引用：从徐光启的两篇短文谈起

引用：从徐光启的两篇短文谈起

 

从徐光启的两篇短文谈起

齐民友　(武汉大学)

　　在中学数学教学中, 如何对待数学的证明推理方法——它在几何学中表现最为明显——一直是一个有争议的问题.有一种意见认为这种方法即公理化的方法既脱离生活和直觉,而且没有用处.并且进而认为这是几个世纪的争论已被否定了的方法, 因此不但不应强调,而且应该进行根本的改革.如果认为这种方法代表一种理性主义的思维,而且正是我们这个民族所缺少的,则什么是理性主义? 理性主义要求以批判的态度对待现存的一切秩序,而数学的推理方法怎么会体现这种批判的态度?

我是主张在中学阶段对学生进行适当的数学推理方法的训练的,而且也认为它是体现了一种理性主义的精神,正是应该提倡的.我不太主张用“公理化”这个名词, 因为在数学发展中,“公理化”是数学方法发展到很高程度时才提出来的,这一点我将在后面说明.我心目中的数学推理方法,即首先认定一些最基本的原则或原理(公理也在其列),其正确性是公认的(因此不需要证明),由这些基本原理出发按一定的推理规则——有三段论法,还有排中律、反证法等等——进行演绎,由此得出的结论均为正确的.这个方法是希腊时代以来在数学中一直沿用的.直至今天,没有任何根据可以否定它.诚然,在研究数学时我们必定也要使用非逻辑的方法,要赋予直观、归纳、类比等等以一定的位置.然而,“完成了的”数学,或者说某一项数学结论都需要表述成的形式,都一定是这样的.这一点至今无法怀疑,无法否定.应该说明,这样一种方法在中国固有文化中是不存在的.徐光启在翻译《几何原本》时写了一篇短文——《几何原本杂论》,对《几何原本》作了高度的评价.这实际上是徐光启这一批先进的中国人,看到了一种新的文化,对它与中国固有文化作了比较.他说:“此书有四不必: 不必疑(因为其一切结论都是明确无疑的),不必揣(因为一切概念结论均不存模糊之处,不必妄加揣测),不必试(凡推理所得都是正确的,无需再经试验),不必改(因为一切都已井然有序,不必改动).有四不可得:欲脱之不可得,欲驳之不可得,欲减之不可得,欲前后更置之不可得.”“似至晦实至明, 故能以其明明他物之至晦; 似至繁实至简,故能以其简简他物之至繁;似至难实至易,故能以其易易他物之至难.易生于简,简生于明,综其妙在明而已.”他把几何学之全部力量归之于“明”: 一是指其所基于的原理是自明的,二是指其所用的推论规则也是自明的.徐光启由此而论及几何学对于培养人的功效.他说:“下学功夫, 有理有事.此书为益能令学理者祛其浮气, 练其精心(即有助于从事原理原则的研究者, 去其虚夸之气, 使之精密) , 学事者资其定法, 发其巧思(即有助于学习实际事务者, 有一确定而且可靠的方法, 并从而获得创造性) , 故举世无一人不当学.”“人具上资而意理疏莽, 即上资无用, 人具中材而心思缜密, 即中材有用, 能通几何之学, 缜密甚矣! 故率天下之人而归于实用者, 是或其所由之道也.”徐光启又列出五种人不能学好几何学, 这就是浮躁的人, 粗心的人, 自满的人,忌妒的人以及骄傲的人.“故学者不止增才,亦德基也.”总结以上所论, 徐光启是认为学几何学并不只是为了培养专门的数学家, 而是给一般的人一种方法论, 一种寻求真理以及解决各类问题的方法.它所针对的是:“揣摩造作, 而自诡为工巧”, 是虚夸浮躁就是今天这样说, 明天又那样说,而毫无定见(“向所立言之可得而迁徙移易也”) .因此, 这里涉及了整个民族的素质.

许多同志指出中国这个民族的思维有其特点: 重实效而轻理论, 重实例而轻逻辑. 许多中国学者在论证自己的论点时, 所用的方法是举例、譬喻、类比乃至机智的寓言, 隽永的警句, 而依据清楚的概念, 准确的判断并按正确的推理从合逻辑地系统展开自己的论点则比较少.所以,《几何原本》所代表的一种方法论对于中国人民是很有价值的.尤其值得注意的是,徐光启所处的年代是中国封建社会的末期.中国古代数学的衰落固然有中国数学本身的原因,而整个社会在走下坡路必然在此也有反映.他还与利马窦、李之藻合译了《同文算指》一书,在为此书写的序言中, 徐光启这样来分析中国古代数学衰落的原因: 一是“名理之儒土苴天下之实事”,看不起一切实践活动,而沉溺于所谓义理之学; 二是“妖妄之术谬言数有神理,能知来藏往,靡所不效”,使数学堕落成了象数占卜之学,成了最坏的迷信.其结果,在通神的方面,毫无验证,在务实的方面,古算中一切有益的遗产又都失传殆尽.这时,徐光启与利马窦来往,研讨西方传来的数学,他深感“其言道言理, 既皆返本蹠实, 绝去一切虚玄幻妄之说,而象数之学亦皆溯源承流,根附叶著,上穷九天,旁该万事??”.本来古代数学与象数占卜之学很难完全区分.古希腊的毕达哥拉斯也有数的神秘主义.但其后逐渐发展到这样一种认识: 即宇宙有根本的规律, 这些根本规律是数学的规律.数学的根本任务就在于探求这种根本的规律. 所谓“上穷九天, 旁该万事”而仍然是“返本归实”(脚踏实地, 返回到本原) 就是这个意思. 从这里看来, 徐光启等一批当时先进的中国人就不仅看到方法论上的问题, 而且指出中国固有文化缺少这种探本求源的科学精神.

