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让学习活动成为“再创造”的过程
——对直线的倾斜角与斜率、平均变化率教学的思考
“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计研究”课题组于2008年4月18日~20日在杭州西湖高级中学召开第六次课题研讨会，其中，由3位教师根据“中学数学核心概念、思想方法教学设计框架结构（试行稿）”，以“直线的倾斜角与斜率”、“平均变化率”（2位）为课题上了3节课。本文是在听课之后，综合教师们讨论的意见，就这两个课题的教学进行的思考，为进一步的教学设计提供参考。 1. 对数学本质的准确理解 要上好数学课，首先教师要了解数学知识的发生、发展过程，对数学知识本身有一个准确的理解，把握数学的本质。 1．1 为什么要定义直线的倾斜角 解析几何的特点是在坐标系中研究几何问题。 为什么要定义“直线的倾斜角”？在直角坐标系中，经过一点可以画无数条直线，为了区别它们的位置关系，用角来区别比较方便，这就需要定义倾斜角。明确了定义的目的、作用，也就明确了定义的必要性以及如何定义这个概念。要用角来区别直线位置就需要一个基准，一个参照物，这个参照物就是x轴及它的正方向。角是由同一点出发的两条射线组成的图形，因此还需要规定直线的方向，这就是向上或向右的方向，这样，直线的倾斜角是哪个角就明确了。由于目的清楚，直线的倾斜角的范围自然就应该是0°≤α＜180°。 倾斜角是用来刻画直线在直角坐标系中倾斜程度的量。 1．2 为什么要定义斜率 有了倾斜角已经可以刻画直线在直角坐标系中的倾斜程度，为什么还要定义“斜率”呢？这是为了对倾斜角进行代数刻画，便于以后参与运算，用代数的方法处理几何问题。这是解析几何的本质。 规定：直线的斜率k＝tanα（α≠90°）。但是，斜率有一个缺点，就是不能表示与x轴垂直的直线。换句话说，倾斜角不是90°的直线的倾斜角的正切值才称为该直线的斜率。斜率也是用来刻画直线在直角坐标系中倾斜程度的量。 至此，对直线倾斜程度的几何、代数两个方面的刻画工作就已经完成。 1．3 为什么要定义平均变化率 不能不说到微积分的创立。 促使微积分产生的因素主要有四种类型的问题：第一类问题是，已知物体移动的距离表示为时间的函数，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数，求速度和距离。困难在于，17世纪时，所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。计算瞬时速度就不能象匀速运动时计算平均速度那样，用物体移动的距离去除以运动的时间；同样，反过来，也不能用物体运动的时间乘任意时刻的速度来求得物体移动的距离。 第二类问题是求曲线的切线。光学是17世纪的一项较重要的科学研究，其中重要的是，光线同曲线的法线间的夹角问题。而法线与切线垂直，因此，问题在于求出法线或者切线。涉及切线的，还有运动物体在它的轨迹上任一处的运动方向是轨迹在该点的切线方向。研究“两条曲线相交的角度”问题也需要研究切线。而只对圆锥曲线适用的，把切线定义为“和曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”已经不够了，这就需要发展。 从一般意义上重新讨论曲线的切线问题由法国数学家罗贝瓦尔（Roberval）提出。他认为，“曲线是由运动的点生成的”，“是一个动点在两个速度作用下运动的轨迹”，“把切线定义为合速度方向的直线”，这样就“把纯几何与物理联系起来了”。 其他两类问题是求函数的最大、最小值问题以及求曲线长的问题。 科学家们在如何求出曲线上某一点处的切线这个问题上想了许多办法。费马（Fermat）的办法是“求该点的次切线”。他考虑，要求出曲线在点A处的切线，先考虑与A邻近的一点C，并暂时认为这一点也在曲线上。费马采用了“与求函数的极大、极小值类似的方法”，他的方法“完全依赖于深奥极限理论”。 由此可见，微积分的创立主要是由研究变速运动而产生的，是由研究曲线在某点处的切线而产生的。定义平均变化率是为了定义变化率。这给教学设计提供了可靠的历史背景。 还必须特别注意的是，科学家们在研究解决这些问题时，运用了一些十分重要的数学思想，“包含了运动，变化和无限”。把一点的问题转化这点附近的问题来研究，静态的问题的动态研究，“以直代曲”，以及无限逼近的（极限）思想。 作为教师，必须充分、透彻的了解这些数学的“原生态”、“数学的源与流”，要了解科学家们在解决问题时的“火热的思考”，带着对数学本质的认识来设计自己的数学教学。 