2012年中考数学基础知识要点总结

2012年中考数学基础知识要点总结 (2011-08-22 09:25:27)

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分类： 中考综合指导

实数

  ⑴ 数轴的三要素为      、       和        . 数轴上的点与     构成一一对应.

  ⑵ 实数 的相反数为________. 若 ， 互为相反数，则 =     .

  ⑶ 非零实数的倒数为______. 若 ， 互为倒数，则 =        .

  ⑷ 绝对值 ．

  ⑸ 科学记数法：把一个数表示成        的形式，其中1≤＜10的数，n是整数.

⑹ 一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.这时，从左边第一个不是    的数起，到           止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．

练习：（略）

 

数的开方

⑴ 任何正数 都有______个平方根,它们互为________.其中正的平方根 叫_______________.        没有平方根，0的算术平方根为______.

⑵ 任何一个实数都有立方根，记为          .

⑶  。

3. 实数的分类:           和              统称实数.

4．      （其中    0 且 是         ）        （其中    0）

练习：（略）

 

整式

（1）单项式：由数与字母的        组成的代数式叫做单项式（单独一个数或         也是单项式）.单项式中的          叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的             叫做这个单项式的次数.

(2) 多项式：几个单项式的       叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫                 做多项式的       ,其中次数最高的项的         叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做          .

(3) 整式：             与           统称整式.

4. 同类项：在一个多项式中，所含       相同并且相同字母的       也分别相等的项叫做同类项. 合并同类项的法则是                          ___.

5. 幂的运算性质: a^m·aⁿ=     ； (a^m)ⁿ=     ； a^m÷aⁿ＝_____； (ab)ⁿ=     .

练习：（略）

 

因式分解

1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的     的形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．

2. 因式分解的方法：⑴              ，⑵               ， ⑶              .

3. 提公因式法： __________   _________.

4. 公式法: ⑴               

 ⑵        ，

           ⑶                 .

5. 十字相乘法：                    ．

6．因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式）．

7．易错知识辨析

（1）注意因式分解与整式乘法的区别；

（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式.

练习：

1．简便计算： .

2．分解因式： ____________________.

3．分解因式： ____________________.

4．分解因式： ____________________.

5.分解因式            ．

6．将 分解因式的结果是        ．

 

 

分式

1. 分式：整式A除以整式B，可以表示成 的形式，如果除式B中含有      ，那么称 为分式．若       ，则 有意义；若      ，则 无意义；若      ，则 ＝0.

2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的               ．用式子表示为                        .

3. 约分：把一个分式的分子和分母的    约去，这种变形称为分式的约分．

4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为          的分式，这一过程称为分式的通分.

例1：（1） 当x            时，分式 无意义；

     （2）当x           时，分式 的值为零.

例2：⑴  已知 ，则  ＝          .

      ⑵已知 ，则代数式的值为       .

例3：先化简，再求值：

(1)（ － ）÷ ，其中x＝1．

   ⑵ ，其中 .

练习：（略）

 

二次根式

1．二次根式的有关概念

⑴式子   叫做二次根式．注意被开方数只能是       ．并且根式.

⑵简二次根式：被开方数所含因数是     ，因式是     ，不含能            的二次根式，叫做最简二次根式．

(3)同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数           的几个二次根式，叫做同类二次根式．

2．二次根式的性质：

⑴          0；

⑵         （ ≥0）；            ；

⑶            （）；  

⑷             （）.

练习：（略）

 

 

方程（组）和不等式

（1）判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，像， 等不是一元一次方程.

（2）解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.

例1：当 取什么整数时，关于 的方程 的解是正整数？

例2：解下列方程：

；            （2） .

例3：解下列方程组：

（1）                  （2）

例4：某厂工人小王某月工作的部分信息如下：

信息一：工作时间：每天上午8∶20~12∶00，下午14∶00~16∶00，每月25天；

信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．

生产产品件数与所用时间之间的关系见下表：

生产甲产品件数（件）	生产乙产品件数（件）	所用总时间（分）
10	10	350
30	20	850

信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元．根据以上信息，回答下列问题：

（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？

（2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？

例5：某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元.

