教学设计是串起珍珠的链子

教学设计是串起珍珠的链子

浙江省黄岩中学 金克勤

 参加《中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计研究与实践》课题活动，有颇多感受，引发很多思考。如果说数学的核心概念与思想方法是一颗颗珍珠的话，那么在课堂教学中教学设计就是串起这一颗颗珍珠的链子。下面针对第六次课题活动中的《变化率与导数》的课堂教学案例，谈谈对课题研究的认识。

 一、内容与目标是教学设计的灵魂

 1．对教学设计研究的认识

 根据课题组中期研究报告指出：“《中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计研究与实践》的研究目的是以中学数学核心概念、思想方法结构体系研究、中学数学核心概念、思想方法教学设计理论与实践研究为载体，探索中学数学教师专业化发展的途径，实现两个提高：提高对中学数学核心概念及其反映的数学思想方法的认识水平，提高中学数学核心概念、思想方法的教学设计水平。”根据对研究目的的理解，教学设计应该是贯穿教学全过程的活动。其整个过程可以用以下框图来表示：

 

 

 2．如何表达内容和内容解析

 从这几次课题组活动中，教师一般对教学设计中的内容和内容解析、目标和目标解析不够重视。教学设计中的内容和内容解析、目标和目标解析的本质是教学任务分析，要解决的是“学什么？”“为什么要学？”“学后能解决什么问题？”这是教学设计的重要前提，是每位教师在进行教学设计中必须首先做好的工作。教学中存在的各种问题绝大多数与对教学内容的认识不到位、教学目标定位不准确有很大的关系。决定这些任务的是内容所包含的核心概念和思想方法，这些核心概念、思想方法影响后续的教学目标，仿佛是一颗颗大小和品相不同的珍珠自身决定了它能做项链还是做手链一样。因此在内容与内容解析的描述中，应尽量地突出该内容的核心部分，主要表达两层含义：“学什么内容”和“为什么要学这些内容”。我们来看两个关于《变化率与导数》的课例：

  

  这两个课例中的内容与内容解析的表述不够理想的原因是没有突出内容的核心部分，第一个课例的内容解析太具体而冗长，冲淡了主题；第二个课例主题不够突出。我认为，这里的“内容与内容解析”应当这样写：

 本节课的内容是函数的变化率，主要是学习函数变化率的概念。函数是刻画运动变化过程的重要模型，而函数变化快慢、增减和最值等问题是通过函数变化率的概念来描述的，函数变化率的概念有两种不同的层面，一是平均变化率，刻画的是在某一区间内函数的平均变化状态，二是瞬时变化率，刻画的是函数在某处的变化状态。在本节课中要经历从函数平均变化率的概念到瞬时变化率的概念的构建。

 3．如何表达内容与内容解析

 目标与目标解析的准确表达，最好的方法应该是从我们所期待的教学结果进行求证。从总体而言，目标和目标解析应该包括两个方面：本课必须达到的目标，与学完本课相关的单元或模块后应达到的目标。当然应更侧重于第一层面的目标，避免过于长远和空洞的目标，要紧的是陈述一定要具体。目标的陈述必须是清晰的、明确的，正如加涅所指出的必须能回答“经过教学之后学习者将能做哪些他们以前不会做的事？或者学习之后学习者将会有何变化？”分析两个课例：

 

  这两个课例都使用了“理解”、“掌握”等行为动词来描述目标，但目标和目标解析应该是教学活动过程的上位。如“借助对气球平均膨胀率问题和高台跳水平均速度问题的研究，提炼出平均变化率的概念，并能正确理解平均变化率的定义。”是否暗示着只有通过气球平均膨胀率问题和高台跳水平均速度问题这两个问题才能够正确理解平均变化率的概念？又如“经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。”这一目标的陈述对于教学而言是不明确的。如何“抽象概括”？怎样“源于生活，又服务于生活”？学生学习后会进行“抽象概括”和“源于生活，又服务于生活”吗？目标和目标解析的不明确和空洞的问题是教学设计中的一大问题，课题研究应该在这个方面加大研究和实践的力度。

 如何有效地陈述目标与目标解析呢？我认为采用“五成分目标”的陈述较为恰当，即陈述时要给出学习行为发生的情境，学习的类型，教学行为的对象，学生学习过程中采取的具体行动，以及与之相关的学习工具等的规定。描述目标与目标解析一般应用性能动词和行为动词。例如：

目标：理解函数平均变化率的概念，会运用平均变化率表示函数变化的状态；通过平均变化率的概念理解函数瞬时变化率的概念。

目标解析：通过实例用函数平均变化率的大小表示函数变化的快慢；用数学符号、几何图形准确表示函数的平均变化率；通过实际说明平均变化率不能表示某处的变化状态；由函数在某处附近的平均变化率的概念导出瞬时变化率的概念，并会用瞬时变化率表示函数变化状态，知道瞬时变化率就是导数。

