教案:上学期 2.4 反函数

教案:上学期 2.4 反函数

 

 

教学目标

1.使学生了解反函数的概念，初步掌握求反函数的方法.

2.通过反函数概念的学习，培养学生分析问题，解决问题的能力及抽象概括的能力.

3.通过反函数的学习，帮助学生树立辨证唯物主义的世界观.

教学重点，难点

重点是反函数概念的形成与认识.

难点是掌握求反函数的方法.

教学用具

投影仪

教学方法

自主学习与启发结合法

教学过程

一. 揭示课题

今天我们将学习函数中一个重要的概念----反函数.

1.4. 反函数(板书)

(一)反函数的概念(板书)

二.讲解新课

教师首先提出这样一个问题：在函数  中，如果把  当作因变量，把  当作自变量，能否构成一个函数呢?(让学生思考后回答，要讲明理由)可以根据函数的定义在  的允许取值范围内的任一值，按照法则  都有唯一的  与之相对应.(还可以让学生画出函数的图象，从形的角度解释“任一  对唯一  ”)

学生解释后教师指出不管从哪个角度，它都是一个函数，即  有反函数，而且把这个函数称为  的反函数.那么这个反函数的解析式是什么呢?

由学生回答出应为  .教师再提出  它作为函数是没有问题的，但不太符合我们的表示习惯，按习惯用  表示自变量，用  表示因变量，故它又可以改写成  ，改动之后带来一个新问题：  和  是同一函数吗?

由学生讨论，并说明理由，要求学生能从函数三要素的角度去认识，并给出解释，让学生真正承认它们是同一函数.并把  叫做  的反函数.继而再提出：  有反函数吗？是哪个函数?

学生很快会意识到  是  的反函数，教师可再引申为  与  是互为反函数的.然后利用问题再引申：是不是所有的函数都有反函数呢?如果有，请举出例子.在教师启发下学生可以举出象  这样的函数，若将  当自变量，  当作因变量，在  允许取值范围内一个  可能对两个  (可画图辅助说明，当  时，对应  )，不能构成函数，说明此函数没有反函数.

通过刚才的例子，了解了什么是反函数，把对  的反函数的研究过程一般化，概括起来就可以得到反函数的定义，但这个数学的抽象概括，要求比较高，因此我们一起阅读书上相关的内容.

1. 反函数的定义：(板书)(用投影仪打出反函数的定义)

为了帮助学生理解，还可以把定义中的  换成某个具体简单的函数如  解释每一步骤，如得  ，再判断它是个函数，最后改写为  .给出定义后，再对概念作点深入研究.

2.对概念得理解(板书)

教师先提出问题：反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而言，指的是两者的关系你能否从函数三要素的角度解释“反”的含义呢?(仍可以  与  为例来说)

学生很容易先想到对应法则是“反”过来的，把  与  的位置换位了，教师再追问它们的互换还会带来什么变化?启发学生找出另两个要素之间的关系.最后得出结论：  的定义域和值域分别由 的值域和定义域决定的.再把结论从特殊发展到一般，概括为：反函数的三要素是由原来函数的三要素决定的.给出的函数确定了，反函数的三要素就已经确定了.简记为“三定”.

(1)“三定”(板书)

然后要求学生把刚才的三定具体化，也就是“反”字的具体体现.由学生一一说出反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，反函数的对应法则就是把原来函数对应法则中  与  的位置互换.(用投影仪打出互换过程)如图

最后教师进一步明确“反”实际体现为“三反”， “三反”中起决定作用的是  与  的位置的反置，正是由于它的反置，才把它的范围也带走了，引起了另外两“反”.

(2)“三反”(板书)

此时教师可把问题再次引向深入，提出：如果一个函数存在反函数，应怎样求这个反函数呢?下面我给出两个函数，请同学们根据自己对概念的理解来求一下它们的反函数.

例1. 求  的反函数.(板书)

(由学生说求解过程，有错或不规范之处，暂时不追究，待例2解完之后再一起讲评)

解：由  得  ，  所求反函数为  .(板书)

例2. 求  ，  的反函数.(板书)

解：由  得  ，又  得  ，

故所求反函数为  .(板书)

求完后教师请同学们作评价，学生之间可以讨论，充分暴露表述中得问题，让学生自行发现，自行解决.最后找代表发表意见，指出例2中问题，结果应为  ，  .

教师可先明知故问  ，与  ，  有什么不同?让学生明确指出两个函数定义域分别是  和  ，所以它们是不同的函数.再追问  从何而来呢?让学生能从三定和三反中找出理由，是从原来函数的值域而来.

在此基础上，教师最后明确要求，由于反函数的定义域必是原来函数的值域，而不是从自身解析式出发寻求满足的条件，所以求反函数，就必须先求出原来函数的值域.之后由学生调整刚才的求解过程.

解： 由  得  ，又  得  ，

又  的值域是  ，

故所求反函数为  ，  .

(可能有的学生会提出例1中为什么不求原来函数的值域的问题，此时不妨让学生去具体算一算，会发现原来函数的值域域求出的函数解析式中所求定义域时一致的，所以使得最后结果没有出错.但教师必须指出结论得一致性只是偶然，而不是必然，因此为规范求解过程要求大家一定先求原来函数的值域，并且在最后所求结果上注明反函数的定义域，同时让学生调整例的表述，将过程补充完整)

最后让学生一起概括求反函数的步骤.

3.求反函数的步骤(板书)

(1) 反解：

(2) 互换

(3) 改写：

对以上环节教师可稍作解释，然后提出再通过下面的练习来检验是否真正理解了.

三.巩固练习

练习：求下列函数的反函数.

(1)  (2)  .(由两名学生上黑板写)

解答过程略.

教师可针对学生解答中出现的问题，进行讲评.(如正负的选取，值域的计算，符号的使用)

四.小结

1. 对反函数概念的认识：

2. 求反函数的基本步骤：

五.作业

课本第68页习题2.4第1题中4，6，8，第2题.

六.板书设计

2.4反函数 例1. 练习. 一. 反函数的概念 (1) (2) 1. 定义 2. 对概念的理解 例2. (1) 三定(2)三反 3. 求反函数的步骤 (1)反解(2)互换(3)改写