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2011年数学中考复习研讨 ——探究数学中考复习备考之策略 2011年3月 中考前的数学复习，应该是将学生： （1）三年所学数学知识系统化的过程； （2）平时积累的解决问题的体验提升为科 学探究问题的方法； （3）知识与方法融会贯通的过程。 这均需要数学教师对考试内容和考试要求的准确把握、对复习规划进行科学合理的设计、对复习策略进行恰当的运用。 为实现这一目标，我们应该做到： 一、研读考试说明，明确命题方向 ¡河北省2011年中考数学学科《考试说明》，分别从考试性质（指导思想、命题范围、考试要求）、考试形式及试卷结构、考试内容与要求（数与代数部分、空间与图形部分、统计与概率部分、课题学习、数学方法与数学思想、题型示例）三部分提出了详细而具体的要求，为我们的数学复习备考指明了方向．我们数学教师必须要认真研读，领会精神，把自己的复习工作真正落实到的数学《考试说明》的要求上来．具体地讲： 1、领会指导思想的含义 ¡在指导思想中，特别提出了四个“坚持有利于”，从宏观角度说明了11年河北省中考数学命题的原则，同时，也对数学学科的命题提出了具体建议，即： ¡关注课标（核心观念和能力）， ¡注重基础， 注重结果， ¡ 注重过程，体现能力（思维能力和思维方式）， ¡突出应用， ¡ 落实创新． 2、把握命题范围 ¡《数学课程标准》第三学段所规定的内容为考试范围，考查七至九年级所学数学基础知识与技能、数学活动过程与思考以及用数学解决问题的意识．（增加） 3、掌握考试要求 ¡考试要求分三个层次提出： ¡基本要求---了解、理解； ¡中等要求---掌握、会用； ¡较高要求---运用、解决问题． ¡三个层次的要求，依次逐级提高，并通过对题目探索与解答，间接检验学生经历特定数学活动过程，以及体验在具体情况中认识对象的特征所获经验的水平．（增加整合） 4、考试形式及试卷结构 ¡考试采用闭卷笔试形式，全卷满分为120分．考试时间为120分钟． —全试卷包括Ⅰ卷和Ⅱ卷．Ⅰ卷为选择题，Ⅱ卷为非选择题． —数与代数、空间与图形和统计与概率所占分数的百分比与它们在教学中所占课时的百分比大致相同．数与代数∶空间与图形∶统计与概率约为5∶4∶1.（减少了“蕴含适量的实践与综合应用的内容”） 试题分选择题、填空题和解答题三种题型．选择题是四选一型单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程或推证过程；解答题包括计算题、猜想探究题、实验操作题、证明题、实践与综合（添加）应用题等，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程． 试题按其难度分为容易题、中等题和较难题．难度为0.7以上的题为容易题，难度为0.4～0.7之间的题为中等题，难度为0.2～0.4之间的题为较难题．三种试题分值之比约为3∶5∶2，整套试卷的难度系数为0.65左右． 5、透彻理解考试内容与要求 ¡吃透数学《考试说明》中对考试内容的具体要求，认真进行对比分析（2011年与2010年差异），深入钻研考试说明中的题型示例（所列样题仅用于体现各种题型的特点及难度，它与考试时试题的题序安排、考查内容、题目难度没有对应关系），真正做到复习备考时心中有数，并落实到具体的课堂教学之中． ¡要特别关注考试说明中的实例 ¡ 《学科说明》中的基础知识和基本技能、数学思想等，因课程标准的要求，不会有太多的变化，但我们在研读考试说明时，注意比较每年考试说明中改变的部分，尤其是一些细节问题。 ¡学科说明的题型示例每年都在进行变化，所以它具有很好的指导作用，研读时注重使用学科说明中题型示例的作用。 ¡ ¡例如说，2010年的示例中：在说明中就改变了一次函数的考查方法，而出现的是将一次函数与反比例函数结合在一起的题型示例，这在2010年的在中考中就验证了有很好的引导作用。 ¡ 对于二次函数的考查，《考试说明》中给出了两个典型的题目，两个题目均为销售应用性问题，只是考查方式有所不同，恰恰2010年的中考中，作为压轴题的二次函数应用，就融合了这两道题的精髓。 二、分析中考试卷，把握考试要求 ¡（一）整体评价 —河北省2010年的中考数学试卷，在继承我省近几年中考命题整体思路的基础上，坚持“整体稳定，局部调整，稳中求变、变中求新”的命题原则，较好贯彻了《数学课程标准》的基本理念和《2010年数学学科考试说明》的具体要求，突出实现了对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的考查，关注学生的数学学习过程和创新意识．