高中数学常用公式及常用结论

高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系

, .

2.德摩根公式

.

3.包含关系

2．集合 的子集个数共有  个；真子集有 –1个；非空子集有  –1个；非空的真子集有 –2个.

3.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式 ;

(2)顶点式 ;

(3)零点式 .

4.充要条件

（1）充分条件：若 ，则 是 充分条件.

（2）必要条件：若 ，则 是 必要条件.

（3）充要条件：若 ，且 ，则 是 充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

5.若将函数 的图象右移 、上移 个单位，得到函数 的图象；若将曲线 的图象右移 、上移 个单位，得到曲线 的图象.

6.分数指数幂

(1) （ ，且 ）.

(2) （ ，且 ）.

7．根式的性质（1） ；（2）当 为奇数时， ；

当 为偶数时， .

8．有理指数幂的运算性质

(1)  .

(2) .

(3) .

9.指数式与对数式的互化式    _.

10.对数的换底公式

 ( ,且 , ,且 , ).

推论 ( ,且 , ,且 , , ).

11．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

(1) ;

(2) ;

(3) .

12.数列的同项公式与前n项的和的关系

( 数列 的前n项的和为 ).

13.等差数列的通项公式  ；

其前n项和公式为 .

14.等比数列的通项公式  ；

其前n项的和公式为  或 .

15.同角三角函数的基本关系式     ； = 。

16.和角与差角公式

； ；

。

= (辅助角 所在象限由点 的象限决定,  ).

17.二倍角公式  

； ；

.

18.三角函数的周期公式

函数 ，x∈R及函数 ，x∈R(A,ω, 为常数，且A≠0，ω＞0)的周期 ；函数 ， (A,ω, 为常数，且A≠0，ω＞0)的周期 .

19.正弦定理    .

20.余弦定理

； ； .

21.三角形面积定理

（1） （ 分别表示a、b、c边上的高）.

（2） .

22.三角形内角和定理 

在△ABC中，有

。

23.实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;

(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

24.向量的数量积的运算律：

(1) a·b= b·a （交换律）;

(2)（ a）·b= （a·b）= a·b= a·（ b）;

(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.

25．向量平行的坐标表示  

设a= ,b= ，且b 0，则a b(b 0) .

26. a与b的数量积(或内积)  a·b=|a||b|cosθ．

27.平面向量的坐标运算

(1)设a= ,b= ，则a+b= .

(2)设a= ,b= ，则a-b= . 

(3)设A ，B ,则 .

(4)设a= ，则 a= .

(5)设a= ,b= ，则a·b= .

28.两向量的夹角公式   (a= ,b= ).

29.平面两点间的距离公式

= (A ，B ).

30.向量的平行与垂直

设a= ,b= ，且b 0，则

A||b b=λa .

a b(a 0) a·b=0 .

31.常用不等式：

（1） (当且仅当a＝b时取“=”号)．

（2） (当且仅当a＝b时取“=”号)．

（3）柯西不等式    

（4） .

32.最值定理

已知 都是正数，则有

（1）若积 是定值 ，则当 时和 有最小值 ；

（2）若和 是定值 ，则当 时积 有最大值 .

33.斜率公式     （ 、 ）.

34.直线的五种方程

（1）点斜式  (直线 过点 ，且斜率为 )．

（2）斜截式 (b为直线 在y轴上的截距).

（3）两点式 ( )( 、  ( )).

(4)截距式  ( 分别为直线的横、纵截距， )

（5）一般式 (其中A、B不同时为0).

35.两条直线的平行和垂直

(1)若 ，

① _;

② .

(2)若 , ,且A₁、A₂、B₁、B₂都不为零,

① ；

② ；

36.点到直线的距离

(点 ,直线 ： ).

37. 圆的四种方程

（1）圆的标准方程 .

（2）圆的一般方程 ( ＞0).

38.椭圆 的参数方程是 .

39．椭圆的的内外部

（1）点 在椭圆 的内部 .

（2）点 在椭圆 的外部 .

40.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或

（弦端点A ，由方程  消去y得到 ， , 为直线 的倾斜角， 为直线的斜率）.

41.双曲线 的焦半径公式

， .

42.双曲线的内外部

(1)点 在双曲线 的内部 .

(2)点 在双曲线 的外部 .

43.双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为 渐近线方程： .

    (2)若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点在x轴上， ，焦点在y轴上）.

 

44.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律

(1)加法交换律：a＋b=b＋a．

(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．

(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

45.共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b 存在实数λ使a=λb．

46.共面向量定理

向量p与两个不共线的向量a、b共面的 存在实数对 ,使p＝xa＋yb．

47.空间向量基本定理  

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

48.向量的直角坐标运算

设a＝ ，b＝ 则

(1)a＋b＝ ；

(2)a－b＝ ；

(3)λa＝  (λ∈R)；

(4)a·b＝ ；

49.设A ，B ，则 = 。

50．空间的线线平行或垂直

设 ， ，则 ；

.

51.空间两点间的距离公式

若A ，B ，则

= .

52.球的半径是R，则

其体积 ,

其表面积 ．

53．柱体、锥体的体积

    柱体的体积V=

（ 是锥体的底面积、 是锥体的高）.

54.分类计数原理（加法原理）   .

55.分步计数原理（乘法原理）   .

56.排列数公式

= = .( ， ∈N^*，且 )．

注:规定 .

57.组合数公式

= = = ( ∈N^*， ，且 ).

58.组合数的两个性质

(1) =  ；(2) + = 。

注:规定 .

59.二项式定理   ；

二项展开式的通项公式 .

60.等可能性事件的概率   .

59.互斥事件A，B分别发生的概率的和   P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

60. 个互斥事件分别发生的概率的和

P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

61.独立事件A，B同时发生的概率   P(A·B)= P(A)·P(B).

62.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率 

63.离散型随机变量的分布列的两个性质

（1） ；（2） .

64.数学期望  

65.数学期望的性质  .

66.方差  

67.方差的性质    ；

68.标准差   = .

69. 函数 在点 处的导数的几何意义

函数 在点 处的导数是曲线 在 处的切线的斜率 ，相应的切线方程是 .

70.几种常见函数的导数

(1) （C为常数）。(2) 。(3) 。

(4) 。(5) ； 。

(6) ; .

71.导数的运算法则

（1） .（2） .（3） .

72.判别 是极大（小）值的方法

当函数 在点 处连续时，

（1）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是极大值；

（2）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是极小值.

73.复数的相等  .（ ）

74.复数 的模（或绝对值） = = .

75.复数的四则运算法则

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) .

76．几个统计常量

（1）样本均值. ;

（2）样本方差. ;