    是否可以这样认为：目标与目标解析是教学过程中用行为动词描述的教学对象在教学情景按照一定的规则和程序所要达到的目标。

    二、教学策略是串起珍珠的链子

    在明确了内容和内容解析，目标和目标解析以后，教学设计的重要部分是教学过程设计，教学过程设计的本质是教学策略的选择过程，教学策略是串起教学内容中核心概念珍珠的链子，教学策略的优劣，直接导致教学产品的优劣。教学策略的选择应该始终围绕目标中的核心概念开展，只有这样，才不至于被细枝末节的问题所淹没。下面针对《变化率与导数》这一课例的再设计（片段）。

      1．引入：给出第一颗珍珠：函数变化有快慢

      教师陈述：同学们都知道，函数是描述运动变化规律的重要的数学模型，例如我们可以用表示球体体积与半径的函数关系，可以用表示跳水运动员从10米高台跳水时相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）的函数关系。

大家都玩过气球，吹过气球，我们甚至在中央电视台看到过吹破热水袋的节目，不知大家注意到这个现象没有？假如吹气的频率和气量是一样的，那么气球膨大的速度是前面快还是后面快？你能用数学知识解释吗？

    设计意图：目的是让学生直观感知运动变化过程是有快慢的，而这种变化的快慢是可以用数学概念来刻画的。为建立函数的平均变化率打下基础。

     2．串起第二颗珍珠：函数的平均变化率

    （1）教师陈述：假设气球是标准的球体，其体积V（单位：L）与半径r（单位：dm）的关系如上，那么当吹进气球的气体从0增加到2L时，气球的半径增加了多少？

学生解决：因，，即气球半径增加了0.78dm。

    （2）教师问：气球半径的平均增长率是多少？

    学生解决：，即充气量从0L增加到2L时，气球半径的平均增长率为0.39（dm/L）

    （3）教师问：当吹进气球的气体从2L增加到4L时，气球半径的平均增长率又是多少？

    学生解决：（dm/L）

    教师陈述：我们看到，在充气速度恒定的条件下，气球半径的平均增长（膨胀）速度明显在减小，我们把这种函数的平均增长率或平均减少率都称为函数的平均变化率，同学们都看到了，函数的平均变化率是刻画函数变化快慢的重要的指标，同学们能否用数学语言（符号）来描述什么是函数的平均变化率？

    设计意图：从平均增长率这个学生熟悉的概念，引出平均变化率的概念，让学生知道可以用平均变化率表示函数变化的快慢。

    3．串起第三颗重要的珍珠：函数平均变化率的概念（核心概念之一）

    （1）师生互动：函数从x1到x2的平均变化率可用式子

    （）

    表示，用表示从x1到x2的变化量， 表示函数从到的变化量，函数的平均变化率可以表示为：。要特别指出平均变化率与自变量变化的区间[，]有关，与与的先后顺序无关。

设计意图：数学的抽象是数学本质的体现，也是数学学习的重要任务，要让学生经历这样的过程。

    （2）教师陈述：观察的图象，平均变化率表示什么？

    师生互动：平均变化率表示的是连接两点（，），（，）直线的斜率。

    设计意图：为学习导数的几何意义打基础。

    4．追求完美是进步的动力：平均变化率不能表示某处的变化状态

    教师陈述：奥运会临近，跳水是优美的运动项目，你能用某段时间内的平均速度描述其运动状态吗？我给出的时间段为（1）；（2）；（3），你能对所得到的数据作出说明吗？

     学生解决：（1）在这段时间里，（m/s）；（2）在这段时间里，（m/s）；（3）在这段时间里，（m/s）。

 

     师生互动：（1）表示前一时间段里平均速度大吗？正负号表示的是什么意思？（2）平均速度为0表示运动喘这段时间里是静止的吗？（3）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

    5．串起另一颗重要的珍珠：函数的瞬时变化率

    （1）教师陈述：从上面的学习过程，我们认识到，运动员的平均速度不一定能反映他在某一时刻的运动状态，因为在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？

师生互动：由于我们不会求物体在某一时间的瞬时速度，但我们知道在情形之下，跳水运动员在某一时刻附近的速度是相近的，我们可以用这一时间附近区间上的平均速度近似地代替瞬时速度，比如，我们要求时的瞬时速度，可以任意取一个时刻，时间改变量，可以是正值，也可以是负值，可利用EXCEL表格计算：

   

 

    （2）教师提问：当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？

    师生互动：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值。这个确定值，就是在时刻的瞬时速度，瞬时速度可以认为是在时间时刻附近区间，当趋近于0时，平均速度的极限。如果把看成是高度关于时间的函数的话，瞬时速度可以认为是函数的瞬时变化率。

设计意图：用某时间附近的平均速度近似地表示该时刻的瞬时速度，采用近似代替，无限逼近的思想，从量变到质变，实现概念的飞跃。

    （3）教师提问：你能用数学语言描述函数在处的瞬时变化率吗？瞬时变化率就称为导数。

    由此导出函数瞬时变化率的概念：函数y=f (x )在x=x₀处的瞬时变化率是:

我们也称它为函数在处的导数，记作或，即

。

 人教A版主编寄语说：数学是清楚的，数学是自然的。那么，中学数学的教学设计何尝不是这样，教学设计同样也应该是清楚的和自然的。如何做到？我认为，关键是将教学内容中的一个个核心概念及思想方法，象一颗颗珍珠精心设计成一条完美的链子一样，有机地串联起来，形成具有前后一致思想的教学主线。