整套试题在确保必要知识覆盖的前提下，较好实现了重点知识重点考查的目的． 1、整体稳定，局部调整 ¡2010年的中考数学试卷仍然保证整体格局稳定，选择题12个；填空题6个；解答题依然是8个小题．各题型的分值和部分试题的考查重点，也作了相应的调整，有利于数学成绩的整体提高． 2、体现基础，注重能力 ¡整套数学试卷从支撑学科的基本知识、基本技能和基本思想方面命制试题，重点考查学生在这一学段所必须掌握的通性通法，特别关注考查学生的思维能力和思维方式，淡化繁杂的运算和技巧性很强的方法． 3、注重实质，突出重点 ¡2010年的数学试卷在很大程度上注重对数学内涵的考察，联系实际的问题，也尽量减少了现实情境的阅读量，将对非数学问题理解的影响，控制在一个合理的范围，较好落实了对数学核心内容、重点内容的考查力度． （二）试题分析 ¡在12道选择题和6道填空题中，第1~7、13~15题，这十道小题分值为23分，考查知识点单一且基础，属于送分题；第8~12、16~18题，这八道小题分值为19分，多数问题是有现实背景的应用题，属于小范围的综合题，其中的求值类问题，运算量均较小，旨在考查最基本的数学思想和方法，更多地关注学生的思维过程． ¡第三大题共有八道解答题，前四道（第19~22小题）大题，共34分，分别从代数式变形和运算，以圆的知识为载体的几何应用，统计与概率知识的理解与应用，以及对二次函数概念的理解与应用等方面进行了专题考查，属于单个知识板块的小型综合类问题，运算量不大，解答过程在3~6步之间，重在考查学生的思维过程； ¡后四道（第23~26小题）大题，分两个层次，第23、24小题，重在考查学生的形成性学习方法与能力，以及合情推理和演绎推理能力；第25、26小题，属于传统意义上的压轴题，重点考查学生的综合运用数学知识分析和解决问题的能力，包括知识综合、方法综合以及数学思想的综合运用． 具体的描述 ¡第1题和第13题分别直接考查有理数乘法和相反数的概念；将数轴和矩形进行巧妙整合，考查学生将边长转化为简单运算的能力，这样既避免了对知识、法则的死记硬背，同时又能够考查学生对所学数轴的灵活运用； ¡第19题则是考查解最基本的分式方程的技能，也是我省多年来首次直接考查方程的解法。 ¡（原卷第20题） ¡ 评析 本题小巧玲珑考法新颖，题目的背景清晰、明快，设计自然、合理。对几何图形进行变换，是空间与图形领域中的基础性知识，体现了对基础知识和基本方法的考查。光点所描述的在正方形网格中不同旋转变换状态，没有采用单纯的文字式平铺直叙的方式给出，而是另辟蹊径，借助程序化的方式呈现，将光点的数学产生过程与学生动手作图的技能活动完美的衔接起来，这样设计使得问题的内涵更丰富，既有阅读理解又有动手操作。 ¡尤其是第（2）小题的设置，通过计算光点P经过的路径的总长，使问题既具有一定的开放性又隐性考查了分类的数学思想，把数学问题内部的纵向探索蕴含在深入的探究圆与圆外切活动之中，很有“情理之中，意料之外”的意味，全面考查了学生的阅读理解和数学迁移能力，以及在已掌握旋转知识的基础上将所学知识应用于新情境的能力情况，突出了试题的思考性和延伸性，确保了题目具有较高的区分性和较好的效度． ¡原卷第21题 ¡ 评析 本题以学生在学校学习活动中常见的英语口语竞赛问题为素材，以双图（条形统计图+扇形统计图）加一表（表格）的形式交叉呈现数据。学生需要通过读图，分析图获得信息，进而深入分析两个图之间相互联系，互相补充获得数据，较好地考查了学生利用统计图描述数据的能力，以及考查学生分析问题和解决问题的能力。在解决问题的过程中只有读懂图才能补全图，只有补全图才能完成后边有理有据的决策问题，问题设计环环相扣，层层递进，这种考法有利于落实对学生的综合判断能力的考查． ¡（原卷第22题） ¡评析 本题将一次函数、反比例函数及其图象、待定系数法、数形结合思想、转化思想等核心内容有机的融合在一起，较好考查了学生获取数学信息及认识数学对象的基本过程和方法，以及综合解决问题的能力。题目设计为循序渐进的三问，设问入手简单，前两问是学生常见、常练的题型，入口容易．然后问题难度逐渐增大，最后一问在较深层次知识交汇点上设计问题，挖掘了点的位置与函数解析式间的奇妙的联系。 ¡通过直观性思维，降低了本题的难度，为学生创设了探究和思考的空间，完成了由函数关系到不等式关系的数形转换，由于本题设问清晰自然，难度恰当，使得不同水平的学生都有机会表达自己对问题的理解并展现自己解决问题的能力，在一定程度上确保了试题能合理区分不同的学业水平，并巧妙地避开了直线方程与曲线求交点的过程，正所谓“四两拨千斤”。 ¡（原卷第23题） ¡本题通过对“观察思考”新知识内容的阅读学习进而应用，可以说是另一种考查学习过程的构题方式．这类问题的核心是考查学生的概念理解能力、“新知识”和已学知识联系与转化的能力，以及现场学习、迁移和应用的能力．它既要求学生善于对新情景、新信息进行有效的加工和整合，形成对概念的认识，又要求学生能对所学知识进行必要的迁移、拓展、变形应用．所以，这类试题多有较好的区分度和可推广性。 ¡（原卷第24题） ¡评析 本题与去年相比似乎是在演“连续剧”， 今年以几何中最简洁的基本图形（“8”字形）为载体，通过对直线的MN的旋转变换和拉伸OB为手段，在三角形中利用添加辅助线构成全等形进而构成相似形的判断作为论证的主体，完成从合情推理到演绎推理的客观要求。题目采用分层递进的方式探究相关线段间的大小和位置关系，实现特殊到一般的思想（全等到相似）的数学领悟。 ¡本题的基本结构是：先证明某个结论在某种情况下成立，再改变问题的条件，让学生探讨在另一种情况下原来的结论是否还成立。这种命题技术，可以较好地考查学生分析、迁移能力，同时也是一种很好的数学思维方式，由此及彼的联想可以往往提出有价值的数学问题，因而对初中日常教学也是有益的． ¡（原卷第25题） ¡评析 ：去年首次取消将“动点问题”作为最后压轴题的做法，而是通过降低难度的形式前移到倒数第2题的位置。本题打破过去单纯从动点、动线的角度切入的常规方法，而是借助双动点使其中一点运动迂回造成同向等速，从而构成在某时段PQ为定值的构思新颖的运动状态，尝试了从不同角度考查学生采集“数”与“形”信息，寻求解决问题方法的能力。重点考查了分类讨论、方程思想、化归思想。使得本题在《课程标准》的要求范围内具有了较高的区分度。 ¡（原卷第26题） ¡评析 本题是函数中“方案决策类”试题，原型是《学科说明》中的题型示例的第26和27题的整合，但试题在呈现方式上做出了创新。试题贴近社会经济的营销利润问题，使考生真切地感受到“数学来源于生活”，体验到数学的“有用性”，又返回来指导生活”的价值”． 题目全面考查了函数、方程、不等式、最值等知识，这样设计体现了《课标》的“问题情景—建立模型—解释、应用和拓展”的数学学习模式． ¡像这样的“方案决策类”试题，其所考查的内容和思想方法却是非常重要的，其考查目的也是一般的方程与不等式题目所不能完全体现的，具有一定的独特性和挑战性．在多数情况下，解这种试题要以“方程和不等式” 作为解决问题的工具，且由于题中含有由“不确定”中找确定的因素，所以关联了方程与不等式等数学模型的建立与应用．一般地，确定一个量的值的问题基本上都可以转化为方程问题，而要确定一个量的范围的问题，往往要转化为不等式的问题． 三、探究复习策略，提高复习效率 ¡在我们的中考数学复习备考中，还存在着一些问题，如教师讲解过多、课堂容量过大、学生难以接受；所选例练习题与学生的实际水平差距过大，学生难以接受；教师留给学生思考、交流、探究的时间过短，学生难以消化理解等，所有这些均有可能造成我们的数学复习课效率不高现象的发生．事实上，一个概念的复习、一个题目的选取、一种方法的产生、一堂课的设计、一次作业的布置、一次测试的规划等等，都要问一问是否有效？有效程度究竟有多大？ ¡有鉴于此，我们不难发现，提高复习质量的根本就在于优化复习课的课堂设计与教学过程．我们的初三数学复习课必须要加强针对性，必须要围绕“高效”这两个字做文章，切实提高复习效率．
（一）要遵循以下四个原则： ¡1、主体性原则 —主体性原则即还课堂于学生．复习课应充分调动学生的主动性，发挥学生的主体作用．基础知识的复习，要让学生动口、动手．教师应明确提出要求，规定任务，启发引导学生进行思考，给学生留足时间和空间，允许学生自主探究，合作交流，允许学生失败、暴露出问题，只有这样，才能让学生不断地自我总结，得到提高． 2、针对性原则 ¡（1）针对学生实际 —复习不仅要针对数学《课程标准》、教材和《考试说明》的要求，针对教学内容的重点、难点和疑点，而且更应该注意针对学生的实际情况，针对学生在学习过程中的薄弱章节，薄弱专题设计复习课的内容．在复习过程中，注意树立两个意识的复习策略，注重学生“平台”意识，即要关注学生已有的知识和经验．注意树立“抓分”意识，即在各个复习阶段中怎样让学生得分的目标要具体，落实要到位． （2）有针对性地上好试卷讲评课 ¡讲评前要做到：课前要做好考试试卷的“一统”、“五查”、“三归纳”．