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1、两个质数之和是99，求这两个质数之积。 2×97=194 2、两个十位数1111111111和9999999999的乘积有几个数字是奇数？ 1111111111×9999999999=11111111108888888889 10个数字是奇数 3、在如上右图所示的“十字形”表中，已填入两个数字1与8，问在其余的格子中能否填满整数，使得横行任相邻二数左边减右边所得之差都相等，使纵列任相邻二数下面减上面所得之差也相等。  办不到。先看横行，中间格中一定是偶数，但纵列满足不了。 4、1+2+3+4+……+2001+2002是奇数还是偶数？ 2002÷2=1001个奇数，1+2+3+4+……+2001+2002的和是奇数 5、能不能在式子：1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9 = 10 的每个方框中，分别填入加号和减号，使等式成立？ 1—9中共5个奇数，他们的和（差）一定是奇数，不能等于10。 6、若X、Y、Z是满足 X2 + Y2 = Z2 的自然数，则 X、Y、Z中至少有一个是偶数？ X2 = Z2－Y2 =（Z＋Y ）×（Z－Y）如果Z和Y都是奇数，那么（Z＋Y ）和（Z－Y）一定是偶数，X就一定是偶数，所以X、Y、Z中至少有一个是偶数。 7、如右图，在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来填在这个方格中，例如A=5+3=8。问：填入的81个数字中，奇数多还是偶数多？  偶数多 8、一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。也就是： 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、…… 问这串数的前1000个数中（包括第1000个数）有多少个偶数？ 奇、奇、偶、奇、奇、偶、……、奇、奇、偶 1000÷3=333……1 333个偶数 9、任意交换某个三位数的数字得一个新的三位数，某同学将原三位数与新的三位数相加，得和数为999，求证：这个同学的计算一定有误。 分析：不能．两数和为999，各位数相加时必定没有向上进位，又因为新三位数与原三位数只是三个数字的排列顺序不同，所以把两个三位数的个位、十位、百位数字加在一起一定是偶数，而9+9+9=27是奇数，矛盾． 10、如右图，将任意6个整数填入2×3的方格中，证明，一定存在一个矩形，它的四个角上的四个数字之和为偶数。 证明：2×3的方格中有三个至少含有四个数的矩形，这三个矩形四个角上的数字之和正好等于方格中6个数之和的两倍，是偶数。如果这三个矩形四个角上的数字之和都是奇数，那么其和必是奇数，矛盾。 11、如右图，某展览会有25个展室，相邻的两个展室之间都有门相通，有个小朋友从A室开始，打算依次而又不重复地看过每一展室之后，仍回到A室，试问这个小朋友的打算能实现吗？ 不能。 12、在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其它两数的和减1，这样继续操作下去，最后得到17，1967，1983，问原来写的三个整数能否是2、2、2？ 17，1967，1983----17，1967，1951---17、1935、1951……原来写的三个整数一定是3个奇数 13、写出一串数1、9、8、9、……，自第5个数起，每个数字都等于它前面四个数字之和的个位数字，求证这样一直写下去，总不会出现相连的四个数字为2、0、0、6。 (奇、奇、偶、奇、奇)、(奇、偶、……、(奇、奇、偶、奇、奇) 14、某班共25位同学，坐成五行五列，每个座位的前后左右都叫它的“邻座”，要让这25位同学中的每一位都换到他的邻座上去，是不是能办得到？ 我们把每一个黑、白格看作是一个座位。从图中可知，已在黑格“座位”上的同学要换到邻座，必须坐到白格上；已在白格“座位”上的同学要换到邻座，又必须全坐到黑格“座位”上。因此，要使每人换为邻座位，必须黑、白格数相等。 从上图可知：黑色座位有13个，白色座位有12个，13≠12，因此，不可能使每个座位的人换为邻座位。 