16个小正方形组成的正方形 4（2×2）个；

　　由25个小正方形组成的正方形 1（1×1）个；

　　正方形总数:5×5++4×4+3×3+2×2+1×1=55个。

二、巧数长方形

数长方形的公式：长边上的线段和×宽边上的线段和=长方形的总个数。  

例如3行4列的表格形式，长方形个数是：

（4+3+2+1）×（3+2+1）=60(个)

再例如9×5的表格，长方形个数是：

（5+4+3+2+1）×(9+8+7+6+5+4+3+2+1）

例：数一数，图（Ⅰ）、图（Ⅱ）、图（Ⅲ）中各有多少长方形？

　分析图（Ⅰ）中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于AB边上线段的条数，即长方形个数为：

　　4+3+2+1=10（个）.

　　图（Ⅱ）中AB边上共有线段4+3+2+1=10条.BC边上共有线段：2+1=3（条），把AB上的每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（Ⅱ）中共有长方形为：

　　（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.

　　图（Ⅲ）中，依据计算图（Ⅱ）中长方形个数的方法：可得长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）.

　　解：图（Ⅰ）中长方形个数为4+3+2+1=10（个）.

　　图（Ⅱ）中长方形个数为：

　　（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.

　　图（Ⅲ）中长方形个数为：

　　（4+3+2+1）×（3+2+1）=10×6=60（个）.

三、巧数线段

(1)当一条直线上有n个点时，共有1+2+3+......+(n-1)=n(n-1)/2条线段；有2n条射线，其中（2n-2）条射线可用两个字母表示，另外两条射线不能用字母表示。

(2)标数计算法：在每相邻两点之间依次标上自然数1,2,3,.....再将所标的所有自然数相加,即为所有线段的条数。
例：数一数，图3－18中有多少条线段？


线段总数：7+6+5+4+3+2+1=28（条）.

四、数角

（1）一般地,n条射线,有角1+2+...+(n-1)=n(n-1)/2.【或者在角内部有m条射线，则共有角（m+2)(m+1)/2个。】
  (2)标数计算法：在每相邻两条射线之间依次标上自然数1,2,3,.....再将所标的所有自然数相加,即为所有角的个数。

例：数一数，图3－19中有多少锐角？


　　角的总数：7+6+5+4+3+2+1=28（个）.

数线段靠端点，数角靠边，方法相同
或者更直接点做一条过所有边的直线，这条直线被截出多少条线段就有多少个角

例：数一数，图3－20中有多少个三角形？



显然底边AH上的每一条线段对应着一个三角形，而基本线段是7条，所以三角形总数为：7+6+5+4+3+2+1=28（个）.