“一统”：统计试题及知识点得失状况．“五查” ：查引起错误的原因，查学生审题偏差，查知识掌握漏洞，查应用能力缺陷，查思维方式障碍．“三归纳” ：讲前归纳本套试卷考查目标、涉及的知识范围；采用的题型和背景材料；解题用到的主要方法和技巧． ¡讲评时要做到：要对正确率高的试题“点到为止”，对错误率高的试题则仔细解剖．由学生错误结果，逆向分析其思维失误的原因，这样才能真正“对症下药”．对涉及重难点及能力要求较高的试题则要适度迁移，让学生举一反三，多角度、全方位思考，或改变题目中的某些条件，进行变式训练，在变式训练中帮助学生掌握问题本质，提升解题能力． ¡讲评后要做到：试卷讲评课千万不能以“讲完了”了事，要进行适度地深化与提升，使学生对“双基”的认识能做到横向联系有创新，纵向联系有突破，通过达成“教会了”的较高目标，迈向“形成了能力”的终极目标． 函数解题失误分析 ¡2010年湖北恩施，22题 ¡22.(10分) 恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售． ¡（1）若存放天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为元，试写出与之间的函数关系式． ¡（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用） ¡（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 分析 ¡本题主要考察函数的应用，一元二次方程的解法以及分析问题和解决问题的能力。 ¡失误一：没有完全理解各个元素之间的关系就开始解题，没有找到y与x之间的函数关系，把销售总金额与支出各种费用相混，而误得y与x之间的函数关系是： ¡Y=(10+0.5x)(2000-6x)-340x 失误二 ¡失误二：缺乏联系生活经验的意识，未考虑问题的实际意义而错解： ¡（2）由题意得：-3x2+940x+20000-10×2000-340x=22500,解方程得：x1=50,x2=150,所以李经理想获得利润22500元需将这批香菇存放50天或150天时出售. 失误三 ¡失误三：受思维定势的影响，用“想当然”代替现实的片面意识，误把第⑵问的22500元当作最大利润.或由求最大值而错解：设最大利润为W，由题意得W=-3x2（200-x）,∴当x=50时W的最大值为22500，∴存放50天后出售这批香菇可获得最大利润22500元. 正解 ¡正解： 解：（1）由题意得与之间的函数关系式为 ¡＝ ¡=（≤≤110，且为整数） ¡（不写取值范围不扣分） ¡（2）由题意得： -10×2000-340=22500 ¡解方程得：=50 =150（不合题意，舍去） ¡李经理想获得利润2250元需将这批香菇存放50天后出售。 6分 ¡（3）设最大利润为，由题意得 ¡=-10 ×2000-340 ¡ ¡当时， ¡100天＜110天 ¡存放100天后出售这批香菇可获得最大利润30000元． 10分 ¡通过分析学生出现的各种问题，引导学生归纳初中数学阅读理解题的解题步骤，可以分以下几步： ¡快速阅读，把握大意.在阅读时不仅要特别留心短文中的事件情景、具体数据、关键语句等细节，还要注意问题的提出方式.据此估计是我们平常练习时的哪种类型，会涉及到哪些知识，一般是如何解决的，在头脑中建立初步印象. ¡仔细阅读，提炼信息.在阅读过程中不仅要注意各数据的内在联系、标明单位、特别是一些特殊条件（如附加公式），以简明的方式列出各量的关系，提炼信息，读“薄”题目，同时还要能回到原题中去. ¡总结信息，建立数模.根据前面提炼的信息分析，通过文中关键词、句的提示作用，选用恰当的数学模型，例如由‘‘恰好……，等于……’’联想到建立方程，由‘‘求哪种方案更经济……’’联想到运用分类讨论方法解决问题，由“求出……和……的函数关系或求最大值(最小值)’’联想到建立函数关系，将题中的各种已知量用数学符号准确地反映出其内在联系. ¡解决数模，回顾检查.在建立好数学模型后，不要急于解决问题，而应回过头来重新审题，一是看看那些数据、关系还没有用上，用得是否准确，要充分挖掘题中的条件并发挥它们的作用；二是关键词句的理解是否准确、到位；三是判断所列关系式是否符合生活经验；四是在解题过程中要善于反思，发现问题及时纠正. 