小波函数与尺度函数分别是什么意思，有什么作用？小波分解的意义是什么以及作用？
尺度函数又称为小波父函数.根据双尺度方程,可以由尺度函数生成小波.进行信号处理时,先要对信号进行副近.也就是用尺度函数对信号进行分解.尺度函数的频带与待分析信号的频带相同,然后将逼近函数分别在尺度空间和小波空间中进行分解.就得到了信号的低频粗略部分和高频细节部分.此时新的尺度函数频带是原信号频带的一半.小波函数的频带是另一半(高频部分).由此实现了对原信号的按频带分解!
小波函数与尺度函数
简单的说你得从小波的多分辨率分析开始理解，多分辨率分析又得从映射来理解，映射又得从向量的投影来理解，所以我就从向量的投影来说：假设是在三维空间里表达一个向量，我们需要建立一个三维的坐标系，只要坐标系建立我们就可以用三个点（x,y,z）来简单的表示一个向量，同样的在一个信号我们设为f(t),要想表示它，我们可以用一个个正交的简单函数来构建坐标系，然后将f(t),映射与这些简单的正交函数上，产生一个系数，这些系数我们就可以等同于(x,y,z),只是由于它的维数是超过3维的所以你不好想象，总之就是利用相互正交的简单函数，构建一个表达信号的空间“坐标系”，然后就可以用这些系数和正交函数来表示f(t),
借就是小波的核心思想，在小波分析中这个构建坐标系的函数，就是小波函数，但是在小波函数来表示一个信号的时候，它其实是将信号映射在了时频平面内的，这里面就有一个问题，在实现过程中需要对需要一个频域的底座和平台，来让信号f(t)与之做映射后是在一定的频率分辨率上进行的，这个起到底座的函数就是尺度函数，在尺度函数的平台下对频率的分析，或者说对信号的f(t)的表达就是在小波函数的作用了。在滤波实现中低频滤波就相当于尺度函数的作用，小波函数的实现就是高频滤波器的使用。
尺度函数和小波函数有什么联系和区别，还有为什么有的小波有尺度函数，而有的没有呢？尺度函数是干什么用的呢？
小波函数是由尺度函数构造的，尺度函数的性质决定了小波函数的性质。尺度函数从滤波器的角度看是低通滤波器，而小波函数是高通滤波器。
具体分析时，有没有选择小波函数的一般原则和尺度的选择？
还是仅仅根据经验？多次试探？或所要分析的信号的形状？
一般来说，小波分析与傅立叶分析结合起来。
如果对于分析的信号所具有的特征不了解，你必须通过傅立叶频谱分析了解信号的原貌，小波分析只是一种获取信号特征信息的手段，不能仅仅因为小波功能强大，很多人都在用而依赖小波分析，特别是入门前更要注重各种分析方法的比较，本人意见，即使精通了小波分析，傅立叶分析还是不能放弃的！
选择小波应该从下面几个角度，根据你的需要来选择：小波的支集长度，消失距阶数，正则性，对称性。如果你需要压缩应用，最好选择消失距阶数高和有正则性（双正交小波）的小波。
小波基函数的选取应从一般原则和具体对象两方面进行考虑.一般原则是：① 正交性：源于数学分析的简单和工程应用中的便于理解操作。② 紧支集：保证优良的时－频局部特性，也利于算法的实现。③ 对称性：关系到小波的滤波特性是否具有线性相位，这与失真问题密切相关。④ 平滑性：关系到频率分辨率的高低。如果平滑性差，则随着变换级数的增加，原来平滑的输入信号将很快出现不连续性，导致重建时失真。 当然，要完全满足这些特性是十分困难的。如，紧支集与平滑性不可兼得，正交性的紧支集又使对称性成为不可能，因此只能寻找一种能恰当兼顾这些特性的合理折衷方案。 具体选时应视应用的领域的不同而不同。就图像处理而言，如果目的是无损压缩，对称性和平滑性就很重要；如果是边缘检测纹理分析和噪声去除，那就需要选择小波基与待处理图像的感兴趣分量具有相似性。
小波函数与尺度函数的关系,框架,低频粗略部分和高频细节部分
尺度函数可以用来生成小波函数，有的人称之为父小波函数
尺度函数和小波函数分别是尺度空间（近似空间）和细节空间的基函数，两者通过双尺度方程联系
以多尺度分析或者多分辨分析为例。尺度函数一般是整个框架的生成元，它生成整个框架，也生成小波函数，另外，尺度函数的傅立叶变换一般可做低通滤波器，而小波函数的傅立叶变换一般是用作带通或高通滤波器！
可以通过尺度函数来构造小波函数，这是构造小波函数的一种方法，两者通过双尺度方程相联系， 但是，并不是说每一种小波函数都有相应的尺度函数，有的小波是没有对应的尺度函数的。
其实就我自己理解的话，框架就是一套对信号进行小波分解的方法，它就像一个固定的模式。比如多分辨分析，它所构造的小波分析框架就是把信号分解成一个个互相不交叉的子频带，但所有的子频带的直和又是信号的频带，如果尺度函数选得好，各个子空间还可以是正交的（好像是这样）！
尺度函数和小波函数构成j 1空间，也就是V空间中尺度函数的正交补，
框架是比正交基更广的一个概念，打个比喻，一个平面直角坐标系，x、y轴就是坐标系的正交基，它们是相互垂直的，而框架则不一定垂直，例如夹角为120度的三个向量就构成了坐标系的一个框架。
正交基只是框架中的一个特例。
对于多分辨率而言，尺度函数与小波函数共同构造了信号的分解。这里尺度函数可以由低通滤波器构造，而小波函数则由高通滤波器实现。这样的滤波器组就构成了分解的框架。而同时我们可以看到，低通滤波器的尺度函数可以作为下一级的小波函数和尺度函数的母函数。说明白些，其实尺度函数表征了信号的低频特征，小波函数才是真正逼近高频的基。
由滤波器系数绘制尺度函数和小波函数图像的Matlab程序
function ScaleWaveFig(h)
% -- 函数描述 : 由滤波器系数绘制尺度函数和小波函数图像
% M : 标准化常数
% h : (尺度)滤波器系数
% g : 小波滤波器系数
% a : 尺度函数初始化
% w : 小波函数初始化
% -- 时间 : 2007-12-02
% -- 作者 : 刘恒冰(LIUHB) 版权所有(C)
M = 2;
g = fliplr(h);
for i = 1 : length(h)
g(i) = (-1) ^ (i 1) * g(i);
end
a = h;
w = g;
% 绘制尺度函数图像
b = [ ];
for i = 1 : 7
L = M * length(a);
b(1 : M : L - M 1) = a;
for j = 2 : M
b(j : M : L - M j) = zeros(1, L / M);
end
a = b;
a = conv(h, a);
% a = sqrt(M) * a; || a = sqrt(M) * a; ?
n = length(a);
a = a(1, 1 : n - 1);
end
n = length(a);
x = linspace(0, 3, n);
subplot(221);
plot(x, a); grid on;
% 绘制小波函数图像
b = [ ];
for i = 1 : 7
L = M * length(w);
b(1 : M : L - M 1) = w;
for j = 2 : M
b(j : M : L - M j) = zeros(1, L / M);
end
w = b;
w = conv(h, w);
% w = sqrt(M) * w; || w = sqrt(M) * w; ?
n = length(w);
w = w(1, 1 : n - 1);
end
n = length(w);
x = linspace(0, 3, n);
subplot(222);
plot(x, w); grid on;
