1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注:(1)向量一般用有向线段表示 (2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2. 空间向量的运算。 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。
运算律:⑴加法交换律: ⑵加法结合律: ⑶数乘分配律:
3. 共线向量。 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量, 当我们说向量 (2)共线向量定理:空间任意两个向量
4. 共面向量 (1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明:空间任意的两向量都是共面的。 (2)共面向量定理:如果两个向量
5. 空间向量基本定理:如果三个向量 若三向量 推论:设 6. 空间向量的直角坐标系: (1)空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系 (2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为 (3)空间向量的直角坐标运算律: ①若
②若 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 (4)模长公式:若 则 (5)夹角公式: (6)两点间的距离公式:若 则 或
7. 空间向量的数量积。 (1)空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量 (2)向量的模:设 (3)向量的数量积:已知向量 (4)空间向量数量积的性质: ① (5)空间向量数量积运算律: ① ③
【典型例题】 例1. 已知平行六面体ABCD- ⑴ ⑶ 解:如图: ⑴ ⑵ ⑶设M是线段 ⑷设G是线段 向量
例2. 对空间任一点
解:∵ ∴ ∴
例3. 已知空间四边形 解:
∴
例4. 如图,在空间四边形 解:∵ ∴
∴ 所以, 说明:由图形知向量的夹角易出错,如
例5. 长方体 分析:本题的关键是如何利用 解:∵ ∴
∴ ∴ 所求高 ▍ 来源:综合网络 |
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