3、指导性原则 ¡基础知识复习过程中，要注重学生能力的培养和提高，教师要明确这节课，这部分内容，要培养学生的什么能力，怎样培养学生的能力，怎样测试学生这方面的能力． ¡教学要指导学法，指导学生寻找思维的切入口和思维过程中的思维方法及注意点，帮助学生处理好基础与能力、课本与资料、练习与思考、做题与纠错、课内与课外的关系．课堂教学中要注意指导学生按“是什么？为什么？怎样做？怎么想到这样做？”这一思维方法，思考问题，解决问题． 例如课题类学习 ¡课题学习类试题在近年来中考数学命题中频频亮相，在呈现方式上，既有以动手操作为主的数学实验，又有以动脑思维为主的思辨研究，在目标设置上，既有经历实验、操作、猜想、验证等过程目标，又有体现发现、提出、分析和解决问题的结果性目标，既注重了数学实践应用、动手能力的训练，又强化了数学思想方法的渗透，同时又兼顾了学生阅读分析、迁移知识解决问题能力方面的检测。 以“图形变换”为策略，设计“重叠正多边形性质”的探究题 ¡思考：本题是以图形变换（旋转）为策略，设计奖重叠正多边形，其中的一个图形绕某个顶点旋转所形成的图案，省去糊涂的繁琐，但学生必须搞清图形旋转的特征，既其中的一个正方形是怎样旋转的、旋转中心的位置、旋转角的大小、旋转过程中的不变量是什么等等，要求学生能够触景（图形）生情（探究数学思维情感），经历数学发现过程中的观察思考、探究猜想、推理论证等。 ¡本题从简单的正多边形入手，引导学生的思维拾级而上，其中渗透了数学的分类猜想及不完全归纳法的思想，通过对简单图形的探究获得第一手的感性认识，进而经过合情推理上升为理性认识，猜想归纳出问题的结论。 ¡启示：图形变换是研究几何图形性质的重要手段，是培养学生空间观念的重要途径，在运动变换的数学环境中探究图形隐含的性质与规律，是中考数学命题的热点，这就要求教师在平时的数学教学中，要善于抓住教材中能够开发的几何图形，为学生提供起点低、内容丰富、源于课本又高于课本的课题学习资料，使学生能够通过平移、旋转、轴对称等变换策略的运用，操作实践探究的性质，在探究的过程中丰富、发展和积累数学活动的经验，培养学生实践应用数学知识的能力，强化学生的合情推理及演绎推理能力。 以“阅读理解”为切入点，创建“圆滚中蕴含玄机”的探究题 2009年河北 ¡思考：本题是集阅读理解、实践应用、拓展联想于一体的综合问题，试题首先从最简单、特殊的情形入手，给出了“圆在直线或折线上滚动，圆心经过的路线长（圆自转的弧长）和圆周与直线、折线接触点所滚过的路线长之间的两个规律关系”。 ¡在问题设计上，层层深入，阅读理解是先导，实践应用是训练，拓展联想是创新，处处渗透了分类、化归、建模数学思想，让学生的思维在专家营造的理解、分析探索应用的数学环境中不断深化，让学生经历了从感悟、知识迁移、体验合情推理、有条理地思考表达数学过程。 ¡这个问题的设计由简单到复杂，使学生思维由认识——实践——再认识，循环往复、循序渐进，拾级而上，为学生提供了一个课题研究可以借鉴的重要过程，充分展示了知识的发生、发展过程，蕴含了数学思想螺旋式上升的世态；清晰地解剖了“圆经过拐点时，虽然圆周与拐点的接触点未变，但这时圆心应转过一定的角度，即圆要转过一定的弧长”，这就是本题关键所在——圆滚动中蕴含的一个“玄机”。 ¡启示：数学的阅读能力是学生自学能力的重要体现，是学生思维能力自我训练的有效途径，在平时的教学实践中，教师应适时为学生“提供新材料、创设新情境”，为“促进学生全面、持续的发展、培养学生学会自主学习、自主探索”提供良好的载体。让他们在阅读理解、知识迁移、综合应用过程中归纳发现数学问题的规律，指导学生学会读书、学会理解、学会分析、学会总结，最终达到学会思考、学会学习、学会探究应用的目标。 以“作图操作”为基础，设计“平分题型面积”的探究题 2010年陕西 ¡思考：本题的“问题探究”是让学生通过画图操作探究发现：等分矩形面积的直线必须过矩形的对称中心，最容易发现的是矩形的每一条对角线所在的直线都是平分矩形面积的直线，而且这两条直线的交点正好是矩形的对称中心，由此拓展到过矩形对称中心的任意一条直线都可以把矩形分成面积相等的两部分。 ¡“问题解决”中的梯形我们可以通过D点作高DA，将其转化为矩形和三角形，且直线l所通过的点P(4,2)正好是所转化的矩形ABCD的对称中心，因此直线l只要平分△AOD的面积即可。 ¡整个问题的设计循序渐进，以画图操作为基础，引领学生发现平分中心对称图形面积的直线满足必要条件，然后使学生在实际问题的探究中拓广应用，符合“实践——认识——在实践——再认识”认识事物的规律，其中渗透了类比化归、数形结合、方程函数思想。 ¡启示：《课标》中指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”。操作是思维的起点，也是知识的来源，实践出真知。要让学生主动参与到数学活动中来，让学生在多样化的操作活动中体验数学、感悟数学的真谛。 ¡几何画图是学生实践操作训练的主要渠道，在实际教学中我们多数教师重视逻辑推理能力的培养，忽视学生动手作图能力的培养（因为作图耗时费力），无形中丧失了学生发现、思考的源泉与基础，扼杀了学生创新意识的培养，因此我们在平时应注重学生操作能力的培养，并引导学生在实践操作中进行深层次的思考，使问题探究更好为问题的解决提供理论支撑。 ¡新课程的实施为课题学习提供了契机，为课堂注入了新的活力，从当初的观望到现在的纳入课堂教学，甚至编写相应的教材，都启示我们今后的数学教学中，应该注意选取一些“课题学习”的素材引导学生观察实验、操作探究、归纳猜想及应用，让学生经历“问题情境——建立模型——归纳猜想——解释应用”的数学知识发生、发展的基本过程，获得一些研究问题的方法与经验，在探索的过程中获得成功的体验，增强克服困难的信心，从而促进学生进行科学探究思维方式的养成，为学生发展创新思维及创造能力奠定基础，让课题学习在新课程改革的田园中开出鲜艳的花朵。 4、严谨性原则 ¡有不少学生在考试后会出现感觉良好，得分却不很高的现象，这往往是由于“会而不对，对而不全”造成的．这个老大难问题应该引起重视，并综合治理加以解决．一方面在复习中应注意学生解题格式的规范性、严谨性；另一方面在解答具体问题时，既要重视分析思路，更要强调提笔落实，这也是把复习落在实处的一个有效措施；第三，很少有同学做解题后的反思这项工作，而教师积极引导学生做好解题后的反思，让他们在解题实践中，特别是从失败中吸取有益的教训，以形成自己的解题风格，也是一个提高解题能力的极好途径． 第二，认真处理好复习中的三个环节 ¡1．精化：学会问题解决的关键是学会思考 —复习课堂上尽可能让学生去思考与探究，学生解决问题的关键是看到问题怎么去想？怎么去分析？怎么去转化？ ¡事实上，相当多问题的错误原因不是学生不会，而是学生拿到问题不会分析和寻找问题解决的切入口，所以处理这类问题时显得思路混乱，漏解、误解等现象出现．因此，从第一轮复习开始，就需要我们在复习中进行精化，即精化课堂问题的设计．课堂例题的讨论不在多而在于精，我们不必刻意追求例题与知识的容量，更重要的是追求学生一堂课中思维的容量；不在于学生听到了多少，更在乎学生想到了多少；另外对问题的变式设计（可以尝试去让少于去试试）讨论也可以引发学生更广更深的思考，还能激发课堂讨论的学习气氛．
以数学概念、规则的试题为例 一、通过相近规则推导新规则，引导规则教学，关注教学内部的知识联系 ¡举例说明 ¡例1 （河北2010） 24、在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交 ¡于点O，∠1 = ∠2 = 45°． ¡（1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD ¡的数量关系和位置关系； ¡（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到 ¡图15-2，其中AO = OB． ¡求证：AC = BD，AC ⊥ BD； ¡（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到 ¡图15-3，求的值． 教学导向分析 ¡这种教学中可以选取学生原有知识结构中的相近规则作为教学的起点，引导学生通过观察、分析、比较，形成规律认识，并猜想得到新的规则，再抓住新规则与原有规则之间的联系和区别，通过类比转化等数学思想方法，对新规则进行说理证明，最终建立数学模型。其价值取向是为学生探索新规则创设最近思维发展区后，再让学生主动建构，自我确认，关注学生从形式到实质的理解过程。 2、试题要求举例（正例或反例）说明，引导概念复习课，关注理解和辨析 安徽卷第23题 ¡23.如图，已知△ABC∽△ ，相似比为k，且△ABC的三边长分别为a、b、c，△的三边长分别为a1、b1、c1。 ¡⑴若，求证：a=k c ； ¡⑵若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1 ，使得a、b、c和a1、b1、c1进都是正整数，并加以说明； ¡⑶若b=a1，c=b1，是否存在△ABC ¡和△ A1B1C1使得？请说明理由。 