从零向量与任何向量都平行说起

从零向量与任何向量都平行说起

山东师范大学附属中学    孔蕊    2011年7月23日 10:40

王义东于11-7-23 10:42推荐对零向量进行了深刻的阐述！

朱恒杰于11-7-23 12:04推荐数学上的“规定”，不是天上掉下来的或与生俱来的，虽是人为定义，但必有其合理性。当学生遇到此类问题时，我们教师究竟应该采取什么样的态度和方式对待，才能保护学生的好奇心和求知欲不受伤害？孙老师的态度和做法已经给出了答案。

      有的数学老师告诉他的学生，说不要去问那些数学上的规定，为什么要这样规定，说：“没有‘为什么’”.对于这种回答，似乎有些 “太遗憾了，太残酷了”.在学平面向量的时候，我们也会遇到一个规定：“零向量与任一向量平行.” 我们也会问，为什么要这样规定，一定要规定零向量与任何向量都平行呢？零向量的方向既然可以是任意的，那么说零向量与a成90°角，成60°角，难道不可以吗？

这个“0∥a”的规定还有更深刻的道理吗？

回答，有.

1 “零向量与任何向量平行”为向量空间概念的形成扫除了障碍.

我们知道，向量可以平移.“向量共线”和“向量平行”是同一个概念.

我们假定与某一直线共线（平行）的所有向量组成一个集合A.正是由于规定了零向量与任何向量都平行，才有0∈A.于是这个集合A中的向量才满足下面三条：

1°任给a，b∈A,总有a+b∈A;

2°任给a，c∈A,则必存在b∈A,使a+b=c成立.我们说b=c-a;(只有封闭的运算才有逆运算）.

3°任给a，b∈A,(a≠0),则必存在惟一的实数λ,使b=λa;反之，若a∈A,λ∈R,b=λa,则b∈A.

1°,2°,3°分别说明对于集合A，加法，减法，数乘这三种运算的结果仍然在集合A当中.我们把这分别称做加法、减法和数乘，这三种运算对于集合A是“封闭的”.

如果我们不作“零向量与任何向量都平行”的规定，那么，对于某个共线向量集合A.这有可能0不∈A.我们给定a∈A.当然-a∈A,然而a+（-a）不∈A.这样，加法运算对于集合A就不封闭了.类似地，向量的减法、数乘，这两种运算的封闭性也都不成立了.

保持了加法、减法，数乘运算封闭性的每一个共线（平行）向量集合，我们称它为一个一维向量空间.

平面向量对向量加、减、数乘运算也是封闭的，同样的空间向量也具有这种对加、减、数乘的封闭性.平面向量基本定理，空间向量基本定理都是建立在这种对加、减、数乘运算的封闭性之上的.

我们把平面向量集合称为二维向量空间，而空间向量集合则被称为三维向量空间.

如果没有“零向量与任一向量平行”的这一条规定，那么，任何向量空间也都不复存在了.这是因为平面向量基本定理，空间向量基本定理都要以一维向量空间为基础.而没有“零向量与任一向量平行”，就没有一维向量空间.

向量具有维度，这是向量的重要特征.向量维度特征的形成离不开“零向量与任何一向量平行”这个规定.

2 向量是个遵守维度规则却又不受维度限制的量

平面向量可以用这个平面上一个二维基底惟一地线性表示.反过来也对，二维基底的任何一个线性表示，必为这个平面的一个向量.这使得选择恰当的基底表示成为解决平面向量问题的一个方法.

用单位正交基底表示平面向量，便产生了平面向量的坐标表示方法.坐标表示平面向量本质上是平面向量的基底表示的特殊形式.由于它的简便易行，这就形成解决平面向量问题的另一个方法.

上面两个结论都可以推广到三维.三个不共面的向量可以作为空间向量的三维基底.而三维的单位正交基底的特殊形式又派生了空间向量的三维坐标表示.

用三维基底表示空间向量以解决空间向量问题，或者用三维坐标表示空间向量来解决空间向量问题，这是空间向量的两种不同的解题方法.

向量必定要遵守维度规则.这是我们在学习向量过程中要区分平面向量和空间向量的依据.在知识上，它集中体现在平面向量基本定理和空间向量基本定理上面.