① 求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？

② 某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？

 

 

一元二次方程的常用解法

（1）直接开平方法：形如 或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.

（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即 ，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解.

（3）公式法：一元二次方程的求根公式是

.

（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为       ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.

例1：选用合适的方法解下列方程：

（1） ；             

（2） ；

（3） ；             

（4） .

例2：已知一元二次方程 有一个根为零，求 的值.

练习：（略）

 

 

一元二次方程根的判别式

关于x的一元二次方程的根的判别式为           .

（1） >0一元二次方程 有两个      实数根，即               .

（2） =0一元二次方程有      相等的实数根，即        .

（3） <0一元二次方程        实数根.

例1：解方程会出现的增根是（     ）

A．        B.       C.或   D.

例2：如果分式与 的值相等,则 的值是(     )

A．9          　B． 7          C．5               D．3

例3：如果，则下列各式不成立的是（     ）

A．    B．   C．         D．

例4：若分式的值为0，则x的值为（   ）

A. 1            B. -1        C. ±1            D.2

例5：在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度.

例6：某中学库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天比甲小组多修8套；学校每天需付甲小组修理费80元，付乙小组120元．

（1）求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套．

（2）在修理桌凳过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负担他每天10元的生活补助．现有以下三种修理方案供选择：

 ① 由甲单独修理；② 由乙单独修理；③ 由甲、乙共同合作修理．

你认为哪种方案既省时又省钱？试比较说明．

练习：

1．若关于 方程 无解，则的值是           ．

2.分式方程的解是          ．

3.以下是方程去分母、去括号后的结果，其中正确的是（　　）

A．    B.    C.    D.

4．分式方程 的解是（    ）

A．           B．           C．                D．

5.分式方程  的解是（　　）

A. ,           B. ,

C. ,       D.  

6.今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．

   (1) 已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成?

(2) 在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的 后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由．

 

 

 

 

不等式的基本性质

（1）若 ＜ ，则 +    ；

（2）若 ＞ ， ＞0则    （或     ）；

（3）若 ＞ ， ＜0则    （或      ）.

例1：1．不等式组的解集在数轴上表示为（     ）

 

1

0

2

A．

1

0

2

B．

1

0

2

C．

1

0

2

D．

 

 

 

2．解不等式组

3．解不等式组 ，并把它的解集表示在数轴上．

例2：绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．

（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？

（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？

例3：某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：

类　别	电视机	洗衣机
进价（元/台）	1800	1500
售价（元/台）	2000	1600

计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元．

（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用）

（2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价）

【中考演练】

1．

用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm,若铁钉总长度为acm，则a的取值范围是               ．

2．海门市三星镇的叠石桥国际家纺城是全国最大的家纺专业市场，年销售额突破百亿元．2005年5月20日，该家纺城的羽绒被和羊毛被这两种产品的销售价如下表：

品  名	规格（米）	销售价（元/条）
羽绒被	2×2.3	415
羊毛被	2×2.3	150

现购买这两种产品共80条，付款总额不超过2万元．问最多可购买羽绒被____条．

3．6月1日起，某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3公斤、5公斤和8公斤．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20公斤散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少应付给超市         元．

4.某校九年级三班为开展“迎2008年北京奥运会”的主题班会活动，派了小林和小明两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品，已知该超市的锦江牌钢笔每支8元，红梅牌钢笔每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支．

(1)如果他们一共带了240元，全部用于购买奖品，那么能买这两种笔各多少支？

(2)小林和小明根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的锦江牌钢笔数量要少于红梅牌钢笔的数量的，但又不少于红梅牌钢笔的数量的 .如果他们买了锦江牌钢笔 支，买这两种笔共花了元，

① 请写出  (元)关于  (支)的函数关系式，并求出自变量 的取值范围；

② 请帮他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？

5.某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元；

（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；

（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上那种购买方案？

 

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