教学导向分析 ¡在数学概念教学中，对概念定义中的关键词进行辨析，是明确概念内涵的一个重要步骤，在这个步骤中，有一个重要的环节是要求学生举例，及正例。这样，从概念的形成（具体）到明确概念（一般），再到举出具体实例，就形成了一个完整的的概念认知过程，有力于学生真正理解概念，防止死记硬背。 ¡另外，为了防止相近概念的混淆，对相近概念进行比较性认识也是必不可少的，而防止概念理解错误的一个行之有效的方法就是举反例。通过对反例的比较，可以从另一个侧面加深对概念本质的理解，其价值取向是从不同层次不同角度理解概念。 3、运用数学思想方法解决问题，引导规则教学，关注数学思想方法的渗透和应用 2010年丽水22题 ¡数学思想方法是学生形成良好认知结构的纽带，也是有知识转化为能力的桥梁，他的教学必须通过具体的教学过程来实现，在规则教学中引导学生参与结论的探索、发现、推导过程，与其他规则比较，应用规则解决问题，都会有意识的启发学生领悟蕴含于其中的种种数学方法，其价值取向是从高位理解规则掌握规则。 2、细化：学会停顿，学会检查 ¡学生对一些数据结果不太满意的解答题，检查方式往往是再做一遍．事实上，在中考中没有过多的时间让我们学生去检查自己做过的题，那么如何帮助学生提高对问题解决的准确率，以及自我检查的能力？我想这就需要我们在后阶段的复习中进行细化，那么细化什么？细化知识的理解和掌握中容易出错的地方，细化解决问题过程中容易忽略的地方，细化学生在不良解题习惯和思维定势的地方． ¡另外，不仅在复习中帮助学生学会停顿，我们还要学会检查，检查什么？检查易出错的地方．我们在最后阶段的复习中，更要帮助学生尽可能多地建立对易出错地方信息的归类和整理． 3、整合：问题整合，知识整合，方法整合 ¡在复习过程中最让我们老师感到头痛的是：学生的遗忘问题．往往在复习的时候学生掌握的可以，等一段时间以后，曾经探讨过的问题，知识与方法又生疏了．遗忘是我们无法抗拒的一个事实，尽管我们一方面依靠学生的思考、探究、反思来强化对知识的印象，另一方面依靠学生的解题训练巩固对知识的理解和掌握．但是仅仅依赖这两方面还是不够的，而且给学生课外训练的负担加重了，所以在最后的复习过程中，需要我们老师注意复习中的整合，整合什么？整合问题、整合知识、整合方法． ¡怎么整合？问题与问题整合，就需要我们归纳题型，找出问题的共性，整理分类，最后归纳总结．所以，重视复习中的整合，不仅进一步巩固了学生对知识掌握，而且也提高了学生对知识理解、掌握与综合运用能力．从而也就提高了我们最后阶段复习的有效性． 已学生熟悉的例题为例整合教学内容 整合内容一 ¡例10：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45 °， （1）求证：EF＝BE＋FD； （2）若“ E、F分别是BC、CD上的点”改为“E、F分别是BC、CD延长线上的点 ”，试探索线段EF、BE、FD之间关系，并加以证明． ¡试题改编： ¡1、(源于证明过程)如图,在四边形ABCD中,AB＝AD,∠B＝∠D＝90°,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF是∠BAD的一半,1）求证：EF＝BE＋FD；(2)若“ E、F分别是BC、CD上的点”改为“E、F分别是BC、CD延长线上的点 ”,试探索线段EF、BE、FD之间关系,并加以证明． ¡2、如图,在四边形ABCD中,AB＝AD,∠B+∠D＝180°,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF是∠BAD的一半,（1）求证：EF＝BE＋FD;(2)若“ E、F分别是BC、CD上的点”改为“E、F分别是BC、CD延长线上的点 ”,试探索线段EF、BE、FD之间关系,并加以证明． ¡3、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD ＝60°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝30°， 求证：EF＝BE＋FD. ¡4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠B＝∠D＝90°, ∠BAD ＝120°，E、F 分别是BC、CD上的点， 且∠EAF＝60°， 求：△CEF的周长. ¡5、如图，AC是正六边形外接圆的直径，EF=BE+DF，求∠EAF的度数． ¡6、进一步推广为正偶数多边形． ¡例11：（1）如图，点D、E分别是正△ABC边AC、CB延长线上的点，且CD=BE，DB延长线交AE于F，求∠AFB的度数； （2）若将（1）中的正△ABC变成正方形ABCM，其他条件不变，求∠AFB的度数（直接写答案）； （3）若将（1）中的正△ABC变成正五边形ABCMN，其他条件不变，求∠AFB的度数（直接写答案）； （4）根据前面探索，你能否将问题推广到一般的正n边形情况．