合数的分解——质因数分解法 第二册 第五课

 

合数的分解——质因数分解法

J。F。梁溪小舍 李歆 2009年1月13日

＋、－、×、÷、a b c d

 

    [牛年开笔]：讲一椿使我感动的事，牛年春节第一天，许老师家教收了两名新学生。慕名而来，家长都是研究所工作，想乘假期充实孩子学识。一个初三，一个高二，课程内容：数学、英语、语文、物理。大年初一两个孩子一起来，由于程度不同，许老师就只能给他们讲语文，下次再分开来教。这两个学生来是一中成志班和天一中学——无锡顶尖名校——清华、北大每年自主直接挑选招生学校。

    许老师在闲谈中，得意地说：“教着这样的学生是我最大的愉快，他们学习时非常认真，有疑就问，决不含糊。真是可造之材”。

    可是现在社会，一放长假，孩子先要玩个够，过一阵再复习功课，如果孩子玩上了瘾，平时就嫌烦功课，家长便无力挽回，最后象征性学一下就混过去了。所以，许老师说，碰着好学生亦很不易，教得适畅；学生不愿学，坚决不教，省得烦心。

    我认为：物以类聚，人以群分，走自己的路，莫枉求他人，尽自己能量，多与人为善！

 

    [课前话]：本课有三个内容：

    （一）1000以内有多少质数与合数？硬记不希奇，要学会方法，随时能运用真本领一看就知；

    （二）合数的分解——质因数分解法。这是初等数论中重要一环，一定要掌握纯熟方法，才能在四则运算中运用自如；

    （三）分解质因数——短除法。所谓短除法实际上就是“快乐学习法”内各种质数的“减除法”：“二减法”、“三减法”、“五减法”、“七减法”及“十一减法”。。。等，这些新概念在第一册及第二册几课中都已反复讲解多次，学者如果循序渐进地学习，就已“轻车熟路”掌握，这里只是扩大了应用范围。

 

（一）1000以内有合数有830个

    在自然数列中，从0——999一千个数字中，0与1不属于质数或合数范围，其他998个中有质数168个、合数830个，所以合数是绝大多数。那么，这830个合数怎么择别出来的呢？见下表：

 

自然数1000以内质数、合数分列表

 

自然数分组	质  数	合  数	总  数
2——9	4	4	8（0，1除）
10——99	21	69	90
100——199	21	79	100
200——299	16	84	100
300——399	16	84	100
400——499	17	83	100
500——599	14	86	100
600——699	16	84	100
700——799	14	86	100
800——899	15	85	100
900——999	14	86	100
合  计	168	830	998

讲解：

    （1）上述列表中前三项：一位数、二位数及200以内三位数的质数和合数已在上一课中已经讲解。为了让大家更熟悉掌握质数的选择——即合数的逐步递减法则，下面再解释上表第四项16个质数的选择方法。

 

    （2）上表第四顶200——299共100个数字中，有质数16个，合数84个递减法选择如下：从个位数上是偶数0，2，4，6，8与“5”六列中减去60；100-60=40。

 

300以内三位数二十一个质数分布表

 

（1）	（3）	（7）	（9）	质数16个
201	203	207	209	0
[211]	213	217	219	1
221	[223]	[227]	[229]	3
231	[233]	237	[239]	2
[241]	243	247	249	1
[251]	253	[257]	259	2
261	[263]	267	[269]	2
[271]	273	[277]	279	2
[281]	[283]	287	289	2
291	[293]	297	299	1

减去“三减位”（蓝色）14个；

减去“七减位”（7×29=203；7×31=217；7×37=259；7×41=287）4个；

减去“十一减位”（11×19=209；11×23=253）2个；

减去“十三减位”（13×17=221；13×19=247；13×23=299）3个；

减去“十七减位”（17×17=289）1个

合计：40-14-4-2-3-1=40-24=16个。所以合数为100-16=84个。

表上下面300——999各项均依此法类推即可得出；1000以内合数为860个。（学者可自己练习）

 

（二）合数的分解——质因数分解法

        

    合数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，还能表示为任何其它两个整数的乘积的数。

 

    合数是自然数列中占绝大部分的个数，正如上面已得出1000以内合数有860个。因为合数除了1和它本身两个约数外还有别的约数，所以就产生了“因数分析法”与“质因数分解法”两种数学方法，它们各有各的用处。

    确定一个自然数是否是合数，以及这个自然数包含多少因数？只要用“因数分析法”就行；但要进一步确定这个自然数由那些质因数组成，就必须应用“质因数分解法”，后者比前者更重要，是学生必须掌握的重要方法。

 

    分解质因数的原理——每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。

　　

    分解质因数的含义——一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例：12=2x2x3

 

    分解质因数的方法

    举个简单例子，12的分解质因数可以有以下几种：12=2*2*3=4*3=1*12=2*6，其中1，2，3，4，6，12都可以说是12的因数，即相乘的几个数等于一个自然数，那么这几个数就是这个自然数的因数。2，3，4中，2和3是质数，就是质因数，4不是质数，是因数。

 

    例如：下面哪些数是质数，哪些数是合数？它们各能被哪些数整除？

             3  6  21  28  53  60  75  97

    根据前述分解方法，这八个数字中

         3、53、97 三个数字不能写成几个数相乘的形式，它们属于质数；

        6、21、28、60、75 五个数字能写成几个数相乘的形式，它们属于合数。

    分解形式：

       6                       28
     ／ ＼      6＝2×3      ／  ＼      28＝4×7（因数分析法）
    2  × 3                 4  ×  7

     6分解成2×3后就不能再分解了；但是28分解成4×7后，4×7中的4还可以分解成2×2．

     28分解成质数连乘的形式．

     引导学生把28分解为：    28        28＝2×2×7（质因数分解法）
                            ／  ＼
                           4  ×  7
                         ／ ＼
                        2  × 2

 

（三）分解质因数——短除法

 

    每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数, 质因数可以用短除法来求出。

    分解质因数的短除法，就是先用一个合数的最小质因数去除这个合数，得出的数若是一个质数，就写成这个合数相乘形式；剩余若仍然是一个合数，就继续按原来的方法分解，直至最后是一个质数。

 

    例如42，它的最小质因数是2，42=21×2；21再可以分解:42=2×3×7。 2，3，7这几个数都是质数，短除法就结束。

 

    因此，短除法的做法就是将常规的基本除法算式倒过来操作的。

    符号是“┗”，计算的时候，将42写在“┗”之内，具体算法如下：
    1、将42写在“┗”之内
    2、想一个最小的“除数”，一般为2、3、5、7、9……，对于本题的42，可以先取一个简单的“2”作为除数，并写在“┗”的左边。
    3、进过计算，符号“┗”下面就应该得出“21”
    4、再画一个“┗”将“21”包进去
    5、再想一个能让21除尽的最小数，可以选择“3”
    6、“┗”下面的结果就应该是“7”了
    7、再画一个“┗”将“7”包进去
    8、再想一个能让7除尽的最小数，只能选择“7”
       这样，得出了42的质因数就是：2、3、7。

 

    求一个数分解质因数，你只要从2开始除起就好了，有个分解质因数的算式的，和除法的写法差不多，也能用来求2个数的公因式：

　　如42

　　2┖42（┖是象除法算式那个┌ 一样的符号）

　　3┖21

　　    7是质数，结束。（42=2×3×7）

　　再如105

　　3┖105

　　5┖35

　　----7-------7是质数，结束。（105=3×5×7）