徐光启的这些见地是很深刻的, 而且对于我们今天从事数学的基础教育以求复兴我们的民族, 是极有教益的.

在我们中间仍然存在的不同意见,与对“公理化”的认识有关.诚然, 欧几里德的《几何原本》中就提出了公理和公设, 但是对于这些概念作认真的数学的反思始于18 世纪末, 19 世纪初,这过程中一个突出的事例是非欧几何的出现.这使得人们开始懂得什么是公理的相容性(即不允许从公理中得到互相矛盾的结论),完全性(即任一个结论都可以用这一组公理去证明或否证,是真是伪必须有结论),还有独立性(每一个公理都不应该是其它公理的逻辑推论).19 世纪中后期,又出现了康托尔的集合论.人们开始思考在集合论的基础上建立整个数学.集合本身的许多特性也是作为公理来表述的.可是这些公理系统都是有缺点的,这样建立起来的集合理论现在常称为朴素的集合论,而公理化集合论在上世纪末,20 世纪初才提出来.这样,到了20世纪初数学的公理化成了一个潮流,它的代表人物是希尔伯特.算术的公理化由意大利数学家皮亚诺完成(1899),而欧几里德的《几何原本》从当时的观点看来也是大有缺点的,因此,希尔伯特在1899 年写成了《几何基础》一书.我们现在说的“公理化”潮流, 正是应该以它们为代表的.

数学公理化的“运动”,说长一点也就是两个世纪的事.这两个世纪是数学大发展的时代.公理化数学对数学的意义如何,自它出现以后就有激烈的争论.即令如此, 这种公理化潮流带来的具体成果却没有人能否认.这种争论是在所谓“数学基础”以及数理逻辑领域中进行的,因此即令对专业数学家而言,也只涉及很小一部分人.对于数学推理方法,对于数学结论应该给以证明,以及数学应该与物理学应密切联系, 逻辑与直观应密切联系,在原则上是没有争论的.因此谈不上否定什么的问题.

尽管由于公理化引起的争论本质上是关于数学基础的争论, 但它对教学确有影响.须知,《几何原本》其实是一个教本.凡是有一些教学经验的人都知道: 如果一门课程的内容杂乱无章、模糊不清,是很难组织教学的.既然数学的许多部门都已经或者可能弄得很清楚, 人们自然会考虑怎样把清楚明确毫不含混的数学知识传授给其他人.欧几里德写了《几何原本》, 现在自然可以按照这个精神写一套《数学原本》.30 年代法国的布尔巴基学派就是按这个精神从事工作,而且确实写了《数学原理》(外文书名就是《数学原本》,我想,这当非偶合而是自有深意在).按这个精神从事基础教育中的数学教学就出现了60 年代的“新数学”.新数学之失败已是不争的事实,布尔巴基的人们也一再声明, 他们写的《数学原理》并不是作为教本来写的.不论这是否解嘲之词,有一点是清楚的:把数学基础等深层次的争论不加区别地引入基础教育是行不通的.我们反对这种作法也决不等于要否定哪一个数学学派,所以也不能否定《数学原理》这部书以及布尔巴基学派的贡献.数学中深层次的争论与基础教育中的改革, 既有联系又有区别, 我想这是应取的态度.

今天重读徐光启的短文,联系着我们民族传统的优点与弱点,联系着科学发展的趋势来考察基础教育中的数学教学改革, 确实是有教益的.而在这里最不应忘记的是: 基础教育的出发点与归宿都是十来岁的青少年而不是职业数学家.

附注: 今年6 月24 日—26 日在北京参加了北师大教育科学研究所主持的关于九年义务教育数学课程标准的一次座谈会. 会中涉及到上文中的许多问题. 会后把会上我的发言加以充实写成此文. 因为时间不许可, 在会上自然谈得很简单.文中所引徐光启的话均见上海古籍出版社的《徐光启集》(上) , 1984 年出版.