若能，写出推广问题和结论；若不能，说明理由． 整合内容二 ¡原题：如图，四边形ABCD、AEFG都是正方形，M是CF的中点，连接MD、ME， 求证：MD＝ME，且MD⊥ME. ¡一般化 四边形ABCD、AEFG都是正方形，M是CF的中点，连接MD、ME，求证：MD＝ME，且MD⊥ME. ¡特殊化 如图，四边形ABCD、AEFG都是正方形，M是CF的中点，连接MD、ME，求证：MD＝ME，且MD⊥ME. ¡． ¡此题遵循“以人为本”的评价理念，使得能力不同学生有其对应的行为表现，得到不同的评价．因为有很多学生尽管也积极探索最终问题还是没有解决，这些没有解决问题的学生所表现的数学发展水平是不尽相同的，在传统试题设计上可能有很多学生，他们尽管探索水平不同，数学能力不同，但评价的结果相同，本题改变以往评价的弊端，改为要求学生写出探索过程，根据学生的探索水平的不同，给予相应的评价． 我校的整体复习策略 ¡1.回归课标，夯实基础 ¡夯实基础知识，建构知识网络，抓好基础知识和基本训练，绝不仅仅是简单重复、加强记忆，重要的是要从本质上发现数学知识之间的关系和联系，并进一步加以分类、整理、综合，形成一个知识结构系统，使得在记忆系统中储存一个“数学的认识结构”，平时的教学不能只追求速度和数量，不少教师为了有更多的复习时间，为了补充更多的题型甚至题量，对新知识的教与学进行了大幅度的压缩，使学生对新知识的学习缺少理解的环境和时空， ¡虽然从暂时来看学生能见到或是能解更多的题目，但对知识本身来说有不少只是硬记照搬式的，因此所学知识容易忘记，更不能灵活运用．因此九年级数学教学要回到教材，认真研究教材，发挥教材的示范作用，在新授课阶段务必要把教材中的基础知识、思想方法牢固掌握，引导学生理清知识体系；在复习阶段把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成一个整体，形成系统． ¡2.注重过程，培养能力 ¡在加强基础知识的同时，应该加强探究能力的培养．教学中，要将数学教学作为一种数学思维活动来进行，要让学生亲身经历数学问题的提出过程，解决方法的探索过程，问题经历的深化过程，方法能力的迁移过程，让学生在参与数学思维活动，经历知识的产生发展过程中，逐步提高数学能力． ¡重视动手实践能力和创新意识的培养；重视数学语言（文字语言、符号语言、图形和图表语言）的教学规范；重视合情推理能力的培养；重视思维训练，突出数学思想方法的教学．主要数学思想有：数形结合、分类讨论、特殊与一般、转化、方程、函数、基本图形等思想；常见解题方法有：配方法、换元法、待定系数法、割补法等． ¡3.加强规范，培养数学表述能力 ¡学生在答题中，由于书写表达的不规范或是表述能力的欠缺，也是造成失分的原因．如推理证明的表述、分析解答过程的阐述不清等．表述是一种重要的数学交流能力，因此，教学中要重视训练，培养学生良好的数学表述能力．同时也要加强考前指导，学习中考说明中有关答题的要求，尽量减少由于表述不清造成的失分． ¡初中阶段是数学三种语言的基础教学阶段，也是打下数学语言基本功的很好机会．在平时教学中一定要重视对学生口头和书面表达能力的培养，要利用好各种语言教学的时机，通过强化、阅读、转化等方式真正使学生学会数学语言，会灵活使用数学语言，力求达到表述数学语言的准确性、逻辑性、完整性和流畅性． ¡4.突出应用，注重操作与实践 ¡今年的中考数学试题仍然会加强对学生的动手能力和探究能力的考查，这主要体现在考题的形式灵活多样，出现了新题型，这些题类不仅要求学生具有基本的运算能力、思维能力和空间想象能力，还对学生在阅读、动手操作、运用数学知识分析和解决实际问题等方面的能力有了更高的要求． ¡ 总之，复习备考是一个系统工程，既需要明确方向，也需要讲究方法策略，更需要扎扎实实的落实，也只有这样，我们才有可能为在2010年数学中考中取得优异成绩打下坚实的基础！ ¡祝各位老师 ¡ 工作顺利， ¡ 身体健康！ ¡ 中考成功！ ¡ 2011年3月
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