2. 对教科书的认真研究 教科书是教科书编写人员，认真学习《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》），理解课程理念，认真研究教学目的，并运用心理学、教育学原理精心研制的供学生学习数学的载体。教学内容的呈现方式表现出逻辑性，形式化，简约化。还注意到学生的年龄特点，增强“亲和力”，使教科书“好读”。教科书又不同于“自学读本”，它还考虑到学生学习时教师的存在，甚至留有教师发挥的空间，使教科书“好用”。当前“用教科书教，而不是教教科书”对教科书的反叛似乎成为一种时髦，我们认为这是不可取的，当然也不是照本宣科，照搬教科书。正确的态度是，尊重教科书，理解教科书的编写意图，用好教科书。当然，可以根据学生的具体情况，对教学内容作出自己的思考，灵活地使用教科书，比如课时的安排，教学内容的呈现方式等，也就是教材处理。这里的“灵活使用”是指完成《课程标准》规定教学内容、教学要求下的灵活，不是置教科书于不顾，置教学目的于不顾，违背教学大纲，违背课程标准，另搞一套，误人子弟。 关于直线的倾斜角，教科书中这样写道：“过一点P可以作无数条直线l1，l2，l3，…它们都经过点P（组成一个直线束），这些直线的区别在哪里呢？”让学生明白为什么要定义倾斜角，感受概念产生的必要性。“当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基准，x轴的正方向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。”这就指出了怎样定义，让学生感受到定义的合理性。“当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°。”这个补充定义体现了定义的“完整性”。这就是定义的过程，要让学生感受来龙去脉。 关于直线的斜率，教科书中提出了一个“思考”：“日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量。”通过学生初中学习过的“坡度”概念，把几何与代数联系起来，定义直线的斜率k=tanα（而不是k＝cosα等其他），完成直线倾斜程度的代数刻画。 关于平均变化率问题，教科书在章头图部分不仅给出了运动员高台跳水的图片，还画出了示意图以及图上某些点处的切线，把运动与曲线的切线联系起来。第一小节节名是“变化率与导数”，也就是说是研究“变化率与导数”问题。为什么要通过“平均变化率”来研究“变化率”呢？这不仅是必要的逻辑顺序，而且其中蕴涵了重要的数学方法和数学思想。 教科书提供了两个典型例证，充分利用“高台跳水”这个例证，引入如何研究瞬时速度（变化率）的问题，从而引入平均变化率的研究。教师要认真研究章头图，研究这一节的主要内容、核心概念、教学目的。注意到“导数的概念是微积分的核心概念之一”，而不是平均变化率。因此，我们认为，这一节内容中最有价值的东西是怎样把变化率问题转化为平均变化率问题来研究，然后通过“逼近”来解决变化率问题，以及这其中所体现的数学思想，这就是应该设置成学生“再创造”活动的关键点。而不仅是让学生了解什么叫平均变化率和会计算平均变化率。 3. 对教学过程的精心设计 《课程标准》指出：应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。 要使数学教学活动成为学生“再创造”过程，教师自己首先要做到“再创造”。教师除了必须了解数学发展的历史，数学发展的“原生态”，领会其中的数学思想，对数学本身有很好的理解，还要研究教科书的编写意图，进行精心的教学设计，“再创造”为课堂上学生探究活动的材料，为学生的“再创造”创造条件。比如设置适当的教学情境，恰当地提出问题，引起学生的认知冲突，激起求知的欲望，促使学生主动参与、积极思考，通过教师的启发、引导，让学生经历数学概念的发生、发展过程，学到数学知识，领悟数学思想，掌握研究问题的方法。让学生“再发现”，“再创造”。这也因为，我们不可能（也没必要）让学生去重复前人解决问题的全过程。因为仅就“微积分问题至少被17世纪十几个最大的数学家和几十个小一些的数学家探究过。”这里主要是使学生能大致经历数学家获得数学发现时的思维过程，体验数学家们研究问题的逻辑过程。教师要认识到，教育的根本目的是培养人。 关于直线的倾斜角，教师边演示（比如用几何画板演示直线束）边提出问题：“解析几何的特点是在直角坐标平面上研究问题，经过一点可以画无数条直线，怎样把它们区别开来呢？”然后由学生提出解决问题的办法。