15、扑克牌中的J、Q、K分别表示11、12、13，甲取13张红心牌，乙取13张草花牌，分别洗和后，轮流各出一张牌，红心与草花配对，共配成13对，两两求和，再相乘得积，你能找到一种“洗和”、“配对”的办法，使得两两之和的乘积是个奇数吗？ 要想使得两两之和的乘积是个奇数，那么两两之和一定是奇数，那么一定是1个奇数和1个偶数配对，1---13有7个奇数6个偶数，红心与草花配对，共14个奇数12个偶数，所以一定会有奇数与奇数一对的情况，那么两两之和的乘积一定是偶数。 16、有7个杯子全部都口朝下地置于桌上，每次翻动其中的6个杯子，求证：无论翻动多少次，都永远不能出现杯口全部朝上的状态。 7只杯口都朝上的茶杯,使7只杯子的杯口全部朝下,每个杯子翻动的次数为奇数,所以翻动的总次数也为奇数. 而每次翻转6只,无论翻动多少次,翻动的总次数必为偶数.奇数≠偶数,所以办不到. 结论:当杯子数为奇数,每次翻转数是偶数时,是办不到的;其他情况可以办到. 17、某市小学生竞赛，共30道题，评分标准是，基础分15分，答对一道加5分，不答记1分，答错一道减1分，请说明，如果有1989名同学参加竞赛，则所有参赛同学所得分数总和一定是奇数。 如果全对，得15＋5×30=165分（奇数），不答，少了5－1=4分（偶数），答错少了5＋1=6分（偶数）。奇数－偶数－偶数－偶数……=奇数，所以每位学生的得分一定是奇数，1989名同学所得分数总和一定是奇数。 18、如图，能否用1个“田字形”纸片和15个“T ”字形纸片恰拼成一个8×8的正方形棋盘？ 染色。将 8×8的棋盘染成黑白相间的形状。如果15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片能够覆盖一个8×8的棋盘，那么它们覆盖住的白格数和黑格数都应该是32个，但是每个“T”字形纸片只能覆盖1个或3个白格，而1和3都是奇数，因此15个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数；又每个“田”字形纸片一定覆盖2个白格，从而15个“T”字形纸片与1个“田”字形纸片所覆盖的白格数是奇数，这与32是偶数矛盾，因此，用它们不能覆盖整个棋盘。 19、如图2，能否在6×6的正方形棋盘格中写上1～36这36个自然数，使得任意的如⑴、⑵、⑶、⑷四种形状的四个格子中，放置的四个数之和都是偶数？若能办到，请给出一种填数法。若不能办到，试说明理由。 解答：将1～36这36个自然数随意填在6×6正方形棋盘格的36个小方格内，填法太多，要想用试验法找到满足要求的填法，比较麻烦，下面我们倒着来想这个问题。如果能找到一种填法，使题中的要求得到满足，那么在图1中，一定有一个图三的十字形图形，当它的五个小方格中的数分别用a1、a2、a3、a4、a5表示时，可得到下面的四个等式：
a1＋a2＋a3＋a4=偶数 （1） a1＋a2＋a3＋a5=偶数 （2） a1＋a3＋a4＋a5=偶数 （3） a2＋a3＋a4＋a5=偶数 （4） 将（1）、（2）两式相减，等号前面是a4、a5的差，等号后面是两偶数相减，这说明a4、a5的差是偶数，所以a4、a5要么同是奇数，要么同是偶数。 同样，（1）、（3）两式相减，可以得出a2与a5同是奇数或同是偶数。 （1）、（4）两式相减，可以得出a1与a5同是奇数或同是偶数。 这一来，a1、a2、a4、a5同是奇数或同是偶数。再看（1）式，当a1、a2、a4、a5同是奇数时，为保证a1、a2、a3、a4之和是偶数，a3也应是奇数.当a1、a2、a4、a5同是偶数时，为保证a1、a2、a3、a4之和是偶数，a3也是偶数.这就说明a1、a2、a3、a4、a5这五个数要么同是奇数，要么同是偶数。 另外图三那样的十字形图形，除了不能出现在图一的6×6棋盘格的四个角外，其他地方都可以出现。这一来，图一除掉四个角之外的32个小方格中的数要么都是奇数，要么都是偶数。但1至36这36个自然数中最多只有18个数同是奇数，或同是偶数，不可能有32个数同是奇数或同是偶数，这说明满足要求的填法不存在。
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