小波基的选择依据

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影响图像压缩效果的因素主要有：（1）小波基的数学特征，主要包括小波基的紧支性、对称性、正交性、正则性、消失矩等。（2）图像本身的特点。

小波基的数学特性

（1）紧支性

如果尺度函数和小波函数是紧支撑的，则对应的H,G滤波器是有限冲击响应（FIR）滤波器，信号在分解和重构快速算法中的运算量是有限的。该特征也决定了小波的时-频局部化特征，紧支宽度越窄，小波的局部化特性越好，紧支撑小波避免了滤波过程中的截断误差，因此应用精度很好。但是一个函数不可能在时域和频域都是紧支的，最多有一个是紧支的，另一个是急衰的，一般希望小波基能够在时域上具有紧支性。

（2）对称性

对称滤波器组在图像重建中更为有利，这有两点原因：1.人类视觉系统对边缘附近的对称的量化误差较非对称的误差更为不敏感；2.紧支撑小波的线性相位特性与小波的对称性是等价的。对图像进行小波变换时，需要对图像的边界数据进行周期延拓，对于线性相位的小波基，通过周期延拓，重建信号在边界处不会产生较大失真，而对于非线性相位的小波基，边界数据失真则比较明显，会导致巨大的感官误差。

（3）正交性和双正交性

正交小波对应一个正交镜像滤波器组，即低通滤波器和高通滤波器正交。Daubechies已证明，除Harr小波外，一切具有紧支集的规范正交小波基及与之相关的尺度函数都不可能以实轴上的任何点为对称轴或反对称轴。也就是说，除Harr小波基外，其他的小波函数无法同时满足紧支性、正交性和对称性。但是Harr小波基的局部化性能很差，很少用于实际应用。

为了获得线性相位（对称性），需要放松对正交性的限制，分解和合成过程使用不同的滤波器，从而获得更大的设计自由度，克服上述缺点。与单正交小波不同，双正交小波基有两个尺度函数和两个小波函数构成。双正交小波降低了对正交性的要求，保留了正交小波的一部分正交性，使小波获得了线性相位和较短支集的特性。

（4）正则性

正则性是对函数光滑程度的一种描述，也是函数频域能量集中度的一种度量。

（5）消失矩

消失矩的大小决定了小波逼近光滑函数的收敛率。当图像光滑时，滤波器的消失矩越大，产生的小波变换系数越小，及小波变换后的能量越集中于低频分量，因而更有利于图像的压缩。

小波基的选择

在图像的压缩编码中，并不存在对任何图像都能实现最佳压缩效果的“最优”小波，只能根据具体的应用要求来合理选择小波基。一般来说，小波基的选择原则有：

1.小波基的对称性是首先要考虑的因素。具有对称性的双正交小波一般具有较好的压缩性能，在实际中可适当选用。而非对称的正交小波，尤其是支集较短的正交小波，其压缩效果较差，一般不适用于压缩图像。

2.具有较高正则性的小波对于光滑图像，特别是自然图像，有着较好的压缩效果。在有损压缩时，可采用D9/7，D13/11等小波，在无损压缩或对图像编码的实时性要求较高时，可以选用D5/3小波。

3.Harr小波适用于含有较多高频分量数据的图像压缩，但它对自然图像的压缩效果很差。