学生根据教师演示的直线束，会发现这些直线转过的角度不同，发现用角把它们区别开来比较简便。那么“角的顶点、两条边（射线）分别是什么呢？”因为研究的是直线与x轴相交的情况，自然选择直线与x轴的交点作为角的顶点比较合理；选择由这个顶点指向正方向的射线作为角的一条边（基准），还有一条边选择直线向上的方向为好。选择直线向下的方向不是不对，是不好。这样哪个角就确定了。“这样定义，能表示经过一点的所有直线吗？”不行。我们把直线平行于x轴时的倾斜角定义为0°。定义为180°也行，但不好，要小的不要大的，计算方便，合理。这样倾斜角的取值范围就是0°≤α＜180°。在教师与学生会话、协商中完成概念的形成过程。学生感受到这个概念就是我们大家定义的，不是老师一人给的。 借助学生已经了解的坡度知识过渡，引入斜率的概念k＝tanα（α≠90°）也显得自然。教师可以让学生比较直线的倾斜角与斜率各自的特点，突出斜率是对直线倾斜程度的代数刻画，是解析几何的本质。符合《课程标准》指出的“理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程……” 关于变化率，教师指出，当物体做匀速运动时，瞬时速度等于位移除以时间，即 学生受匀速运动以及图像的支持，就可能迁移成，可以先研究该时刻邻近的一个时间段的问题，得到“瞬时速度≈平均速度”。这个“平均速度”正是“平均变化率”，这个“瞬时速度”正是“变化率”，也就是“变化率≈平均变化率”。它充分体现了微积分解决问题的特点，把一点的问题先转化为包含它的一个邻域的问题，先找出近似表示，再让这个邻域无限趋向于零。变化率是平均变化率的极限。 在研究运动员在某时间段平均速度的例证后，不难理解抽象出的数学概念：我们把 今后，对于变化率、平均变化率这些抽象的数学概念，在学生头脑中，就是以物理中的变速运动在某一点的瞬时速度、这点邻近的一个时间段的平均速度等来进行样例性表征的。也符合《课程标准》指出的“学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的含义，体会导数的思想及其内涵”的要求。 陆游说过：“纸上得来终觉浅，绝知其事要躬行。”在学生探究运动员在某时刻的瞬时速度怎样求的过程中，学习方式改变了。是“通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法。” 教科书中还提出了“思考”：“观察函数y＝f（x）的图象（图略），平均变化率 有了平均变化率以及它的几何意义，运用无限逼近的方法，就不难懂得变化率以及它的几何意义，这为下一节课的教学埋下伏笔。 微积分初步这部分内容的教学，我们认为，可以采用“物理例证、几何直观、代数抽象”“三头并进”的方式，即借助物理例证的支撑，加强函数图像的几何直观，促进抽象代数概念的理解。在不严格定义极限的情况下，更需要这样做。 4. 结束语 数学高度抽象的特点，更需要实际问题的支撑，更需要学习者学习过程中的亲自体验、独立思考、主动参与，用内心的体验与创造的方法来学习数学。只有当学生通过自己的思考建立起自己的数学理解力时，才能真正懂得数学，学好数学。让学生经历“再创造”的活动过程，就是为学生的感受、体验和思考提供有效途径。学生在这样的学习活动中，从自己的经验和认知基础出发，在教师的指导下，通过自己的“再创造”的活动过程获得的数学知识，与被动接受、强化储存获得数学知识相比，效果是截然不同的。在这样的“再创造”过程中，学生不仅学到了数学知识，还学到了研究问题的方法，学会学数学。这种再创造过程可以培养创新意识和创新能力，同时也训练了坚忍不拔、百折不挠的意志品质。 参考文献 1 克莱因著，朱学贤等译．古今数学思想．上海：上海科学技术出版社，2002，8 2 张顺燕．数学的源与流．北京：高等教育出版社，2003，12．第2版 3 曹才翰，章建跃．数学教育心理学．北京：北京师范大学出版社．2006，6．第2版 4 钱佩玲．如何认识数学教学的本质．数学通报，2003，10 5 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）．北京：人民教育出版社，2003，4 6 普通高中课程标准实验教科书·数学必修2（A版）．北京：人民教育出版社，2007，2．第3版 7 普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-2（A版）．北京：人民教育出版社，2007，2．第2版 |
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