归纳与演绎
1.演绎 在实际生活中，似乎数学也没什么用处。为什么呢？因为数学的本质是推演的，一旦公理体系确立，数学家们就在其中不停地推演，从而，离现实也就越来越远。通过推演，数学为未来世界创造了一个又一个的理想模式，而这些模式常常要过几十年甚至几百年，才会在某个领域内得到应用。所以，从眼前看，数学显得“无英雄用武之地”，但从长远看、从整体看，我们就会选择数学。 徐光启在翻译《几何原本》时写了一篇短文——《几何原本杂论》,对《几何原本》作了高度的评价.这实际上是徐光启这一批先进的中国人,看到了一种新的文化,对它与中国固有文化作了比较.他说:“此书有四不必: 不必疑(因为其一切结论都是明确无疑的),不必揣(因为一切概念结论均不存模糊之处,不必妄加揣测),不必试(凡推理所得都是正确的,无需再经试验),不必改(因为一切都已井然有序,不必改动).有四不可得:欲脱之不可得,欲驳之不可得,欲减之不可得,欲前后更置之不可得.”“似至晦实至明, 故能以其明明他物之至晦；似至繁实至简,故能以其简简他物之至繁；似至难实至易,故能以其易易他物之至难.易生于简,简生于明,综其妙在明而已.”他把几何学之全部力量归之于“明”: 一是指其所基于的原理是自明的,二是指其所用的推论规则也是自明的.徐光启由此而论及几何学对于培养人的功效.他说:“下学功夫,有理有事.此书为益能令学理者祛其浮气,练其精心(即有助于从事原理原则的研究者,去其虚夸之气,使之精密) ,学事者资其定法,发其巧思(即有助于学习实际事务者, 有一确定而且可靠的方法, 并从而获得创造性),故举世无一人不当学.”“人具上资而意理疏莽, 即上资无用, 人具中材而心思缜密, 即中材有用, 能通几何之学, 缜密甚矣! 故率天下之人而归于实用者, 是或其所由之道也.” 徐光启是认为学几何学并不只是为了培养专门的数学家, 而是给一般的人一种方法论, 一种寻求真理以及解决各类问题的方法.它所针对的是:“揣摩造作, 而自诡为工巧”,是虚夸浮躁，今天这样说, 明天又那样说,而毫无定见(“向所立言之可得而迁徙移易也”) .因此, 这里涉及了整个民族的素质。[注：上述两小节参见：齐民友“从徐光启的两篇短文谈起”] 推演是严谨的，其前进的步伐是扎实的。“不必疑”、“不必揣”、“不必试”、“不必改”，“似繁实至简”。因此，推演常常引领我们走向更远。但推演也是有毛病的，它演绎的内容总是被所选定的公理体系所规定，不可能突破原先的公理体系。 2. 归纳与演绎 杨振宁在“中国文化与科学”一文中认为，近代科学追求自然规律的精神和方法既有归纳，又有演绎。为此，他用力学作为例子作了充分的说明。“力学是怎么开始的? 它是经过了哪四步? 第一步, 是Tycho Brahe(布拉赫，丹麦天文学家)．他是16 世纪的人，对于行星在天上的位置，做了以前所没有过的、当时最精确的天文观测．过了一些年, 来了Kepler (开普勒) , Kepler是一个理论天文学家，他仔细研究了Tycho Brahe 的这些数据, 然后归纳出来了三个定律. 这三个定律, 用我刚才的话说, 是‘唯象理论’. 这三个定律, 第一次提出来行星的轨道. Tycho Brahe 跟Kepler都已相信Copernicus(哥白尼)的‘日心’理论,而Kepler 更第一次提出: 太阳在中间, 地球绕着太阳转, 行星绕着地球转, 都是一些椭圆, 而不是圆, 也不是圆上加圆的那种从希腊传下来的想法. Kepler的‘唯象理论’有关键性的作用，为什么? 因为又过了几十年，牛顿出现了. 牛顿对Kepler的这些观念，这三个‘唯象理论’的定律,加以解释,这一解释就形成了今天的力学.大家知道有牛顿的三大定律,加上万有引力定律,就可以准确地解释Kepler的‘唯象理论’.而牛顿的这三个运动方程,加上万有引力,是基于他所发明的一些数学的方法,也就是微积分.所以,这一二三四之间的关系,确实是符合历史发展的顺序的.而其中特别重要的一点,就是每两个之间的关系,既是归纳的,又是推演的.所以总结起来说,传统中国文化跟16 世纪以后才发展出来的近代科学其分别是什么呢? 是传统中国文化要求‘理’,近代科学要求‘自然规律’.但传统中国文化求‘理’的方法,只有归纳法；而近代科学求规律的方法,则是推演法再加上归纳法.”[以上两节主要参考了杨振宁的“中国文化与科学”一文] 我在想，东西方文化之冲突，一是可能公理选择不同，还有一点也是根本的。即推演的方法不同。东方文化主要是归纳的。最近看了国学大师王国维的“人间词话”，其意思我可能还不怎么理解，但其写作的方法则明显是归纳的。归纳的依据是个别的事实，事实越多，可以认为其正确的可能性也就越大。但不管个别事实有多少，穷举往往是很难做到的。因此，归纳得出的结论一般是不严谨的，是有漏洞的，这样就容易导致“权威”。因为所谓的“权威”，其掌握的事实往往较一般人多得多。这样，就有了“圣人”，极至“菩萨”、“如来佛”诸神。中国人的心中总在希望完美的“神”的出现，即使在某个单位里，也总要有一个说了“算数”的人。于是，中国的一把手，往往权力会特别大，大到什么事都可以说了“算数”。归纳还可能导致“走不远”，因为归纳往往就建立在表象或经验的基础上。 东方文化中的推理，主要是一种类推。类推本质上也可认为是一种归纳，因为类推的依据则是“类”的相似。同样，类推是不严谨的，是有漏洞的，往往也不能走远。因此，中国很早有了各种各样的类比猜想，如“顺风耳”、“千里眼”等等，但无线电、望远镜等都不是中国人发明的，这可能跟东方文化中缺少演绎有关。 数学演绎推理依据的是规则，如公理、定理、公式、法则等等。解释一题数学题的解答过程（求解或证明），必须步步有据，依赖于规则。而解释一首诗或一篇散文，则往往需要揣测，最终依赖于权威。正如一位小学生，他可能对一首诗作了较好的解释，但如果老师说，这样不对，应如何如何。那么最终往往是听老师的。而数学则不同，若孩子说，3+4=7，老师说，3+4=8。这时，孩子可以依据规则争论说，老师你算错了。演绎依据的是规则。演绎是严谨的，演绎是完美的，演绎也是辛苦的。归纳需要广博，归纳需要经验，如中医需要“老”，因为其临床经验丰富，有人说，“心肝脾肺贤，轿子颠了颠；心肝脾肺肾，门前无人问”。归纳有助于整理，归纳有助于发现。把归纳与演绎结合起来，其思维可能就比较完善。 |
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